Схема RLC - RLC circuit

Последовательная сеть RLC (по порядку): резистор, катушка индуктивности и конденсатор

An Схема RLC является электрическая цепь состоящий из резистор (R), индуктор (L), а конденсатор (C), подключенные последовательно или параллельно. Название схемы образовано из букв, которые используются для обозначения составляющих компонентов этой схемы, причем последовательность компонентов может отличаться от RLC.

Схема образует гармонический осциллятор для текущего и резонирует аналогично LC-цепь. Введение резистора увеличивает затухание этих колебаний, которое также известно как демпфирование. Резистор также снижает пиковую резонансную частоту. В обычных условиях некоторое сопротивление неизбежно, даже если резистор специально не включен в качестве компонента; идеальная, чистая LC-цепь существует только в области сверхпроводимость, физический эффект до сих пор проявлялся только при температурах намного ниже температуры окружающей среды, наблюдаемой где-либо на поверхности Земли.

Цепи RLC имеют множество применений, например схемы генератора. Радиоприемники и телевизионные наборы использовать их для настройка для выбора узкого диапазона частот от окружающих радиоволн. В этой роли схему часто называют настроенной схемой. Цепь RLC может использоваться как полосовой фильтр, полосовой фильтр, фильтр нижних частот или же фильтр высоких частот. Приложение настройки, например, является примером полосовой фильтрации. Фильтр RLC описывается как второго порядка цепи, что означает, что любое напряжение или ток в цепи может быть описан вторым порядком дифференциальное уравнение в схемотехнике.

Три элемента схемы, R, L и C, могут быть объединены в несколько различных топологии. Все три последовательных элемента или все три параллельных элемента являются наиболее простыми по концепции и наиболее простыми для анализа. Однако есть и другие устройства, некоторые из которых имеют практическое значение в реальных схемах. Одна из часто встречающихся проблем - это необходимость учитывать сопротивление индуктора. Катушки индуктивности обычно состоят из катушек с проволокой, сопротивление которой обычно нежелательно, но часто оказывает значительное влияние на схему.

Базовые концепты

Резонанс

Важным свойством этой схемы является ее способность резонировать на определенной частоте, т.е. резонансная частота, ж₀. Частоты измеряются в единицах герц. В этой статье, угловая частота, ω₀, используется потому, что это более удобно с математической точки зрения. Это измеряется в радианы в секунду. Они связаны друг с другом простой пропорцией,

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}\,.}$

Резонанс происходит потому, что энергия в этой ситуации накапливается двумя разными способами: в электрическом поле, когда конденсатор заряжается, и в магнитном поле, когда ток течет через катушку индуктивности. Энергия может передаваться от одного к другому в цепи, и это может быть колебательным. Механическая аналогия - это груз, подвешенный на пружине, которая при отпускании будет колебаться вверх и вниз. Это не мимолетная метафора; Вес на пружине описывается точно таким же дифференциальным уравнением второго порядка, что и цепь RLC, и для всех свойств одной системы будет обнаружено аналогичное свойство другой. Механическое свойство, отвечающее резистору в цепи, - это трение в системе пружина-груз. Трение будет медленно прекращать любые колебания, если их не движет внешняя сила. Точно так же сопротивление в цепи RLC будет «гасить» колебания, уменьшая их со временем, если в цепи нет источника питания переменного тока.

Резонансная частота определяется как частота, на которой сопротивление схемы находится на минимальном уровне. Эквивалентно, его можно определить как частоту, на которой импеданс является чисто реальным (то есть чисто резистивным). Это происходит потому, что импедансы катушки индуктивности и конденсатора в резонансе равны, но имеют противоположный знак и компенсируются. Цепи, в которых L и C подключены параллельно, а не последовательно, на самом деле имеют максимальный импеданс, а не минимальный. По этой причине их часто называют антирезонаторы, однако по-прежнему принято называть частоту, на которой это происходит, резонансной частотой.

