Категория стабильного модуля - Stable module category - Wikipedia

В теория представлений, то категория стабильного модуля это категория в котором "исключены" проекции.

Определение

Позволять р быть звенеть. Для двух модули M и N над р, определять ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)}$ быть набором р-линейные карты из M к N по модулю отношения, что ж ~ грамм если ж − грамм факторов через проективный модуль. Категория стабильного модуля определяется установкой объекты быть р-модули, а морфизмы являются классы эквивалентности ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)}$.

Учитывая модуль M, позволять п - проективный модуль с сюрприз ${\displaystyle p\colon P\to M}$. Затем установите ${\displaystyle \Omega (M)}$ быть ядро из п. Предположим, нам дан морфизм ${\displaystyle f\colon M\to N}$ и сюрприз ${\displaystyle q\colon Q\to N}$ куда Q проективно. Тогда можно поднять ж на карту ${\displaystyle P\to Q}$ который отображает ${\displaystyle \Omega (M)}$ в ${\displaystyle \Omega (N)}$. Это дает четко определенный функтор ${\displaystyle \Omega }$ из категории стабильных модулей в себя.

Для определенных колец, таких как Алгебры Фробениуса, ${\displaystyle \Omega }$ является эквивалентность категорий. В этом случае обратный ${\displaystyle \Omega ^{-1}}$ можно определить следующим образом. Данный Mнайти инъективный модуль я с включением ${\displaystyle i\colon M\to I}$. потом ${\displaystyle \Omega ^{-1}(M)}$ определяется как коядро из я. Особый интерес представляет случай, когда кольцо р это групповая алгебра.

Функтор Ω⁻¹ может быть даже определен на модульной категории общего кольца (без выделения проективов), как коядро конверт для инъекций. В этом случае не обязательно, чтобы функтор Ω⁻¹ фактически является обратным к Ω. Одним из важных свойств категории стабильных модулей является то, что она позволяет определять функтор Ω для общих колец. Когда р является идеально (или же M является конечно порожденный и р является полусовершенный ), то Ω (M) можно определить как ядро проективное покрытие, задающий функтор в категории модуля. Однако в общем случае проективные накрытия могут не существовать, и поэтому необходим переход к категории стабильных модулей.

Связи с когомологиями

Теперь мы предполагаем, что R = кг является групповой алгеброй для некоторых поле k и немного группа грамм. Можно показать, что существуют изоморфизмы

${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(\Omega ^{n}(M),N)\cong \mathrm {Ext} _{kG}^{n}(M,N)\cong {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,\Omega ^{-n}(N))}$

за каждый положительный целое число п. В групповые когомологии представительства M дан кем-то ${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}(G;M)=\mathrm {Ext} _{kG}^{n}(k,M)}$ куда k имеет тривиальный грамм-действие, поэтому таким образом стабильная модульная категория дает естественную среду, в которой обитают групповые когомологии.

Кроме того, указанный выше изоморфизм предлагает определить группы когомологий для отрицательных значений п, и таким образом восстанавливается Когомологии Тейта.

Триангулированная структура

An точная последовательность

${\displaystyle 0\to X\to E\to Y\to 0}$

в обычной категории модулей определяет элемент ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{kG}^{1}(Y,X)}$, а значит, и элемент ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(Y,\Omega ^{-1}(X))}$, так что мы получаем последовательность

${\displaystyle X\to E\to Y\to \Omega ^{-1}(X).}$

Принимая ${\displaystyle \Omega ^{-1}}$ чтобы быть функтором трансляции, а такие последовательности, как выше, быть точными треугольниками, категория стабильного модуля становится триангулированная категория.

Смотрите также

• Стабильная теория гомотопии

Рекомендации

• Дж. Ф. Карлсон, Лиза Таунсли, Луис Валеро-Элизондо, Мученг Чжан, Кольца когомологий конечных групп, Springer-Verlag, 2003.