Квадратичная алгебра Ли - Quadratic Lie algebra

А квадратичная алгебра Ли это Алгебра Ли вместе с совместимой симметричной билинейной формой. Совместимость означает, что она инвариантна относительно присоединенное представительство. Примеры таких полупростые алгебры Ли, Такие как солнце) и sl (п,р).

Определение

Квадратичная алгебра Ли - это алгебра Ли (грамм, [.,.]) вместе с невырожденной симметричной билинейной формой инвариантный относительно присоединенного действия, т. е.

([Икс,Y],Z)+(Y,[Икс,Z])=0

куда X, Y, Z элементы алгебры Ли грамм. Локализация / обобщение - это концепция Алгеброид Куранта где векторное пространство грамм заменяется на (части) a векторный набор.

Примеры

В качестве первого примера рассмотрим рп с нулевой скобкой и стандартным внутренним продуктом

.

Поскольку скобка тривиальна, инвариантность выполняется тривиально.

В качестве более подробного примера рассмотрим так (3), т.е. р3 с базой X, Y, Z, стандартный внутренний продукт и скобка Ли

.

Прямые вычисления показывают, что внутренний продукт действительно сохраняется. Обобщение состоит в следующем.

Полупростые алгебры Ли

Большая группа примеров попадает в категорию полупростых алгебр Ли, то есть алгебр Ли, присоединенное представление которых является точным. Примеры sl (n, R) и солнце), а также прямые суммы их. Пусть таким образом грамм полупростая алгебра Ли с присоединенным представлением объявление, т.е.

.

Определите теперь Форма убийства

.

Из-за Критерий Картана форма Киллинга невырождена тогда и только тогда, когда алгебра Ли полупроста.

Если грамм кроме того простая алгебра Ли, то форма Киллинга сводится к перемасштабированию единственной инвариантной симметричной билинейной формы.

Рекомендации

Эта статья включает материал из квадратичной алгебры Ли по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.