Модуль и характеристика выпуклости - Modulus and characteristic of convexity

В математика, то модуль выпуклости и характеристика выпуклости это меры того, "как выпуклый "the единичный мяч в Банахово пространство является. В некотором смысле модуль выпуклости имеет такое же отношение к ε-δ значение равномерная выпуклость как модуль непрерывности делает для ε-δ значение непрерывность.

Определения

В модуль выпуклости банахова пространства (Икс, || · ||) - функция δ : [0, 2] → [0, 1] определяется

${displaystyle delta (varepsilon )=inf left{1-left|{frac {x+y}{2}}ight|,:,x,yin S,|x-y|geq varepsilon ight},}$

куда S обозначает единичную сферу (Икс, || ||). В определенииδ(ε), можно взять нижнюю грань по всем векторам Икс, у вИкс такой, что ǁИксǁ, ǁуǁ ≤ 1 и ǁИкс − уǁ ≥ ε.^[1]

В характеристика выпуклости пространства (Икс, || ||) - это число ε₀ определяется

${displaystyle varepsilon _{0}=sup{varepsilon ,:,delta (varepsilon )=0}.}$

Эти понятия подразумеваются в общем исследовании равномерной выпуклости Дж. А. Кларксоном (Кларксон (1936); это та же статья, которая содержит утверждения Неравенства Кларксона ). Термин «модуль выпуклости», по-видимому, принадлежит М. М. Дэю.^[2]

Характеристики

• Модуль выпуклости, δ(ε), это неубывающий функция ε, а частное δ(ε) / ε также не убывает на(0, 2].^[3] Сам модуль выпуклости не обязательно должен быть выпуклая функция изε.^[4] Однако модуль выпуклости эквивалентен выпуклой функции в следующем смысле:^[5] существует выпуклая функция δ₁(ε) такие, что

${displaystyle delta (varepsilon /2)leq delta _{1}(varepsilon )leq delta (varepsilon ),quad varepsilon in [0,2].}$

• Нормированное пространство (Икс, ǁ ⋅ ǁ) является равномерно выпуклый если и только если его характеристика выпуклости ε₀ равно 0, т.е., если и только если δ(ε) > 0 для каждогоε > 0.
• Банахово пространство (Икс, ǁ ⋅ ǁ) это строго выпуклое пространство (т.е. граница единичного шара B не содержит сегментов) тогда и только тогда, когда δ(2) = 1, т.е., если только противоположные точки (в форме Икс и у = −Икс) единичной сферы может иметь расстояние, равное 2.
• Когда Икс равномерно выпуклый, он допускает эквивалентную норму с модулем выпуклости степенного типа.^[6] А именно существует q ≥ 2 и постоянныйc > 0 такой, что

${displaystyle delta (varepsilon )geq c,varepsilon ^{q},quad varepsilon in [0,2].}$

Модуль выпуклости ${displaystyle L^{p}}$ пробелы

Модуль выпуклости известен для пространств L ^ p.^[7] Если ${displaystyle 1<pleq 2}$, то он удовлетворяет следующему неявному уравнению:

${displaystyle left(1-delta _{p}(varepsilon )+{frac {varepsilon }{2}}ight)^{p}+left(1-delta _{p}(varepsilon )-{frac {varepsilon }{2}}ight)^{p}=2.}$

Знаю это ${displaystyle delta _{p}(varepsilon +)=0,}$ можно предположить, что ${displaystyle delta _{p}(varepsilon )=a_{0}varepsilon +a_{1}varepsilon ^{2}+cdots }$. Подставив это в приведенное выше и расширив левую часть как ряд Тейлора вокруг ${displaystyle varepsilon =0}$, можно вычислить ${displaystyle a_{i}}$ коэффициенты:

${displaystyle delta _{p}(varepsilon )={frac {p-1}{8}}varepsilon ^{2}+{frac {1}{384}}(3-10p+9p^{2}-2p^{3})varepsilon ^{4}+cdots .}$

За ${displaystyle 2<p<infty }$

, есть явное выражение

${displaystyle delta _{p}(varepsilon )=1-left(1-left({frac {varepsilon }{2}}ight)^{p}ight)^{frac {1}{p}}.}$

Следовательно, ${displaystyle delta _{p}(varepsilon )={frac {1}{p2^{p}}}varepsilon ^{p}+cdots }$.

Смотрите также

• Равномерно ровное пространство

Примечания

1. п. 60 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
2. Дэй, Mahlon (1944), "Равномерная выпуклость в факторном и сопряженном пространствах", Анна. математики., 2, Анналы математики, 45 (2): 375–385, Дои:10.2307/1969275, JSTOR  1969275
3. Лемма 1.e.8, с. 66 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
4. см. примечания на стр. 67 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
5. см. предложение 1.e.6, с. 65 и лемма 1.e.7, 1.e.8, с. 66 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
6. видеть Пизье, Жиль (1975), «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах», Israel J. Math., 20 (3–4): 326–350, Дои:10.1007 / BF02760337, МИСТЕР  0394135.
7. Ханнер, Олоф (1955), "О равномерной выпуклости ${displaystyle L^{p}}$ и ${displaystyle ell ^{p}}$", Arkiv for Mathematik, 3: 239–244, Дои:10.1007 / BF02589410

Рекомендации

• Beauzamy, Бернар (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (Второе исправленное изд.). Северная Голландия. ISBN  0-444-86416-4. МИСТЕР  0889253.
• Кларксон, Джеймс (1936), "Равномерно выпуклые пространства", Пер. Амер. Математика. Soc., Американское математическое общество, 40 (3): 396–414, Дои:10.2307/1989630, JSTOR  1989630
• Фустер, Энрике Льоренс. Некоторые модули и константы, относящиеся к метрической теории неподвижных точек. Справочник по метрической теории неподвижной точки, 133-175, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2001. МИСТЕР1904276
• Линденштраус, Иорам и Беньямини, Йоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ Публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.
• Линденштраус, Иорам; Цафрири, Лиор (1979), Классические банаховы пространства. II. Функциональные пространства, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты по математике и смежным областям], 97, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 243, ISBN  3-540-08888-1.
• Виталий Д. Мильман. Геометрическая теория банаховых пространств. II. Геометрия единичной сферы. Успехи мат. Наук, т. 26, вып. 6, 73–149, 1971; Русская математика. Обзоры, т. 26 6, 80-159.