Ротор (математика) - Rotor (mathematics)

Эта статья об объекте в геометрической алгебре. Для векторного оператора см. локон (математика).

А ротор это объект в геометрическая алгебра (или в более общем смысле Алгебра Клиффорда ) который вращается любой лезвие или вообще многовекторный о источник.^[1] Обычно они мотивируются рассмотрением четного числа размышления, которые генерируют вращения (см. также Теорема Картана – Дьедонне ).

Термин возник с Уильям Кингдон Клиффорд,^[2] показывая, что кватернион алгебра - это просто частный случай Герман Грассманн «Теория расширения» (Ausdehnungslehre).^[3] Hestenes^[4] определил ротор как любой элемент ${displaystyle R}$ геометрической алгебры, которая может быть записана как произведение четного числа единичных векторов и удовлетворяет ${displaystyle { ilde {R}}R=1}$, куда ${displaystyle { ilde {R}}}$ это «обратная сторона» ${displaystyle R}$- то есть произведение тех же векторов, но в обратном порядке.

Генерация с использованием отражений

Общая формулировка

α > θ/2

α < θ/2

Вращение вектора а через угол θ, как двойное отражение вдоль два единичных вектора п и м, разделенные углом θ/ 2 (не только θ). Каждый прайм на а указывает на отражение. Плоскость диаграммы - это плоскость вращения.

Отражения вдоль вектора в геометрической алгебре может быть представлен как (минус) сэндвич с многовектором M между ненулевой вектор v перпендикулярно к гиперплоскость отражения и этого вектора обратный v⁻¹:

${displaystyle -vMv^{-1}}$

и имеют ровный класс. При вращении, создаваемом ротором р, общий многовектор M трансформируется двусторонне как

${displaystyle RMR^{-1}.}$

Ограниченная альтернативная формулировка

Для Евклидово пространство, может быть удобно рассмотреть альтернативную формулировку, и некоторые авторы определяют операцию отражения как (минус) сэндвич единица измерения (т.е. нормализованный) многовекторный:

${displaystyle -vMv,quad v^{2}=1,}$

формирование роторов, которые автоматически нормализуются:

${displaystyle R{ ilde {R}}={ ilde {R}}R=1.}$

Производное действие ротора затем выражается как сэндвич-продукт с обратным:

${displaystyle RM{ ilde {R}}}$

Для отражения, для которого связанный вектор квадратов к отрицательному скаляру, как может быть в случае с псевдоевклидово пространство, такой вектор можно нормализовать только до знака его квадрата, и возникает необходимость в дополнительном учете знака приложения ротора. Рецептура сэндвич-продукта с обратной стороной, как указано выше, не имеет такого недостатка.

Вращения мультивекторов и спиноров

Однако, хотя роторы многовекторного типа также могут трансформироваться двусторонне, роторы можно комбинировать и образовывать группа, и поэтому несколько роторов составляют одностороннее. Альтернативная формулировка, приведенная выше, не является самонормализуемой и мотивирует определение термина спинор в геометрической алгебре как объект, который трансформируется односторонне, то есть спиноры можно рассматривать как ненормализованные роторы, в которых в сэндвич-продукте используется обратное, а не обратное.

Однородные алгебры представлений

В однородных алгебрах представлений, таких как конформная геометрическая алгебра ротору в пространстве представления соответствует вращение о произвольном точка, а перевод или, возможно, другое преобразование в базовом пространстве.

Смотрите также

• Двойное вращение
• Группа Ли
• Формула Эйлера
• Генератор (математика)

Рекомендации

1. Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 592. ISBN  9780521715959.
2. Клиффорд, Уильям Кингдон (1878). «Приложения обширной алгебры Грассмана». Американский журнал математики. 1 (4): 353. Дои:10.2307/2369379. JSTOR  2369379.
3. Грассманн, Герман (1862). Die Ausdehnugslehre (второе изд.). Берлин: Т. К. Ф. Энслин. п. 400.
4. Гестен, Дэвид (1987). Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление (под ред. в мягкой обложке). Дордрехт, Голландия: Д. Рейдел. п. 105. Гестен использует обозначение ${displaystyle R^{dagger }}$ для обратного.