Формула Андреотти – Норге - Andreotti–Norguet formula - Wikipedia

В Формула Андреотти – Норге, впервые представленный Альдо Андреотти и Франсуа Норге  (1964, 1966 ),^[1] является многомерным аналогом Интегральная формула Коши для выражения производные из голоморфная функция. Именно эта формула выражает значение частная производная любой мультииндекс порядок из голоморфная функция многих переменных,^[2] в любом внутренняя точка данного ограниченный домен, как гиперповерхностный интеграл значений функции на граница самого домена. В этом отношении он аналогичен и обобщает Формула Бохнера – Мартинелли,^[3] сводится к нему, когда абсолютное значение многоиндексного порядка дифференцирования 0.^[4] При рассмотрении функций п = 1 комплексных переменных, она сводится к обычной формуле Коши для производной голоморфной функции:^[5] однако, когда п > 1, это интегральное ядро не получается простым дифференцированием Ядро Бохнера – Мартинелли.^[6]

Историческая справка

Формула Андреотти – Норге была впервые опубликована в объявлении об исследовании (Андреотти и Норге 1964, п. 780):^[7] однако его полное доказательство было опубликовано позже в статье (Андреотти и Норгуэт 1966 С. 207–208).^[8] Другое доказательство формулы было дано Мартинелли (1975).^[9] В 1977 и 1978 гг. Лев Айзенберг дал еще одно доказательство и обобщение формулы на основе Ядро Коши – Фантаппье – Лере вместо этого на Ядро Бохнера – Мартинелли.^[10]

Формула интегрального представления Андреотти – Норге

Обозначение

Обозначения, принятые в последующем описании формулы интегрального представления, являются теми, которые используются Кытманов (1995 г., п. 9) и по Кытманов и Мысливец (2010 г., п. 20): обозначения, используемые в оригинальных работах и ​​в других источниках, хотя и эквивалентны, но существенно отличаются.^[11] Точнее предполагается, что

• п > 1 фиксированный натуральное число,
• ζ,  z ∈ ℂ^п находятся сложные векторы,
• α = (α₁,...,α_п) ∈ ℕ^п это мультииндекс чей абсолютная величина является |α|,
• D ⊂ ℂ^п - ограниченная область, закрытие является D,
• А(D) это функциональное пространство функций, голоморфных на интерьер из D и непрерывный на его граница ∂D.
• повторные производные Виртингера порядка α данной комплекснозначной функции ж ∈ А(D) выражаются с использованием следующих упрощенных обозначений:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial z_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial z_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

Ядро Андреотти – Норге

Определение 1. Для каждого мультииндекса α, ядро ​​Андреотти – Норге ω_α (ζ, z) следующее дифференциальная форма в ζ бидегри (п, п − 1):

${\displaystyle \omega _{\alpha }(\zeta ,z)={\frac {(n-1)!\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {(-1)^{j-1}({\bar {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})^{\alpha _{j}+1}\,d{\bar {\zeta }}^{\alpha +I}[j]\land d\zeta }{\left(|z_{1}-\zeta _{1}|^{2(\alpha _{1}+1)}+\cdots +|z_{n}-\zeta _{n}|^{2(\alpha _{n}+1)}\right)^{n}}},}$

куда я = (1, ..., 1) ∈ ℕ^п и

${\displaystyle d{\bar {\zeta }}^{\alpha +I}[j]=d{\bar {\zeta }}_{1}^{\alpha _{1}+1}\land \cdots \land d{\bar {\zeta }}_{j-1}^{\alpha _{j+1}+1}\land d{\bar {\zeta }}_{j+1}^{\alpha _{j-1}+1}\land \cdots \land d{\bar {\zeta }}_{n}^{\alpha _{n}+1}}$

Интегральная формула

Теорема 1 (Андреотти и Норге). Для каждой функции ж ∈ А(D), каждая точка z ∈ D и каждый мультииндекс α, справедлива следующая формула интегрального представления