Собственная частота

Резонансная частота определяется импедансом, подаваемым на источник возбуждения. Схема все еще может продолжать колебаться (в течение некоторого времени) после того, как источник возбуждения был удален или она подвергается скачку напряжения (включая скачок до нуля). Это похоже на то, как камертон продолжает звонить после удара, и этот эффект часто называют звоном. Этот эффект представляет собой пиковую собственную резонансную частоту контура и, как правило, не совсем то же самое, что и частота возбуждаемого резонанса, хотя они обычно довольно близки друг к другу. Разные авторы используют разные термины, чтобы различать эти два явления, но без определения резонансной частоты обычно означает возбуждаемую резонансную частоту. Возбужденная частота может быть названа незатухающий резонансная частота или незатухающая собственная частота и пиковая частота могут называться затухающей резонансной частотой или затухающей собственной частотой. Причина такой терминологии в том, что возбуждаемая резонансная частота в последовательном или параллельном резонансном контуре имеет значение^[1]

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~.}$

Это в точности то же самое, что резонансная частота LC-контура, то есть без резистора. Резонансная частота для контура RLC такая же, как и для контура, в котором нет демпфирования, следовательно, резонансная частота незатухает. Пиковая резонансная частота, с другой стороны, зависит от номинала резистора и описывается как затухающая резонансная частота. Цепь с сильным демпфированием вообще не будет резонировать, если ее не использовать. Схема со значением резистора, которое приводит к тому, что он находится на границе звона, называется критически затухающий. Обе стороны критического затухания описываются как недостаточно демпфированный (раздается звонок) и чрезмерно демпфированный (звонок подавлен).

Схемы с топологией более сложной, чем прямая последовательная или параллельная (некоторые примеры описаны далее в статье), имеют возбуждаемую резонансную частоту, которая отклоняется от ${\displaystyle \omega _{0}=1/{\sqrt {L\,C~}}}$, и для них незатухающая резонансная частота, затухающая резонансная частота и возбуждаемая резонансная частота могут быть разными.

Демпфирование

Демпфирование вызвано сопротивлением в цепи. Он определяет, будет ли цепь резонировать естественным образом (то есть без источника возбуждения). Цепи, которые будут резонировать таким образом, описываются как недемпфированные, а те, которые не будут, - как чрезмерно демпфированные. Затухание демпфирования (символ α) измеряется в неперс в секунду. Однако безразмерный коэффициент демпфирования (символ ζ, дзета) часто бывает более полезной мерой, связанной с α к

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\omega _{0}}}\,.}$

Частный случай ζ = 1 называется критическим демпфированием и представляет собой случай цепи, находящейся как раз на границе колебаний. Это минимальное демпфирование, которое можно применить, не вызывая колебаний.

Пропускная способность

Эффект резонанса можно использовать для фильтрации, быстрое изменение импеданса вблизи резонанса можно использовать для пропускания или блокировки сигналов, близких к резонансной частоте. Могут быть сконструированы как полосовые, так и полосовые фильтры, некоторые схемы фильтров показаны ниже в статье. Ключевым параметром при разработке фильтра является пропускная способность. Полоса пропускания измеряется между частоты среза, чаще всего определяется как частоты, на которых мощность, проходящая через цепь, упала до половины значения, передаваемого при резонансе. Есть две из этих частот половинной мощности, одна выше и одна ниже резонансной частоты.

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,,}$

куда Δω это пропускная способность, ω₁ - нижняя частота половинной мощности и ω₂ - верхняя частота половинной мощности. Ширина полосы связана с ослаблением

${\displaystyle \Delta \omega =2\alpha \,,}$

где единицы - радианы в секунду и неперс в секунду соответственно.^{[нужна цитата ]} Для других единиц может потребоваться коэффициент пересчета. Более общий показатель ширины полосы - это дробная ширина полосы, которая выражает полосу пропускания как долю резонансной частоты и определяется выражением

${\displaystyle B_{\mathrm {f} }={\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}\,.}$

Дробная пропускная способность также часто указывается в процентах. Демпфирование цепей фильтров регулируется для достижения требуемой полосы пропускания. Узкополосный фильтр, такой как режекторный фильтр, требует низкого демпфирования. Широкополосный фильтр требует сильного демпфирования.

Q фактор

В Q фактор - широко распространенная мера, используемая для характеристики резонаторов. Он определяется как пиковая энергия, запасенная в цепи, деленная на среднюю энергию, рассеиваемую в ней на радиан при резонансе. Низкий-Q цепи поэтому демпфированы, с потерями иQ схемы недостаточно демпфированы. Q связано с пропускной способностью; низкий-Q схемы широкополосные и высокочастотные.Q схемы узкополосные. На самом деле бывает, что Q является обратной величиной дробной пропускной способности

${\displaystyle Q={\frac {1}{B_{\mathrm {f} }}}={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}\,.}$

Q коэффициент прямо пропорционален избирательность, как Q Коэффициент обратно пропорционально зависит от пропускной способности.

