Поверхность Пеано - Peano surface

Модель поверхности Пеано в коллекции Дрездена

В математике Поверхность Пеано это график из функция двух переменных

${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2}).}$

Это было предложено Джузеппе Пеано в 1899 году как контрпример к предполагаемому критерию существования максимумы и минимумы функций двух переменных.^[1][2]

Поверхность получила название поверхности Пеано (Немецкий: Peanosche Fläche) к Георг Шефферс в его книге 1920 года Lehrbuch der darstellenden Geometrie.^[1][3] Его также называли Седло Пеано.^[4][5]

Характеристики

Поверхность Пеано и ее кривые уровня для уровня 0 (параболы, зеленый и фиолетовый)

Функция ${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})}$ чей график представляет собой поверхность, принимает положительные значения между двумя параболы ${\displaystyle y=x^{2}}$ и ${\displaystyle y=2x^{2}}$и отрицательные значения в других местах (см. диаграмму). На источник, трехмерная точка ${\displaystyle (0,0,0)}$ на поверхности, соответствующей точке пересечения двух парабол, поверхность имеет точка перевала.^[6] Сама поверхность имеет положительные Гауссова кривизна в одних частях и отрицательная кривизна в других, разделенных другой параболой,^[4][5] подразумевая, что это Карта Гаусса имеет Касп Уитни.^[5]

Пересечение поверхности Пеано с вертикальной плоскостью. Кривая пересечения имеет локальный максимум в начале координат справа от изображения и глобальный максимум слева от изображения, неглубоко опускающийся между этими двумя точками.

Хотя поверхность не имеет локального максимума в начале координат, ее пересечение с любой вертикальной плоскостью через начало координат (плоскость с уравнением ${\displaystyle y=mx}$ или же ${\displaystyle x=0}$) - кривая, имеющая локальный максимум в начале координат,^[1] свойство, описанное Эрл Рэймонд Хедрик как «парадоксально».^[7] Другими словами, если точка начинается в начале координат ${\displaystyle (0,0)}$ плоскости и удаляется от начала координат по любой прямой, значение ${\displaystyle (2x^{2}-y)(y-x^{2})}$ уменьшится в начале движения. Тем не менее, ${\displaystyle (0,0)}$ не является локальным максимумом функции, потому что движение по параболе, такой как ${\displaystyle y={\sqrt {2}}\,x^{2}}$ (на диаграмме: красный) приведет к увеличению значения функции.

Поверхность Пеано - это четвертичная поверхность.

Как контрпример

В 1886 г. Джозеф Альфред Серре опубликовал учебник^[8] с предложенными критериями для экстремальных точек поверхности, заданными формулой ${\displaystyle z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)}$

"максимум или минимум имеет место, когда для значений ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$ для которого ${\displaystyle d^{2}f}$ и ${\displaystyle d^{3}f}$ (третий и четвертый члены) исчезают, ${\displaystyle d^{4}f}$ (пятый член) постоянно имеет знак - или знак + ".

Здесь предполагается, что линейные члены равны нулю и Серия Тейлор из ${\displaystyle f}$ имеет форму${\displaystyle z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots }$куда ${\displaystyle Q(h,k)}$ это квадратичная форма подобно ${\displaystyle ah^{2}+bhk+ck^{2}}$,${\displaystyle C(h,k)}$ это кубическая форма с кубическими числами в ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$,и ${\displaystyle F(h,k)}$ является квартикой с однородный полином четвертой степени от ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$Серре предполагает, что если ${\displaystyle F(h,k)}$ имеет постоянный знак для всех точек, где ${\displaystyle Q(h,k)=C(h,k)=0}$ тогда существует локальный максимум или минимум поверхности в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

В своих заметках 1884 г. Анджело Дженокки учебник итальянского по исчисление, Дифференциальный кальколо и принцип интеграции кальколоПеано уже предоставил различные правильные условия для достижения функции локального минимума или локального максимума.^[1][9] В немецком переводе того же учебника 1899 г. он представил эту поверхность как контрпример к состоянию Серре. В точке ${\displaystyle (0,0,0)}$, Условия Серре выполнены, но эта точка является седловой, а не локальным максимумом.^[1][2] Связанное с заболеванием Серре состояние также подверглось критике Людвиг Шеффер [де ], который использовал поверхность Пеано в качестве контрпримера в публикации 1890 года, приписываемой Пеано.^[6][10]

Модели

Модели поверхности Пеано включены в Геттингенский сборник математических моделей и инструментов на Геттингенский университет,^[11] и в коллекции математических моделей TU Dresden (в двух разных моделях).^[12] Модель Göttingen была первой новой моделью, добавленной в коллекцию после Первая Мировая Война, и один из последних добавленных в коллекцию в целом.^[6]

Рекомендации

1. Эмч, Арнольд (1922). «Модель поверхности Пеано». Американский математический ежемесячный журнал. 29 (10): 388–391. Дои:10.1080/00029890.1922.11986180. JSTOR  2299024. МИСТЕР  1520111.
2. Дженокки, Анджело (1899). Пеано, Джузеппе (ред.). Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung (на немецком). Б.Г. Teubner. п. 332.
3. Шефферс, Георг (1920). "427. Die Peanosche Fläche". Lehrbuch der darstellenden Geometrie (на немецком). II. С. 261–263.
4. Кривошапко, С. Н .; Иванов, В. Н. (2015). «Седловые поверхности». Энциклопедия аналитических поверхностей. Springer. С. 561–565. Дои:10.1007/978-3-319-11773-7_33. См. Особенно раздел «Седло для Пеано», стр. 562–563.
5. Фрэнсис, Джордж К. (1987). Топологическая книга с картинками. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. п. 88. ISBN  0-387-96426-6. МИСТЕР  0880519.
6. Фишер, Герд, изд. (2017). Математические модели: из собраний университетов и музеев - Том фотографии и комментарии (2-е изд.). Дои:10.1007/978-3-658-18865-8. См., В частности, предисловие (стр. Xiii) по истории модели Геттингена, фото 122 «Penosche Fläsche / Peano Surface» (стр. 119) и главу 7, Функции, Юрген Лейтерер (Р. Б. Буркель, пер.), Раздел 1.2, "The Peano Surface (Photo 122)", pp. 202–203, для обзора его математики.
7. Хедрик, Э. (Июль 1907 г.). «Своеобразный пример в минимумах поверхностей». Анналы математики. Вторая серия. 8 (4): 172–174. Дои:10.2307/1967821. JSTOR  1967821.
8. Серре, Дж. А. (1886). Cours de Calcul différentiel et intégral. 1 (3-е изд.). Париж. п. 216 - через Интернет-архив.
9. Дженокки, Анджело (1884). "Massimi e minimi delle funzioni di più variabili". В Пеано, Джузеппе (ред.). Дифференциальный кальколо и принцип интеграции кальколо (на итальянском). Fratelli Bocca. С. 195–203.
10. Шеффер, Людвиг (декабрь 1890 г.). "Theorie der Maxima und Minima einer Function von zwei Variabeln". Mathematische Annalen (на немецком). 35 (4): 541–576. Дои:10.1007 / bf02122660. См., В частности, стр. 545–546.
11. «Поверхность Пеано». Гёттингенская коллекция математических моделей и инструментов. Геттингенский университет. Получено 2020-07-13.
12. Модель 39, "Peanosche Fläche, geschichtet" и модель 40, "Peanosche Fläche", Mathematische Modelle, TU Dresden, получено 13.07.2020

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Поверхность Пеано». MathWorld.