Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена. - Wallace–Bolyai–Gerwien theorem

По теореме Уоллеса – Больяи – Гервиена квадрат можно разрезать на части и преобразовать в треугольник равной площади.

В геометрия, то Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена.,^[1] названный в честь Уильям Уоллес, Фаркас Бойяи и Пол Гервин, это теорема, связанная с рассечения из полигоны. Он отвечает на вопрос, когда один многоугольник может быть образован из другого, разрезав его на конечное количество частей и перекомпоновав их с помощью переводы и вращения. Теорема Уоллеса-Бойяи-Гервиена утверждает, что это может быть сделано тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют одинаковые площадь.

История

Фаркас Бойяи первым сформулировал вопрос. Гервин доказал теорему в 1833 году, но на самом деле Уоллес доказал тот же результат уже в 1807 году.

Согласно другим источникам, Бойяи и Гервин независимо друг от друга доказали теорему в 1833 и 1835 годах соответственно.

Формулировка

Эта теорема может быть сформулирована несколькими способами. Наиболее распространенная версия использует концепцию «равносоставимости» многоугольников: два многоугольника равносоставимы, если их можно разделить на конечно много треугольники которые отличаются только некоторыми изометрия (на самом деле только комбинацией перевода и вращения). В этом случае теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена утверждает, что два многоугольника равносоставимы тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую площадь.

Другая формулировка - в терминах ножницы конгруэнтность: два многоугольника являются конгруэнтными по ножницам, если их можно разложить на конечное число многоугольников, попарно конгруэнтный. Ножницы-конгруэнтность - это отношение эквивалентности. В этом случае теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена утверждает, что классы эквивалентности этого отношения содержат именно те многоугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Доказательство эскиза

Теорема может быть понята в несколько шагов. Во-первых, каждый многоугольник можно разрезать на треугольники. Для этого есть несколько способов. За выпуклые многоугольники можно отрезать каждый вершина в свою очередь, а для вогнутые многоугольники это требует большей осторожности. Общий подход, который работает и для непростых многоугольников, - это выбрать линия не параллельны какой-либо из сторон многоугольника, и проведите линию, параллельную этой, через каждую из вершин многоугольника. Это разделит многоугольник на треугольники и трапеции, которые, в свою очередь, можно преобразовать в треугольники.

Во-вторых, каждый из этих треугольников можно превратить в прямоугольный, а затем в прямоугольный. прямоугольник с одной стороной длины 1. В качестве альтернативы, треугольник можно преобразовать в один такой прямоугольник, сначала превратив его в параллелограмм а затем превратить это в такой прямоугольник. Сделав это для каждого треугольника, многоугольник можно разложить на прямоугольник, ширина и высота которого равны его площади.

Так как это можно сделать для любых двух многоугольников, «общее разбиение» прямоугольника между ними доказывает теорему. То есть разрезание общего прямоугольника (размером 1 по его площади) по обоим многоугольникам будет промежуточным звеном между обоими многоугольниками.

Примечания к доказательству

Прежде всего, это доказательство требует промежуточного многоугольника. В формулировке теоремы с использованием ножниц-конгруэнций использование этого промежуточного звена можно переформулировать, используя тот факт, что ножницы-конгруэнции транзитивны. Поскольку и первый многоугольник, и второй многоугольник конгруэнтны промежуточному звену ножницами, они конгруэнтны друг другу как ножницы.

Доказательство этой теоремы конструктивно и не требует аксиома выбора, даже если некоторые другие проблемы с рассечением (например, Проблема квадрата круга Тарского ) действительно нужно. В этом случае разложение и повторная сборка фактически может быть произведена "физически": теоретически части могут быть вырезать ножницами из бумаги и собраны вручную.

Тем не менее, количество частей, необходимых для соединения одного многоугольника из другого с использованием этой процедуры, обычно намного превышает минимальное количество необходимых многоугольников.^[2]

Степень разложимости

Рассмотрим два равносоставных многоугольника п и Q. Минимальное количество п частей, необходимых для создания одного многоугольника Q из другого многоугольника п обозначается σ (п,Q).

В зависимости от полигонов можно оценить верхнюю и нижнюю границы для σ (п,Q). Например, Альфред Тарский доказал, что если п выпуклый, а диаметры из п и Q соответственно равны d (п) и d (Q), тогда^[3]

${ displaystyle sigma (P, Q) geq { frac {d (P)} {d (Q)}}.}$

Если п_Икс это прямоугольник сторон а·Икс и а·(1/Икс) и Q это прямоугольник размером а, тогда п_Икс и Q равносоставимы для каждого Икс > 0. Оценка сверху для σ (п_Икс,Q) дан кем-то^[3]

${ displaystyle sigma (P_ {x}, Q) leq 2+ left lceil { sqrt {x ^ {2} -1}} right rceil, quad { text {for}} x geq 1}$

Поскольку σ (п_Икс,Q) = σ (п₍_1/Икс),Q), также имеем

${ displaystyle sigma left (P _ { frac {1} {x}}, Q right) leq 2+ left lceil { frac { sqrt {1-x ^ {2}}} {x }} right rceil, quad { text {for}} x leq 1}$

Обобщения

Аналогичное утверждение о многогранники в трех измерениях, известных как Третья проблема Гильберта, ложно, что доказано Макс Ден в 1900 г. Проблема рассматривалась также в некоторых неевклидовы геометрии. В двумерной гиперболической и сферической геометрии теорема верна. Тем не менее, проблема для этих геометрических фигур в трех измерениях остается открытой.

внешняя ссылка

Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена.
Ножницы Конгруэнтность - Интерактивная демонстрация теоремы Уоллеса – Бойя – Гервиена.
Видео с наброском доказательства
Пример теоремы Бойяи – Гервиена. Шандора Кабая, Ференца Холло Сабо и Лайоша Силасси, Вольфрам Демонстрационный проект.
Презентация о третьей проблеме Гильберта в Колледже Статен-Айленда CUNY - Абхиджит Чампанеркар.
Оптимальное рассечение единичного квадрата прямоугольником

[1] Гарднер, Р. Дж. (1 февраля 1985 г.). "Задача Салли о равносоставных выпуклых телах". Труды Американского математического общества. 94 (2): 329–329. Дои:10.1090 / S0002-9939-1985-0784187-9. ISSN 0002-9939. JSTOR 2045399.

[2] ttp://mathworld.wolfram.com/Dissection.html

[:0-3] а ^б Макфарланд, Эндрю; Макфарланд, Джоанна; Смит, Джеймс Т. (2014). Альфред Тарский. Биркхойзер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. С. 77–91. Дои:10.1007/978-1-4939-1474-6_5. ISBN 9781493914739.

[1]

[2]

[3]