Для последовательного резонансного контура Q коэффициент можно рассчитать следующим образом:^[2]

${\displaystyle Q={\frac {1}{\omega _{0}RC}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.}$

Масштабированные параметры

Параметры ζ, F_б, и Q все масштабированы до ω₀. Это означает, что схемы со схожими параметрами имеют одинаковые характеристики независимо от того, работают они в одной полосе частот или нет.

В следующей статье дается подробный анализ последовательной цепи RLC. Остальные конфигурации так подробно не описаны, но приведены основные отличия от серийного корпуса. Общая форма дифференциальных уравнений, приведенная в разделе последовательной цепи, применима ко всем цепям второго порядка и может использоваться для описания напряжения или тока в любых элемент каждой цепи.

Последовательная схема

Рисунок 1: Последовательная цепь RLC

• V, источник напряжения, питающий цепь
• я, ток, пропускаемый через цепь
• р, эффективное сопротивление комбинированной нагрузки, источника и компонентов
• L, индуктивность индуктор компонент
• C, емкость конденсатор компонент

В этой схеме все три компонента включены последовательно с источник напряжения. Управляющий дифференциальное уравнение можно найти, подставив в Закон напряжения Кирхгофа (КВЛ) конститутивное уравнение для каждого из трех элементов. От КВЛ,

${\displaystyle V_{R}+V_{L}+V_{C}=V(t)\,,}$

куда V_р, V_L и V_C - напряжения на R, L и C соответственно и V(т) - изменяющееся во времени напряжение от источника.

Подстановка ${\displaystyle V_{R}=RI(t)}$, ${\displaystyle V_{L}=L{dI(t) \over dt}}$ и ${\displaystyle V_{C}=V(0)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,d\tau }$ в уравнение выше дает:

${\displaystyle RI(t)+L{\frac {dI(t)}{dt}}+V(0)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,d\tau =V(t)\,.}$

Для случая, когда источником является постоянное напряжение, взяв производную по времени и разделив на L приводит к следующему дифференциальному уравнению второго порядка:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I(t)+{\frac {R}{L}}{\frac {d}{dt}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0\,.}$

Это может быть полезно выразить в более общей форме:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {d}{dt}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0\,.}$

α и ω₀ оба находятся в единицах угловая частота. α называется непер частота, или же затухание, и является мерой того, насколько быстро переходный ответ цепи исчезнут после того, как стимул будет удален. Непер встречается в названии, потому что единицы также могут считаться неперс в секунду, непер - это единица затухания. ω₀ - угловая резонансная частота.^[3]

Для случая последовательной цепи RLC эти два параметра определяются как:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {R}{2L}}\\\omega _{0}&={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.\end{aligned}}}$

Полезный параметр - это коэффициент демпфирования, ζ, который определяется как отношение этих двух; хотя иногда α называется коэффициентом демпфирования и ζ не используется.^[5]

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\omega _{0}}}\,.}$

В случае последовательной цепи RLC коэффициент демпфирования определяется выражением

${\displaystyle \zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}\,.}$

Значение коэффициента демпфирования определяет тип переходного процесса, который будет проявляться в цепи.^[6]

Переходный ответ

График, показывающий отклики с пониженным и чрезмерным демпфированием последовательной цепи RLC. График критического демпфирования - жирная красная кривая. Графики нормированы на L = 1, C = 1 и ω₀ = 1.

Дифференциальное уравнение имеет характеристическое уравнение,^[7]

${\displaystyle s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0\,.}$

Корни уравнения в s-домен есть,^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}=-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)\\s_{2}&=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}=-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)\,.\end{aligned}}}$

Общее решение дифференциального уравнения представляет собой экспоненту в корне или линейную суперпозицию обоих,

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\,.}$

Коэффициенты А₁ и А₂ определяются граничные условия конкретной анализируемой проблемы. То есть они устанавливаются значениями токов и напряжений в цепи в начале переходного процесса и предполагаемым значением, на котором они установятся через бесконечное время.^[8] Дифференциальное уравнение для схемы решается тремя разными способами в зависимости от значения ζ. Они чрезмерно демпфированы (ζ > 1), недемпфированные (ζ < 1) и критически затухающие (ζ = 1).

