Проблема Ньютона – Пеписа - Newton–Pepys problem

В Проблема Ньютона – Пеписа это вероятность проблема, связанная с вероятностью выброса шестерок из определенного количества игральных костей.^[1]

В 1693 г. Сэмюэл Пепис и Исаак Ньютон переписывались по проблеме, поставленной Пеписом в отношении пари он планировал сделать. Проблема была в следующем:

Какое из следующих трех предложений имеет наибольшие шансы на успех?

A. Шесть справедливых костей бросаются независимо друг от друга, и появляется по крайней мере одна цифра «6».

B. Двенадцать справедливых костей бросаются независимо, и выпадает не менее двух цифр «6».

C. Восемнадцать справедливых костей бросаются независимо, и выпадает не менее трех цифр «6».^[2]

Пепис изначально думал, что результат C имеет самую высокую вероятность, но Ньютон правильно пришел к выводу, что результат A на самом деле имеет самую высокую вероятность.

Решение

Вероятности исходов A, B и C:^[1]

${displaystyle P(A)=1-left({frac {5}{6}}ight)^{6}={frac {31031}{46656}}approx 0.6651,,}$

${displaystyle P(B)=1-sum _{x=0}^{1}{inom {12}{x}}left({frac {1}{6}}ight)^{x}left({frac {5}{6}}ight)^{12-x}={frac {1346704211}{2176782336}}approx 0.6187,,}$

${displaystyle P(C)=1-sum _{x=0}^{2}{inom {18}{x}}left({frac {1}{6}}ight)^{x}left({frac {5}{6}}ight)^{18-x}={frac {15166600495229}{25389989167104}}approx 0.5973,.}$

Эти результаты могут быть получены путем применения биномиальное распределение (хотя Ньютон получил их из первых принципов). В общем случае, если P (N) - вероятность выбросить не менее п шестерки с 6п кости, тогда:

${displaystyle P(N)=1-sum _{x=0}^{n-1}{inom {6n}{x}}left({frac {1}{6}}ight)^{x}left({frac {5}{6}}ight)^{6n-x},.}$

В качестве п растет, P (N) монотонно убывает к асимптотическому пределу 1/2.

Пример в R

Описанное выше решение может быть реализовано в р следующее:

за (s в 1:3) {          # ищем s = 1, 2 или 3 шестерки  п = 6*s                 # ... в n = 6, 12 или 18 кубиках  q = пбином(s-1, п, 1/6) # q = Prob (  Кот(«Вероятность не менее», s, "шесть дюймов", п, "честные кости:", 1-q, "")}

Объяснение Ньютона

Хотя Ньютон правильно рассчитал шансы каждой ставки, он дал Пепис отдельное интуитивное объяснение. Он представил, что B и C бросают свои кости группами по шесть штук, и сказал, что A был наиболее благоприятным, потому что он требовал 6 только за один бросок, в то время как B и C требовали по 6 при каждом броске. Это объяснение предполагает, что группа не производит более одной шестерки, поэтому на самом деле это не соответствует исходной проблеме.^[2]

Обобщения

Естественным обобщением проблемы является рассмотрение п необязательно честные кости, с п вероятность того, что каждый кубик выберет 6 граней при броске (обратите внимание, что на самом деле количество граней кубика и какая грань должна быть выбрана не имеют значения). Если р - общее количество кубиков, выбирающих 6 граней, тогда ${displaystyle P(rgeq k;n,p)}$ вероятность иметь по крайней мере k правильный выбор при точном броске п игральная кость. Тогда исходную проблему Ньютона – Пеписа можно обобщить следующим образом:

Позволять ${displaystyle u _{1},u _{2}}$ быть натуральными положительными числами s.t. ${displaystyle u _{1}leq u _{2}}$. Затем ${displaystyle P(rgeq u _{1}k;u _{1}n,p)}$ не меньше чем ${displaystyle P(rgeq u _{2}k;u _{2}n,p)}$ для всех п, п, к?

Обратите внимание, что с этой записью исходная задача Ньютона – Пеписа читается так: is ${displaystyle P(rgeq 1;6,1/6)geq P(rgeq 2;12,1/6)geq P(rgeq 3;18,1/6)}$?

Как было замечено Рубином и Эвансом (1961), не существует единых ответов на обобщенную проблему Ньютона – Пеписа, поскольку ответы зависят от k, n и п. Тем не менее, есть некоторые варианты предыдущих вопросов, на которые можно дать единообразные ответы:

(из Chaundy and Bullard (1960)):^[3]

Если ${displaystyle k_{1},k_{2},n}$ положительные натуральные числа, и ${displaystyle k_{1}<k_{2}}$, тогда ${displaystyle P(rgeq k_{1};k_{1}n,{frac {1}{n}})>P(rgeq k_{2};k_{2}n,{frac {1}{n}})}$.

Если ${displaystyle k,n_{1},n_{2}}$ положительные натуральные числа, и ${displaystyle n_{1}<n_{2}}$, тогда ${displaystyle P(rgeq k;kn_{1},{frac {1}{n_{1}}})>P(rgeq k;kn_{2},{frac {1}{n_{2}}})}$.

(из Varagnolo, Pillonetto and Schenato (2013)):^[4]

Если ${displaystyle u _{1},u _{2},n,k}$ положительные натуральные числа, и ${displaystyle u _{1}leq u _{2},kleq n,pin [0,1]}$ тогда ${displaystyle P(r=u _{1}k;u _{1}n,p)geq P(r=u _{2}k;u _{2}n,p)}$.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Проблема Ньютона-Пеписа». MathWorld.
2. Стиглер, Стивен М (2006). «Исаак Ньютон как вероятностник». Статистическая наука. 21 (3): 400. arXiv:математика / 0701089. Дои:10.1214/088342306000000312.
3. Чаанди, Т.В., Буллард, Дж. Э., 1960. «Проблема Джона Смита». Математический вестник 44, 253-260.
4. Д. Варагноло, Л. Шенато, Г. Пиллонетто, 2013. «Вариант задачи Ньютона – Пеписа и ее связи с проблемами оценки размера». Письма о статистике и вероятности 83 (5), 1472-1478.