Цепь RL - RL circuit

А цепь резистор-индуктор (Цепь RL), или RL фильтр или Сеть RL, является электрическая цепь состоит из резисторы и индукторы управляемый Напряжение или Источник тока. Цепь RL первого порядка состоит из одного резистора и одной катушки индуктивности и является самым простым типом цепи RL.

Схема RL первого порядка - одна из самых простых аналог бесконечный импульсный отклик электронные фильтры. Он состоит из резистора и индуктора, либо в серии приводится в действие источником напряжения или в параллельно управляемый источником тока.

Введение

Фундаментальный пассивный линейный элементы схемы являются резистор (Р), конденсатор (C) и индуктор (L). Эти элементы схемы можно комбинировать, чтобы сформировать электрическая цепь четырьмя различными способами: RC схема, цепь RL, LC-цепь и Схема RLC с сокращениями, указывающими, какие компоненты используются. Эти схемы демонстрируют важные типы поведения, которые имеют фундаментальное значение для аналоговая электроника. В частности, они могут действовать как пассивные фильтры. В этой статье рассматривается схема RL как в серии и параллельно как показано на схемах.

На практике, однако, конденсаторы (и RC-цепи) обычно предпочтительнее катушек индуктивности, поскольку их легче изготовить и, как правило, они физически меньше, особенно для компонентов с более высокой стоимостью.

Обе цепи RC и RL образуют однополюсный фильтр. В зависимости от того, находится ли реактивный элемент (C или L) последовательно с нагрузкой или параллельно с нагрузкой, будет зависеть, является ли фильтр низкочастотным или высокочастотным.

Часто цепи RL используются в качестве источников питания постоянного тока для ВЧ-усилителей, где катушка индуктивности используется для пропускания постоянного тока смещения и блокировки возврата ВЧ-сигнала в источник питания.

Эта статья основана на знании сложного сопротивление представление индукторы и на знании частотная область представление сигналов.

Комплексный импеданс

В комплексный импеданс Z_L (в Ом ) индуктора с индуктивностью L (в Генрис ) является

${\displaystyle Z_{L}=Ls\,.}$

Комплексная частота s это комплексное число,

${\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}$

где

• j представляет мнимая единица: j² = −1,
• σ это экспоненциальный спад постоянный (в радиан в секунду ), и
• ω это угловая частота (в радианах в секунду).

Собственные функции

В комплексный собственные функции Любые линейный неизменный во времени (LTI) системы бывают следующих форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{aligned}}}$

От Формула Эйлера, действительная часть этих собственных функций является экспоненциально убывающими синусоидами:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.}$

Синусоидальное установившееся состояние

Синусоидальное установившееся состояние - это особый случай, когда входное напряжение состоит из чистой синусоиды (без экспоненциального затухания). Как результат,

${\displaystyle \sigma =0}$

и оценка s становится

${\displaystyle s=j\omega \,.}$

Последовательная схема

Серии Цепь RL

Рассматривая схему как делитель напряжения, мы видим, что Напряжение через катушку индуктивности:

${\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,,}$

а напряжение на резисторе равно:

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

ток

Ток в цепи везде одинаковый, так как цепь включена последовательно:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.}$

Передаточные функции

В функция передачи к индуктору напряжение

${\displaystyle H_{L}(s)={\frac {V_{L}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G_{L}e^{j\phi _{L}}\,.}$

Точно так же передаточная функция напряжения резистора равна

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G_{R}e^{j\phi _{R}}\,.}$

Передаточная функция по отношению к току равна

${\displaystyle H_{I}(s)={\frac {I(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.}$

Полюсы и нули

Передаточные функции имеют единую столб расположен на

${\displaystyle s=-{\frac {R}{L}}\,.}$

Кроме того, передаточная функция индуктора имеет нуль расположен в происхождение.

Коэффициент усиления и фазовый угол

Прирост по двум компонентам находится путем взятия величин из приведенных выше выражений:

${\displaystyle G_{L}={\big |}H_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{L}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

и

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,}$

и фазовые углы находятся:

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

и

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.}$

Обозначение фазора

Эти выражения вместе могут быть заменены на обычное выражение для фазор представляющий вывод:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}&=G_{L}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{L}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\end{aligned}}}$

Импульсивный ответ

В импульсивный ответ для каждого напряжения обратное Преобразование Лапласа соответствующей передаточной функции. Он представляет собой реакцию схемы на входное напряжение, состоящее из импульса или Дельта-функция Дирака.