Сверхдемпфированный ответ

Сверхдемпфированная реакция (ζ > 1) является^[9]

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\,.}$

Отклик с избыточным демпфированием - это затухание переходного тока без колебаний.^[10]

Недемпфированный ответ

Недемпфированная реакция (ζ < 1) является^[11]

${\displaystyle I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)\,.}$

Применяя стандартные тригонометрические тождества две тригонометрические функции могут быть выражены как одна синусоида со сдвигом фазы,^[12]

${\displaystyle I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )\,.}$

Недемпфированный отклик - это затухающие колебания с частотой ω_d. Колебание затухает со скоростью, определяемой затуханием α. Экспонента в α описывает конверт колебания. B₁ и B₂ (или же B₃ и фазовый сдвиг φ во второй форме) - произвольные постоянные, определяемые граничными условиями. Частота ω_d дан кем-то^[11]

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\,.}$

Это называется затухающей резонансной частотой или затухающей собственной частотой. Это частота, на которой цепь будет естественным образом колебаться, если не будет управляться внешним источником. Резонансная частота, ω₀, которая представляет собой частоту, на которой цепь будет резонировать под действием внешнего колебания, часто может называться незатухающей резонансной частотой, чтобы отличить ее.^[13]

Критически затухающий ответ

Критически затухающий отклик (ζ = 1) является^[14]

${\displaystyle I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\,.}$

Критически затухающий отклик представляет собой отклик схемы, который затухает в кратчайшие сроки, не переходя в колебания. Это соображение важно в системах управления, где требуется как можно быстрее достичь желаемого состояния без перескока. D₁ и D₂ - произвольные постоянные, определяемые граничными условиями.^[15]

Домен Лапласа

Последовательный RLC может быть проанализирован как для переходного, так и для установившегося режима переменного тока с помощью Преобразование Лапласа.^[16] Если указанный выше источник напряжения выдает сигнал с преобразованием Лапласа V(s) (куда s это комплексная частота s = σ + jω), КВЛ может применяться в области Лапласа:

${\displaystyle V(s)=I(s)\left(R+Ls+{\frac {1}{Cs}}\right)\,,}$

куда я(s) - ток, преобразованный по Лапласу во всех компонентах. Решение для я(s):

${\displaystyle I(s)={\frac {1}{R+Ls+{\frac {1}{Cs}}}}V(s)\,.}$

И переставляя, мы имеем

${\displaystyle I(s)={\frac {s}{L\left(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V(s)\,.}$

Допуск Лапласа

Решение для Лапласа допуск Y(s):

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{V(s)}}={\frac {s}{L\left(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}\,.}$

Упрощение с использованием параметров α и ω₀ определено в предыдущем разделе, мы имеем

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{V(s)}}={\frac {s}{L\left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)}}\,.}$

Полюса и нули

В нули из Y(s) эти ценности s такой, что Y(s) = 0:

${\displaystyle s=0\quad {\mbox{and}}\quad |s|\rightarrow \infty \,.}$

В полюса из Y(s) эти ценности s такой, что Y(s) → ∞. Посредством квадратичная формула, мы нашли

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\,.}$

Полюса Y(s) идентичны корням s₁ и s₂ характеристического полинома дифференциального уравнения в предыдущем разделе.

Общее решение

Для произвольного V(т), решение, полученное обратным преобразованием я(s) является:

• В случае с недостаточным демпфированием ω₀ > α:

  ${\displaystyle I(t)={\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left(\cos \omega _{\mathrm {d} }\tau -{\frac {\alpha }{\omega _{\mathrm {d} }}}\sin \omega _{\mathrm {d} }\tau \right)\,d\tau \,,}$

• В случае критического затухания ω₀ = α:

  ${\displaystyle I(t)={\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }(1-\alpha \tau )\,d\tau \,,}$

• В случае сверхдемпфирования ω₀ < α:

  ${\displaystyle I(t)={\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left(\cosh \omega _{\mathrm {r} }\tau -{\alpha \over \omega _{\mathrm {r} }}\sinh \omega _{\mathrm {r} }\tau \right)\,d\tau \,,}$

куда ω_р = √α² − ω₀², и шиш и грех обычные гиперболические функции.

Синусоидальное установившееся состояние

График амплитуды Боде для напряжений на элементах последовательной цепи RLC. Собственная частота ω₀ = 1 рад / с, коэффициент демпфирования ζ = 0.4.

