Разложение Вольдса - Wolds decomposition - Wikipedia

Эта статья посвящена общему математическому результату. О приложении к анализу временных рядов см. Теорема Вольда.

В математика, особенно в теория операторов, Разложение Вольда или же Разложение Вольда – фон Неймана, названный в честь Герман Вольд и Джон фон Нейман, является классификационной теоремой для изометрические линейные операторы на данном Гильбертово пространство. В нем говорится, что каждая изометрия представляет собой прямую сумму копий односторонний сдвиг и унитарный оператор.

В анализ временных рядов, из теоремы следует, что любой стационарный дискретное время случайный процесс можно разложить на пару некоррелированных процессов, один детерминированный, а другой процесс скользящего среднего.

Подробности

Позволять ЧАС быть гильбертовым пространством, L(ЧАС) - ограниченные операторы на ЧАС, и V ∈ L(ЧАС) - изометрия. В Разложение Вольда заявляет, что каждая изометрия V принимает форму

${\displaystyle V=(\oplus _{\alpha \in A}S)\oplus U}$

для некоторого набора индексов А, куда S это односторонний сдвиг в гильбертовом пространстве ЧАС_α, и U является унитарным оператором (возможно, пустым). Семья {ЧАС_α} состоит из изоморфных гильбертовых пространств.

Доказательство можно набросать следующим образом. Последовательные применения V дать убывающую последовательность копий ЧАС изоморфно вложены в себя:

${\displaystyle H=H\supset V(H)\supset V^{2}(H)\supset \cdots =H_{0}\supset H_{1}\supset H_{2}\supset \cdots ,}$

куда V(ЧАС) обозначает диапазон V. Вышеуказанное ЧАС_я = V^я(ЧАС). Если определить

${\displaystyle M_{i}=H_{i}\ominus H_{i+1}=V^{i}(H\ominus V(H))\quad {\text{for}}\quad i\geq 0\;,}$

тогда

${\displaystyle H=(\oplus _{i\geq 0}M_{i})\oplus (\cap _{i\geq 0}H_{i})=K_{1}\oplus K_{2}.}$

Ясно, что K₁ и K₂ инвариантные подпространства V.

Так V(K₂) = K₂. Другими словами, V ограниченный K₂ является сюръективной изометрией, т. е. унитарным оператором U.

Кроме того, каждый M_я изоморфен другому, с V являясь изоморфизмом между M_я и M_я+1: V "смены" M_я к M_я+1. Предположим, что размер каждого M_я какое-то кардинальное число α. Мы видим, что K₁ можно записать как гильбертовы пространства прямой суммы

${\displaystyle K_{1}=\oplus H_{\alpha }}$

где каждый ЧАС_α является инвариантным подпространством V и V ограничено каждым ЧАС_α односторонний сдвиг S. Следовательно

${\displaystyle V=V\vert _{K_{1}}\oplus V\vert _{K_{2}}=(\oplus _{\alpha \in A}S)\oplus U,}$

которое является разложением Вольда V.

Замечания

Непосредственно из разложения Вольда спектр любой собственной, т.е.неунитарной, изометрии является единичный круг комплексной плоскости.

Изометрия V как говорят чистый если в обозначениях приведенного выше доказательства ∩_я≥0 ЧАС_я = {0}. В множественность чистой изометрии V размерность ядра V *, т.е. мощность индексного множества А в разложении Вольда V. Другими словами, чистая изометрия кратности N принимает форму

${\displaystyle V=\oplus _{1\leq \alpha \leq N}S.}$

В этой терминологии разложение Вольда выражает изометрию как прямую сумму чистой изометрии и унитарного оператора.

Подпространство M называется блуждающее подпространство из V если V^п(M) ⊥ V^м(M) для всех п ≠ м. В частности, каждый M_я определенное выше, является блуждающим подпространствомV.

Последовательность изометрий

Вышеприведенное разложение можно немного обобщить до последовательности изометрий, индексированных целыми числами.

C * -алгебра, порожденная изометрией

Рассмотрим изометрию V ∈ L(ЧАС). Обозначим через C *(V) C * -алгебра создано V, т.е. C *(V) - замыкание по норме многочленов от V и V *. Разложение Вольда можно применять для характеристики C *(V).

Позволять C(Т) - непрерывные функции на единичной окружности Т. Напомним, что C * -алгебра C *(S), порожденные односторонним сдвигом S принимает следующий вид

C *(S) = {Т_ж + K | Т_ж это Оператор Теплица с непрерывным символом ж ∈ C(Т) и K это компактный оператор }.

В этом отождествлении S = Т_z куда z тождественная функция в C(Т). Алгебра C *(S) называется Алгебра Теплица.

Теорема (Кобурн) C *(V) изоморфна алгебре Теплица и V является изоморфным образом Т_z.

Доказательство зависит от соединений с C(Т), в описании алгебры Теплица и что спектр унитарного оператора содержится в окружности Т.

Потребуются следующие свойства алгебры Теплица:

1. ${\displaystyle T_{f}+T_{g}=T_{f+g}.\,}$
2. ${\displaystyle T_{f}^{*}=T_{\bar {f}}.}$
3. Полукоммутатор ${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}\,}$ компактный.

Разложение Вольда говорит, что V прямая сумма копий Т_z а затем несколько унитарных U:

${\displaystyle V=(\oplus _{\alpha \in A}T_{z})\oplus U.}$

Итак, мы призываем непрерывное функциональное исчисление ж → ж(U) и определим

${\displaystyle \Phi :C^{*}(S)\rightarrow C^{*}(V)\quad {\text{by}}\quad \Phi (T_{f}+K)=\oplus _{\alpha \in A}(T_{f}+K)\oplus f(U).}$

Теперь можно проверить, что Φ - изоморфизм, отображающий односторонний сдвиг в V:

По свойству 1 выше, Φ линейна. Отображение Φ инъективно, поскольку Т_ж не компактен ни для каких ненулевых ж ∈ C(Т) и поэтому Т_ж + K = 0 означает ж = 0. Поскольку образ Φ является C * -алгеброй, Φ сюръективен в силу минимальности C *(V). Свойство 2 и непрерывное функциональное исчисление гарантируют, что Φ сохраняет * -операцию. Наконец, свойство полукоммутатора показывает, что Φ мультипликативна. Следовательно, теорема верна.

Рекомендации

• Коберн, Л. (1967). «C * -алгебра изометрии». Бык. Амер. Математика. Soc. 73 (5): 722–726. Дои:10.1090 / S0002-9904-1967-11845-7.
• Константинеску, Т. (1996). Параметры Шура, проблемы факторизации и дилатации. Теория операторов, достижения и приложения. 82. Birkhäuser. ISBN  3-7643-5285-X.
• Дуглас, Р. Г. (1972). Методы банаховой алгебры в теории операторов. Академическая пресса. ISBN  0-12-221350-5.
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1985). Классы Харди и теория операторов. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-503591-7.