Импульсная характеристика для напряжения индуктора равна

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

где ты(т) это Ступенчатая функция Хевисайда и τ = L/р это постоянная времени.

Точно так же импульсная характеристика для напряжения резистора равна

${\displaystyle h_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.}$

Ответ с нулевым входом

В реакция с нулевым входом (ZIR), также называемый естественный ответ, схемы RL описывает поведение схемы после достижения постоянных напряжений и токов и отключения от любого источника питания. Это называется реакцией с нулевым вводом, поскольку не требует ввода.

ZIR цепи RL:

${\displaystyle I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.}$

Рекомендации по частотной области

Эти частотная область выражения. Их анализ покажет, какие частоты схемы (или фильтры) пропускают, а какие отклоняют. Этот анализ основан на рассмотрении того, что происходит с этими коэффициентами усиления, когда частота становится очень большой и очень маленькой.

Так как ω → ∞:

${\displaystyle G_{L}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

Так как ω → 0:

${\displaystyle G_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

Это показывает, что если выходной сигнал поступает через катушку индуктивности, высокие частоты проходят, а низкие частоты ослабляются (отклоняются). Таким образом, схема ведет себя как фильтр высоких частот. Если, тем не менее, выходной сигнал поступает через резистор, высокие частоты отклоняются, а низкие частоты пропускаются. В этой конфигурации схема ведет себя как фильтр нижних частот. Сравните это с поведением выхода резистора в RC схема, где наоборот.

Диапазон частот, который пропускает фильтр, называется его пропускная способность. Точка, в которой фильтр ослабляет сигнал до половины его нефильтрованной мощности, называется его частота среза. Это требует, чтобы коэффициент усиления схемы был уменьшен до

${\displaystyle G_{L}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

Решение вышеуказанного уравнения дает

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {R}{L}}{\mbox{ rad/s}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {R}{2\pi L}}{\mbox{ Hz}}\,,}$

это частота, которую фильтр будет ослаблять до половины своей исходной мощности.

Ясно, что фазы также зависят от частоты, хотя в целом этот эффект менее интересен, чем изменения усиления.

Так как ω → 0:

${\displaystyle \phi _{L}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

Так как ω → ∞:

${\displaystyle \phi _{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

Так что на ОКРУГ КОЛУМБИЯ (0 Гц ), напряжение резистора находится в фазе с напряжением сигнала, а напряжение индуктора опережает его на 90 °. По мере увеличения частоты напряжение на резисторе запаздывает на 90 ° относительно сигнала, а напряжение на катушке индуктивности становится синфазным с сигналом.

Замечания во временной области

Этот раздел основан на знании е, то натуральная логарифмическая константа.

Самый простой способ получить поведение во временной области - использовать Преобразования Лапласа выражений для V_L и V_р приведено выше. Это эффективно преобразует jω → s. Если предположить пошаговый ввод (т.е. V_в = 0 перед т = 0 а потом V_в = V потом):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

Отклик на скачок напряжения индуктора.

Отклик на скачок напряжения резистора.

Неполные фракции разложения и обратное Преобразование Лапласа Уступать:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, напряжение на катушке индуктивности с течением времени стремится к 0, в то время как напряжение на резисторе стремится к V, как показано на рисунках. Это согласуется с интуитивно понятной точкой зрения, что на катушке индуктивности будет напряжение только до тех пор, пока ток в цепи изменяется - когда схема достигает своего установившегося состояния, дальнейшее изменение тока и, в конечном счете, отсутствие напряжения на катушке индуктивности.

Эти уравнения показывают, что последовательная цепь RL имеет постоянную времени, обычно обозначаемую τ = L/р время, за которое напряжение на компоненте либо падает (на катушке индуктивности), либо повышается (на резисторе) с точностью до 1/е его окончательного значения. Это, τ время, которое требуется V_L достигнуть V(1/е) и V_р достигнуть V(1 − 1/е).