Синусоидальное установившееся состояние представлено разрешением s = jω, куда j это мнимая единица. Взяв величину приведенного выше уравнения с этой заменой:

${\displaystyle {\big |}Y(j\omega ){\big |}={\frac {1}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}}\,.}$

и ток как функция ω можно найти из

${\displaystyle {\big |}I(j\omega ){\big |}={\big |}Y(j\omega ){\big |}\cdot {\big |}V(j\omega ){\big |}\,.}$

Пиковое значение |я(jω)|. Значение ω на этом пике, в данном конкретном случае, равна незатухающей собственной резонансной частоте:^[17]

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

По частотной характеристике тока также можно определить частотную характеристику напряжений на различных элементах схемы.

Параллельная схема

Фигура 2. Параллельная цепь RLC
V - источник напряжения, питающий цепь
я - ток, пропускаемый через цепь
р - эквивалентное сопротивление комбинированного источника, нагрузки и компонентов
L - индуктивность катушки индуктивности
C - емкость конденсаторной составляющей

Свойства параллельной цепи RLC могут быть получены из двойственные отношения электрических цепей и учитывая, что параллельный RLC является двойной импеданс серии RLC. Принимая во внимание это, становится ясно, что дифференциальные уравнения, описывающие эту схему, идентичны общему виду уравнений, описывающих последовательный RLC.

Для параллельной схемы затухание α дан кем-то^[18]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\,2\,R\,C\,}}}$

и коэффициент затухания, следовательно,

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{\,2\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\,~.}$

Аналогично, другие масштабируемые параметры, относительная полоса пропускания и Q также являются взаимными. Это означает, что широкополосный, низко-Q цепь в одной топологии станет узкополосной, высокочастотной.Q схема в другой топологии, если она построена из компонентов с идентичными значениями. Дробная пропускная способность и Q параллельной цепи задаются

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\mathrm {f} }&={\frac {1}{\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\\Q&=R{\sqrt {{\frac {C}{L}}~}}\,~.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что приведенные здесь формулы являются обратными формулам для последовательной цепи, приведенным выше.

Частотный диапазон

Рисунок 3. Синусоидальный стационарный анализ. Нормализовано до р = 1 Ω, C = 1 F, L = 1 ЧАС, и V = 1 V.

Комплексная полная проводимость этой схемы определяется суммированием проводимости компонентов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\,Z\,}}&={\frac {1}{\,Z_{L}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{C}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{R}\,}}\\&={\frac {1}{\,j\,\omega \,L\,}}+j\,\omega \,C+{\frac {1}{\,R\,}}\,.\end{aligned}}}$

Переход от последовательной схемы к параллельной приводит к тому, что цепь имеет пик импеданса при резонансе, а не минимум, поэтому цепь является антирезонатором.

График напротив показывает, что существует минимум частотной характеристики тока на резонансной частоте. ${\displaystyle ~\omega _{0}=1/{\sqrt {\,L\,C~}}~}$ когда цепь приводится в действие постоянным напряжением. С другой стороны, при управлении постоянным током будет максимум напряжения, который будет следовать той же кривой, что и ток в последовательной цепи.

Прочие конфигурации

Рисунок 4. Параллельная цепь RLC с сопротивлением последовательно с индуктором

Последовательный резистор с катушкой индуктивности в параллельной LC-цепи, как показано на рисунке 4, представляет собой топологию, обычно встречающуюся там, где необходимо учитывать сопротивление обмотки катушки. Параллельные LC-цепи часто используются для полосовая фильтрация и Q во многом определяется этим сопротивлением. Резонансная частота этого контура^[19]

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}}}\,.}$

Это резонансная частота контура, определяемая как частота, на которой полная проводимость имеет нулевую мнимую часть. Частота, которая появляется в обобщенной форме характеристического уравнения (которое для этой схемы такое же, как и ранее)

${\displaystyle s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0}$

не та же частота. В данном случае это естественная незатухающая резонансная частота:^[20]

${\displaystyle \omega '_{0}={\sqrt {\frac {1}{LC}}}\,.}$

Частота ω_м при котором величина импеданса максимальна, определяется выражением^[21]

${\displaystyle \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}{\sqrt {-{\frac {1}{Q_{L}^{2}}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{Q_{L}^{2}}}}}}}\,,}$

куда Q_L = ω ′₀L/р это фактор качества катушки. Это может быть хорошо аппроксимировано^[21]

${\displaystyle \omega _{\mathrm {m} }\approx \omega '_{0}{\sqrt {1-{\frac {1}{2Q_{L}^{4}}}}}\,.}$

Кроме того, точное значение максимального импеданса определяется выражением^[21]

