Теория множественности - Multiplicity theory

В абстрактной алгебре теория множественности касается кратность модуля M загар идеальный я (часто максимальный идеал)

${\displaystyle \mathbf {e} _{I}(M).}$

Понятие кратности модуля является обобщением степень проективного многообразия. По формуле пересечения Серра он связан с кратность пересечения в теория пересечений.

Основное внимание в теории уделяется обнаружению и измерению особая точка алгебраического многообразия (ср. разрешение особенностей ). Из-за этого аспекта теория оценки, Алгебры Риса и целостное закрытие тесно связаны с теорией множественности.

Кратность модуля

Позволять р положительно градуированное кольцо такое, что р генерируется как р₀-алгебра и р₀ является Артиниан. Обратите внимание, что р имеет конечный Измерение Крулля d. Позволять M быть конечно порожденным р-модуль и F_M(т) это Ряд Гильберта – Пуанкаре. Этот ряд является рациональной функцией вида

${\displaystyle {\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}},}$

куда ${\displaystyle P(t)}$ является многочленом. По определению кратность M является

${\displaystyle \mathbf {e} (M)=P(1).}$

Сериал может быть переписан

${\displaystyle F(t)=\sum _{1}^{d}{a_{d-i} \over (1-t)^{d}}+r(t).}$

куда р(т) - многочлен. Обратите внимание, что ${\displaystyle a_{d-i}}$ - коэффициенты полинома Гильберта от M раскрывается в биномиальных коэффициентах. У нас есть

${\displaystyle \mathbf {e} (M)=a_{0}.}$

Поскольку ряды Гильберта – Пуанкаре аддитивны на точных последовательностях, кратность аддитивна на точных последовательностях модулей одной размерности.

Следующая теорема, принадлежащая Кристеру Леху, дает априорные оценки кратности.^[1][2]

Лех — Предполагать р локально с максимальным идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Если я является ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-первоначальный идеал, то

${\displaystyle e(I)\leq d!\deg(R)\lambda (R/{\overline {I}}).}$

Смотрите также

• Теория размерностей (алгебра)
• j-кратность
• Кратность Гильберта – Самуэля
• Функция Гильберта – Кунца
• Обычно плоское кольцо

Рекомендации

1. Васконселос, Вольмер (30 марта 2006 г.). Интегральное замыкание: алгебры Риса, кратности, алгоритмы. Springer Science & Business Media. п. 129. ISBN  9783540265030.
2. Лех, К. (1960). «Заметка о множественности идеалов». Arkiv för Matematik. 4: 63–86. Дои:10.1007 / BF02591323.