Скорость изменения дробный 1 − 1/е на τ. Таким образом, при переходе от т = Nτ к т = (N + 1)τ, напряжение сместится примерно на 63% от своего уровня на т = Nτ к его окончательному значению. Таким образом, напряжение на катушке индуктивности упадет примерно до 37% после τ, и практически до нуля (0,7%) примерно через 5τ. Закон напряжения Кирхгофа означает, что напряжение на резисторе будет подъем с той же скоростью. Когда источник напряжения затем заменяется коротким замыканием, напряжение на резисторе падает экспоненциально с т от V в сторону 0. Резистор разряжается примерно до 37% после τ, и практически полностью разряжается (0,7%) примерно через 5τ. Обратите внимание, что текущий, я, в цепи ведет себя так же, как напряжение на резисторе, через Закон Ома.

Задержка нарастания или спада цепи в этом случае вызвана противо-ЭДС от катушки индуктивности, которая по мере того, как ток, протекающий через нее, пытается измениться, предотвращает рост или падение тока (и, следовательно, напряжения на резисторе) намного быстрее, чем постоянная времени цепи. Поскольку на всех проводах есть самоиндукция и сопротивления, все цепи имеют постоянную времени. В результате, когда источник питания включен, ток не мгновенно достигает своего установившегося значения, V/р. Вместо этого для завершения подъема требуется несколько постоянных времени. Если бы это было не так и ток должен был немедленно достичь установившегося состояния, чрезвычайно сильные индуктивные электрические поля создавались бы резким изменением магнитного поля - это привело бы к пробою воздуха в цепи и электрическая дуга, возможно, повреждение компонентов (и пользователей).

Эти результаты также могут быть получены путем решения дифференциальное уравнение описание схемы:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{L}\,.\end{aligned}}}$

Первое уравнение решается с помощью интегрирующий фактор и дает ток, который необходимо дифференцировать, чтобы получить V_L; второе уравнение простое. Решения точно такие же, как и полученные с помощью преобразований Лапласа.

Уравнение короткого замыкания

Для короткое замыкание оценка, рассматривается схема RL. более общее уравнение:

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}$

С начальным состоянием:

${\displaystyle i(0)=i_{0}}$

Что можно решить с помощью Преобразование Лапласа:

${\displaystyle V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI}$

Таким образом:

${\displaystyle I(s)={\frac {Li_{o}+V_{in}}{sL+R}}}$

Затем антитрансформация возвращается:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{in}}{sL+R}}\right]}$

Если исходное напряжение Ступенчатая функция Хевисайда (ОКРУГ КОЛУМБИЯ):

${\displaystyle v_{in}(t)=Eu(t)}$

Возврат:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)}$

В случае, если напряжение источника является синусоидальной функцией (переменный ток):

${\displaystyle v_{in}(t)=E\sin(\omega t)\Rightarrow V_{in}(s)={\frac {E\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}$

Возврат:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{(s^{2}+\omega ^{2})(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{2j\omega }}\left({\frac {1}{s-j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}\right){\frac {1}{(sL+R)}}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {1}{s+{\frac {R}{L}}}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)+{\frac {1}{s-j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}e^{-{\frac {R}{L}}t}2j{\text{Im}}\left[{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]+{\frac {E}{2jL}}2j{\text{Im}}\left[e^{j\omega t}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left(\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right)}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L\left(\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right)}}\left({\frac {R}{L}}\sin(\omega t)-\omega \cos(\omega t)\right)}$

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left(\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right)}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L{\sqrt {\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}}}}}\sin \left(\omega t-\tan ^{-1}\left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right)}$

Параллельная схема

Параллельный Цепь RL

Параллельная цепь RL обычно менее интересна, чем последовательная цепь, если она не питается от источника тока. Во многом это связано с тем, что выходное напряжение V_вне равно входному напряжению V_в - в результате эта схема не действует как фильтр для входного сигнала напряжения.

Со сложными сопротивлениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{L}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{\mathrm {in} }}{\omega L}}\,.\end{aligned}}}$

Это показывает, что катушка индуктивности отстает от тока резистора (и источника) на 90 °.

Параллельная схема видна на выходе многих схем усилителя и используется для изоляции усилителя от эффектов емкостной нагрузки на высоких частотах. Из-за фазового сдвига, вносимого емкостью, некоторые усилители становятся нестабильными на очень высоких частотах и ​​имеют тенденцию к колебаниям. Это влияет на качество звука и срок службы компонентов (особенно транзисторов), и этого следует избегать.

Смотрите также

• LC-цепь
• RC схема
• Схема RLC
• Электрическая сеть
• Список тем электроники

использованная литература