${\displaystyle |Z|_{\mathrm {max} }=RQ_{L}^{2}{\sqrt {\frac {1}{2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2}}-2Q_{L}^{2}-1}}}\,.}$

Для значений Q_L больше единицы, это может быть хорошо аппроксимировано выражением^[21]

${\displaystyle |Z|_{\mathrm {max} }\approx {RQ_{L}^{2}}\,.}$

Рисунок 5. Последовательная цепь RLC с сопротивлением, параллельным конденсатору

Точно так же резистор, включенный параллельно конденсатору в последовательной LC-цепи, может быть использован для обозначения конденсатора с диэлектриком с потерями. Эта конфигурация показана на рисунке 5. Резонансная частота (частота, при которой импеданс имеет нулевую мнимую часть) в этом случае определяется выражением^[22]

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {1}{(RC)^{2}}}}}\,,}$

а частота ω_м при котором величина импеданса минимальна, определяется как

${\displaystyle \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}{\sqrt {-{\frac {1}{Q_{C}^{2}}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{Q_{C}^{2}}}}}}}\,,}$

куда Q_C = ω ′₀RC.

История

Первое свидетельство того, что конденсатор может производить электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским ученым. Феликс Савари.^[23][24] Он обнаружил, что когда лейденская банка разряжался через проволоку, намотанную на железную иглу, иногда иглу оставляли намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно предположил, что это было вызвано затухающим колеблющимся током разряда в проводе, который менял намагниченность иглы назад и вперед до тех пор, пока она не становилась слишком маленькой, чтобы оказывать влияние, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении.

Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к такому же выводу, очевидно независимо.^[25][26] Британский ученый Уильям Томсон (Лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и определил его резонансную частоту.^[23][25][26]

Британский радиоисследователь Оливер Лодж, разряжая большую батарею лейденских банок через длинный провод, создавал настроенный контур с его резонансной частотой в звуковом диапазоне, который производил музыкальный тон из искры, когда она разряжалась.^[25] В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, создаваемую резонансным контуром лейденской банки во вращающемся зеркале, обеспечивая видимые свидетельства колебаний.^[23][25][26] В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл рассчитал эффект от приложения переменного тока к цепи с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте.^[23]

Первый пример электрического резонанс Кривая была опубликована в 1887 г. немецким физиком. Генрих Герц в своей новаторской статье об открытии радиоволн, показывающей длину искры, получаемой от его детекторов LC-резонатора с искровым разрядником, как функцию частоты.^[23]

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными схемами был эксперимент Лоджа с «синтонными сосудами» около 1889 года.^[23][25] Он разместил рядом друг с другом две резонансные цепи, каждая из которых состояла из лейденской банки, соединенной с регулируемой одновитковой катушкой с искровым разрядником. Когда высокое напряжение от индукционной катушки прикладывалось к одному настроенному контуру, создавая искры и, следовательно, колеблющиеся токи, искры возбуждались в другом настроенном контуре только тогда, когда индукторы были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочли термин "синтония"для этого эффекта, но срок"резонанс"в конце концов застрял.^[23]

Первое практическое использование схем RLC было в 1890-х годах в искровые радиопередатчики чтобы позволить приемнику настроиться на передатчик. Первый патент на радиосистему, позволяющую настройку, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году англо-итальянским пионером радио. Гульельмо Маркони.^[23]

Приложения

Переменные настроенные схемы

Эти схемы очень часто используются в схемах настройки аналоговых радиоприемников. Регулируемая настройка обычно достигается с помощью параллельной пластины. переменный конденсатор что позволяет значение C можно менять и настраиваться на станции на разных частотах. Для IF этап в магнитоле, где настройка предустановлена ​​на заводе, более обычным решением является регулируемый сердечник в катушке индуктивности для регулировки L. В этой конструкции сердечник (сделанный из высокого проницаемость материал, который имеет эффект увеличения индуктивности) имеет резьбу, так что его можно ввинтить или вывинтить из обмотки индуктора, если это необходимо.