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega _{\alpha }(\zeta ,z).}$

Смотрите также

• Формула Бергмана – Вейля

Примечания

1. Краткий исторический очерк см. В разделе "исторический раздел "настоящей записи.
2. Частные производные голоморфной функции нескольких комплексных переменных определяются как частные производные по ее сложный аргументы, т.е. как Производные Виртингера.
3. Видеть (Айзенберг и Южаков, 1983 г., п. 38), Кытманов (1995 г., п. 9), Кытманов и Мысливец (2010 г., п. 20) и (Мартинелли 1984 С. 152–153).
4. Как отмечено в (Кытманов 1995, п. 9) и (Кытманов, Мысливец 2010, п. 20).
5. Как заметил Айзенберг и Южаков (1983 г., п. 38).
6. См. Примечания Айзенберг и Южаков (1983 г., п. 38) и Мартинелли (1984, п. 153, сноска (1)).
7. Как правильно сказано Айзенберг и Южаков (1983 г., п. 250, §5) и Кытманов (1995 г., п. 9). Мартинелли (1984, п. 153, сноска (1)) цитирует только более позднюю работу (Андреотти и Норгуэт 1966 ), который, однако, содержит полное доказательство формулы.
8. Видеть (Мартинелли 1984, п. 153, сноска (1)).
9. В соответствии с Айзенберг и Южаков (1983 г., п. 250, §5), Кытманов (1995 г., п. 9), Кытманов и Мысливец (2010 г., п. 20) и Мартинелли (1984, п. 153, сноска (1)), который не описывает свои результаты в этой ссылке, а просто упоминает их.
10. Видеть (Айзенберг 1993, стр.289, §13), (Айзенберг и Южаков, 1983 г., п. 250, §5), ссылки, цитируемые в этих источниках, и краткие замечания Кытманов (1995 г., п. 9) и по Кытманов и Мысливец (2010 г., п. 20): каждая из этих работ дает доказательство Айзенберга.
11. Сравните, например, оригинальные работы Андреотти и Норге (1964, п. 780, г. 1966, pp. 207–208) и используемые Айзенберг и Южаков (1983 г., п. 38), также кратко описанный в ссылке (Айзенберг 1993, п. 58).

Рекомендации

• Айзенберг, Лев (1993) [1990], Формулы Карлемана в комплексном анализе. Теория и приложения, Математика и ее приложения, 244 (2-е изд.), Дордрехт –Бостон – Лондон: Kluwer Academic Publishers, стр. xx + 299, Дои:10.1007/978-94-011-1596-4, ISBN  0-7923-2121-9, МИСТЕР  1256735, Zbl  0783.32002, переработанный перевод русского оригинала 1990 г.
• Айзенберг, Л.А.; Южаков, А. (1983) [1979], Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, Переводы математических монографий, 58, Провиденс Р.И.: Американское математическое общество, стр. x + 283, ISBN  0-8218-4511-X, МИСТЕР  0735793, Zbl  0537.32002.
• Андреотти, Альдо; Норге, Франсуа (20 января 1964 г.), "Проблема Леви для классов когомологии" [Проблема Леви для классов когомологий], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (На французском), 258 (Première partie): 778–781, МИСТЕР  0159960, Zbl  0124.38803.
• Андреотти, Альдо; Норге, Франсуа (1966), "Проблема Леви и выпуклая голоморфа для классов когомологии" [Проблема Леви и голоморфная выпуклость для классов когомологий], Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, Серия III (на французском языке), 20 (2): 197–241, МИСТЕР  0199439, Zbl  0154.33504.
• Беренштейн, Карлос А.; Гей, Роджер; Видрас, Алекос; Игер, Ален (1993), Остаточные токи и идентичность Безу, Успехи в математике, 114, Базель –Берлин – Бостон: Birkhäuser Verlag, стр. xi + 158, Дои:10.1007/978-3-0348-8560-7, ISBN  3-7643-2945-9, МИСТЕР  1249478, Zbl  0802.32001 ISBN  0-8176-2945-9, ISBN  978-3-0348-8560-7.
• Кытманов, Александр М. (1995) [1992], Интеграл Бохнера – Мартинелли и его приложения., Birkhäuser Verlag, стр. xii + 305, ISBN  978-3-7643-5240-0, МИСТЕР  1409816, Zbl  0834.32001.
• Кытманов, Александр М.; Мысливец, Симона Г. (2010), Интегральные представления и их приложения в многомерном комплексном анализе [Интегральные представления и их применение в многомерном комплексном анализе], Красноярск: СФУ, п. 389, г. ISBN  978-5-7638-1990-8, заархивировано из оригинал на 2014-03-23.
• Кытманов, Александр М.; Мысливец, Симона Г. (2015), Многомерные интегральные представления. Проблемы аналитического продолжения, Чам – Гейдельберг – Нью-Йорк–Дордрехт –Лондон: Springer Verlag, стр. xiii + 225, Дои:10.1007/978-3-319-21659-1, ISBN  978-3-319-21658-4, МИСТЕР  3381727, Zbl  1341.32001, ISBN  978-3-319-21659-1 (электронная книга).
• Мартинелли, Энцо (1975), "Sopra una formula di Andreotti – Norguet" [О формуле Andreotti – Norguet], Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, IV серия (на итальянском языке), 11 (3, Дополнение): 455–457, МИСТЕР  0390270, Zbl  0317.32006. Сборник статей, посвященных Джованни Сансоне к его восьмидесятипятилетию.
• Мартинелли, Энцо (1984), Введение elementare alla teoria delle funzioni di variabili complesse с конкретным ригористом всех интегральных представлений [Элементарное введение в теорию функций комплексных переменных с особым учетом интегральных представлений], Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (на итальянском языке), 67, Рим: Accademia Nazionale dei Lincei, pp. 236 + II, заархивировано оригинал на 2011-09-27, получено 2014-03-22. Заметки образуют курс, опубликованный Accademia Nazionale dei Lincei, проведенный Мартинелли во время его пребывания в Академии как "Профессор Линчео".