Квадратичная алгебра Ли - Quadratic Lie algebra

А квадратичная алгебра Ли это Алгебра Ли вместе с совместимой симметричной билинейной формой. Совместимость означает, что она инвариантна относительно присоединенное представительство. Примеры таких полупростые алгебры Ли, Такие как солнце) и sl (п,р).

Определение

Квадратичная алгебра Ли - это алгебра Ли (грамм, [.,.]) вместе с невырожденной симметричной билинейной формой ${\displaystyle (.,.)\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }$ инвариантный относительно присоединенного действия, т. е.

([Икс,Y],Z)+(Y,[Икс,Z])=0

куда X, Y, Z элементы алгебры Ли грамм. Локализация / обобщение - это концепция Алгеброид Куранта где векторное пространство грамм заменяется на (части) a векторный набор.

Примеры

В качестве первого примера рассмотрим р^п с нулевой скобкой и стандартным внутренним продуктом

${\displaystyle ((x_{1},\dots ,x_{n}),(y_{1},\dots ,y_{n})):=\sum _{j}x_{j}y_{j}}$.

Поскольку скобка тривиальна, инвариантность выполняется тривиально.

В качестве более подробного примера рассмотрим так (3), т.е. р³ с базой X, Y, Z, стандартный внутренний продукт и скобка Ли

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [Y,Z]=X,\quad [Z,X]=Y}$.

Прямые вычисления показывают, что внутренний продукт действительно сохраняется. Обобщение состоит в следующем.

Полупростые алгебры Ли

Большая группа примеров попадает в категорию полупростых алгебр Ли, то есть алгебр Ли, присоединенное представление которых является точным. Примеры sl (n, R) и солнце), а также прямые суммы их. Пусть таким образом грамм полупростая алгебра Ли с присоединенным представлением объявление, т.е.

${\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}}):X\mapsto (\mathrm {ad} _{X}\colon Y\mapsto [X,Y])}$.

Определите теперь Форма убийства

${\displaystyle k\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} :X\otimes Y\mapsto -\mathrm {tr} (\mathrm {ad} _{X}\circ \mathrm {ad} _{Y})}$.

Из-за Критерий Картана форма Киллинга невырождена тогда и только тогда, когда алгебра Ли полупроста.

Если грамм кроме того простая алгебра Ли, то форма Киллинга сводится к перемасштабированию единственной инвариантной симметричной билинейной формы.

Рекомендации

Эта статья включает материал из квадратичной алгебры Ли по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.