Фильтры

Рисунок 6. Схема RLC как фильтр нижних частот	Рисунок 7. Схема RLC как фильтр верхних частот
Рисунок 8. Схема RLC как последовательный полосовой фильтр последовательно с линией	Рисунок 9. Схема RLC как параллельный полосовой фильтр в шунте через линию
Рисунок 10. Схема RLC в качестве последовательного полосового фильтра в шунте через линию	Рисунок 11. Схема RLC как параллельный полосовой фильтр, включенный последовательно с линией

В приложении фильтрации резистор становится нагрузкой, на которую работает фильтр. Значение коэффициента демпфирования выбирается исходя из желаемой полосы пропускания фильтра. Для более широкой полосы пропускания требуется большее значение коэффициента демпфирования (и наоборот). Эти три компонента предоставляют дизайнеру три степени свободы. Два из них необходимы для установки полосы пропускания и резонансной частоты. У дизайнера остался тот, который можно использовать для масштабирования. р, L и C до удобных практических ценностей. В качестве альтернативы, р может быть задано внешней схемой, которая будет использовать последнюю степень свободы.

Фильтр нижних частот

Схема RLC может использоваться как фильтр нижних частот. Конфигурация схемы показана на рисунке 6. Частота излома, то есть частота точки 3 дБ, определяется выражением

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

Это также полоса пропускания фильтра. Коэффициент демпфирования определяется как^[27]

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2R_{L}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.}$

Фильтр высоких частот

Фильтр верхних частот показан на рисунке 7. Частота среза такая же, как у фильтра нижних частот:

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

Фильтр имеет полосу заграждения этой ширины.^[28]

Полосовой фильтр

Полосовой фильтр может быть сформирован со схемой RLC путем размещения последовательной LC-цепи последовательно с нагрузочным резистором или путем размещения параллельной LC-цепи параллельно нагрузочному резистору. Эти устройства показаны на рисунках 8 и 9 соответственно. Центральная частота равна

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,,}$

а ширина полосы для последовательной цепи равна^[29]

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {R_{L}}{L}}\,.}$

Шунтирующая версия схемы предназначена для работы от источника с высоким импедансом, то есть источника постоянного тока. В этих условиях пропускная способность^[29]

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {1}{CR_{L}}}\,.}$

Полосовой фильтр

На рисунке 10 показан полосовой фильтр, образованный последовательной LC-цепью, шунтируемой через нагрузку. На рисунке 11 показан полосовой фильтр, образованный параллельной LC-цепью, включенной последовательно с нагрузкой. В первом случае требуется источник с высоким импедансом, чтобы ток отводился в резонатор, когда он становится низким при резонансе. Во втором случае требуется источник с низким импедансом, чтобы напряжение на антирезонаторе падало, когда он становится высоким при резонансе.^[30]

Осцилляторы

Для применений в схемах генераторов обычно желательно сделать затухание (или, что то же самое, коэффициент затухания) как можно меньшим. На практике для этой цели необходимо сделать сопротивление цепи р как можно меньше физически для последовательной цепи или, альтернативно, увеличивая р максимально для параллельной цепи. В любом случае схема RLC становится хорошим приближением к идеальному LC-цепь. Однако для цепей с очень низким затуханием (высокое Q-фактор) могут стать важными такие вопросы, как диэлектрические потери катушек и конденсаторов.

В схеме генератора

${\displaystyle \alpha \ll \omega _{0}\,,}$

или эквивалентно

${\displaystyle \zeta \ll 1\,.}$

Как результат,

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }\approx \omega _{0}\,.}$

Умножитель напряжения

В последовательной цепи RLC при резонансе ток ограничивается только сопротивлением цепи.

${\displaystyle I={\frac {V}{R}}\,.}$

Если р малая, состоящая только из сопротивления обмотки индуктора, скажем, тогда этот ток будет большим. Это снизит напряжение на катушке индуктивности

${\displaystyle V_{L}={\frac {V}{R}}\omega _{0}L\,.}$

Напряжение равной величины также будет видно на конденсаторе, но в противофазе к катушке индуктивности. Если р могут быть сделаны достаточно малыми, эти напряжения могут в несколько раз превышать входное напряжение. Фактически, коэффициент напряжения равен Q схемы,

${\displaystyle {\frac {V_{L}}{V}}=Q\,.}$

Аналогичный эффект наблюдается и с токами в параллельной цепи. Несмотря на то, что внешнему источнику кажется, что цепь имеет высокий импеданс, во внутреннем контуре параллельной катушки индуктивности и конденсатора циркулирует большой ток.

