Пространства модуляции[1] семья Банаховы пространства определяется поведением кратковременное преобразование Фурье относительно тестовой функции из Пространство Шварца. Первоначально они были предложены Ганс Георг Файхтингер и признаны правильный вид функциональных пространств за частотно-временной анализ. Алгебра Файхтингера, первоначально представленный как новый Алгебра Сигала,[2] идентичен определенному пространству модуляции и стал широко используемым пространством тестовые функции для частотно-временного анализа.
Пространства модуляции определяются следующим образом. За
, неотрицательная функция
на
и тестовая функция
, пространство модуляции
определяется
![{ displaystyle M_ {m} ^ {p, q} ( mathbb {R} ^ {d}) = left {f in { mathcal {S}} '( mathbb {R} ^ {d} ) : left ( int _ { mathbb {R} ^ {d}} left ( int _ { mathbb {R} ^ {d}} | V_ {g} f (x, omega) | ^ {p} m (x, omega) ^ {p} dx right) ^ {q / p} d omega right) ^ {1 / q} < infty right }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b22fee105dcef3d7402bdb56e0b38968259e3e0)
В приведенном выше уравнении
обозначает кратковременное преобразование Фурье
относительно
оценивается в
, а именно
![{ Displaystyle V_ {g} е (х, omega) = int _ { mathbb {R} ^ {d}} f (t) { overline {g (tx)}} e ^ {- 2 pi это cdot omega} dt = { mathcal {F}} _ { xi} ^ {- 1} ({ overline {{ hat {g}} ( xi)}} { hat {f}} ( xi + omega)) (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d440c1aba10dc01bd2a4ab9ba5f5f260e0677e1a)
Другими словами,
эквивалентно
. Космос
то же самое, независимо от тестовой функции
выбрал. Канонический выбор - это Гауссовский.
У нас также есть следующее определение пространств модуляции типа Бесова.[3]
,
куда
является подходящим единичным разбиением. Если
, тогда
.
Алгебра Файхтингера
За
и
, пространство модуляции
известна под названием алгебра Файхтингера и часто обозначается
за то, что она является минимальной алгеброй Сигала, инвариантной относительно частотно-временных сдвигов, то есть комбинированных операторов трансляции и модуляции.
является банаховым пространством, вложенным в
, и инвариантен относительно преобразования Фурье. Именно для этих и других свойств
является естественным выбором пространства тестовых функций для частотно-временного анализа. преобразование Фурье
является автоморфизмом на
.
Рекомендации
|
---|
Пространства | |
---|
Теоремы | |
---|
Операторы | |
---|
Алгебры | |
---|
Открытые проблемы | |
---|
Приложения | |
---|
Дополнительные темы | |
---|