Схема импульсного разряда

Схема последовательного RLC с избыточным демпфированием может использоваться в качестве схемы импульсной разрядки. Часто бывает полезно знать значения компонентов, которые можно использовать для создания сигнала. Это описывается формой

${\displaystyle I(t)=I_{0}\left(\,e^{-\alpha \,t}-e^{-\beta \,t}\right)\,.}$

Такая схема может состоять из конденсатора накопления энергии, нагрузки в виде сопротивления, некоторой индуктивности цепи и переключателя - и все это последовательно. Начальные условия таковы, что конденсатор находится под напряжением, V₀, и в катушке индуктивности нет тока. Если индуктивность L известно, то остальные параметры задаются следующим образом - емкость:

${\displaystyle C={\frac {1}{~L\,\alpha \,\beta \,~}}\,,}$

сопротивление (сумма цепи и нагрузки):

${\displaystyle R=L\,(\,\alpha +\beta \,)\,,}$

начальное напряжение на клеммах конденсатора:

${\displaystyle V_{0}=-I_{0}L\,\alpha \,\beta \,\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

Перестановка для случая, когда р известно - емкость:

${\displaystyle C={\frac {~\alpha +\beta ~}{R\,\alpha \,\beta }}\,,}$

индуктивность (сумма цепи и нагрузки):

${\displaystyle L={\frac {R}{\,\alpha +\beta ~}}\,,}$

начальное напряжение на клеммах конденсатора:

${\displaystyle V_{0}={\frac {\,-I_{0}R\,\alpha \,\beta ~}{\alpha +\beta }}\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

Смотрите также

• RC схема
• Цепь RL
• Линейная схема

Рекомендации

1. Kaiser, стр. 7.71–7.72.
2. "Резонансные схемы" (PDF). Ece.ucsb.edu. Получено 2016-10-21.
3. Nilsson and Riedel, p. 308.
4. Agarwal and Lang, p. 641.
5. Agarwal and Lang, p. 646.
6. Irwin, pp. 217–220.
7. Agarwal and Lang, p. 656.
8. Nilsson and Riedel, pp. 287–288.
9. Irwin, p. 532.
10. Agarwal and Lang, p. 648.
11. Nilsson and Riedel, p. 295.
12. Humar, pp. 223–224.
13. Agarwal and Lang, p. 692.
14. Nilsson and Riedel, p. 303.
15. Irwin, p. 220.
16. This section is based on Example 4.2.13 from Debnath, Lokenath; Bhatta, Dambaru (2007). Integral Transforms and Their Applications (2-е изд.). Чепмен и Холл / CRC. п. 198–202. ISBN  978-1-58488-575-7. (Some notations have been changed to fit the rest of this article.)
17. Kumar and Kumar, Electric Circuits & Networks, п. 464.
18. Nilsson and Riedel, p. 286.
19. Kaiser, pp. 5.26–5.27.
20. Agarwal and Lang, p. 805.
21. Картрайт, К. В .; Joseph, E.; Kaminsky, E. J. (2010). "Finding the exact maximum impedance resonant frequency of a practical parallel resonant circuit without calculus" (PDF). The Technology Interface International Journal. 11 (1): 26–34.
22. Kaiser, pp. 5.25–5.26.
23. Blanchard, Julian (October 1941). "The History of Electrical Resonance". Bell System Technical Journal. USA: AT&T. 20 (4): 415. Дои:10.1002/j.1538-7305.1941.tb03608.x. S2CID  51669988. Получено 2013-02-25.
24. Savary, Felix (1827). "Memoirs sur l'Aimentation". Annales de Chimie et de Physique. Paris: Masson. 34: 5–37.
25. Kimball, Arthur Lalanne (1917). A College Text-book of Physics (2-е изд.). New York: Henry Hold. pp. 516–517.
26. Huurdeman, Anton A. (2003). Всемирная история телекоммуникаций. USA: Wiley-IEEE. С. 199–200. ISBN  0-471-20505-2.
27. Kaiser, pp. 7.14–7.16.
28. Kaiser, p. 7.21.
29. Kaiser, pp. 7.21–7.27.
30. Kaiser, pp. 7.30–7.34.

Библиография

• Agarwal, Anant; Lang, Jeffrey H. (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем. Морган Кауфманн. ISBN  1-55860-735-8.
• Humar, J. L. (2002). Dynamics of Structures. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  90-5809-245-3.
• Irwin, J. David (2006). Анализ основных инженерных схем. Вайли. ISBN  7-302-13021-3.
• Kaiser, Kenneth L. (2004). Electromagnetic Compatibility Handbook. CRC Press. ISBN  0-8493-2087-9.
• Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). Electric Circuits. Прентис Холл. ISBN  978-0-13-198925-2.