Лемма Обена – Лайонса. - Aubin–Lions lemma

В математика, то Лемма Обена – Лайонса. (или теорема) является результатом теории Соболевские пространства из Банахово пространство -значные функции, обеспечивающие компактность критерий, который полезен при изучении нелинейных эволюционных уравнения в частных производных. Обычно для доказательства существования решений сначала строятся приближенные решения (например, Метод Галеркина или по успокоение уравнения), затем использует лемму о компактности, чтобы показать, что существует сходящаяся подпоследовательность приближенных решений, предел которой является решением.

Результат назван в честь Французский математики Жан-Пьер Обен и Жак Луи Лайонс. В первоначальном доказательстве Обена^[1] пространства Икс₀ и Икс₁ в формулировке леммы предполагались равными рефлексивный, но это предположение было снято Саймоном,^[2] поэтому результат также называется Лемма Обена – Лайонса – Саймона..^[3]

Утверждение леммы

Позволять Икс₀, Икс и Икс₁ - три банаховых пространства с Икс₀ ⊆ Икс ⊆ Икс₁. Предположим, что Икс₀ является компактно встроенный в Икс и это Икс является постоянно внедренный в Икс₁. Для 1 ≤п, q ≤ + ∞, пусть

${displaystyle W={uin L^{p}([0,T];X_{0})mid {dot {u}}in L^{q}([0,T];X_{1})}.}$

(i) Если п <+ ∞, то вложение W в L^п([0, Т]; Икс) компактно.

(ii) Если п = + ∞ и q > 1, то вложение W в C([0, Т]; Икс) компактно.

Смотрите также

• Лемма Льва – Магенеса.

Заметки

1. Обен (1963)
2. Саймон (1986)
3. Бойер и Фабри (2013)

использованная литература

• Обен, Жан-Пьер (1963). "Un théorème de compacité. (Французский)". C. R. Acad. Sci. Париж. 256. С. 5042–5044. Г-Н  0152860.
• Барретт, Джон В .; Сули, Эндре (2012). «Размышления о нелинейной теореме компактного вложения Дубинского». Publications de l'Institut Mathématique (Белград) (N.S.). 91 (105): 95–110. Г-Н  2963813.
• Бойер, Франк; Фабри, Пьер (2013). Математические инструменты для исследования уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости и родственных моделей. Прикладные математические науки 183. Нью-Йорк: Springer. С. 102–106. ISBN  978-1-4614-5975-0. (Теорема II.5.16)
• Львы, Дж. Л. (1969). Quelque methods de résolution des issues aux limites non linéaires. Париж: Данод-Гот. Vill. Г-Н  0259693.
• Рубичек Т. (2013). Нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными с приложениями (2-е изд.). Базель: Биркхойзер. ISBN  978-3-0348-0512-4. (Раздел 7.3)
• Шоуолтер, Ральф Э. (1997). Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных. Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 106. ISBN  0-8218-0500-2. Г-Н  1422252. (Предложение III.1.3)
• Саймон Дж. (1986). «Компактные множества в пространстве L^п(O, T; B) ". Annali di Matematica Pura ed Applicata. 146: 65–96. Г-Н  0916688.
• Чен, X .; Jüngel, A .; Лю, Ж.-Г. (2014). «Заметка о леммах Обена-Лайонса-Дубинского». Acta Appl. Математика. 133. С. 33–43. Г-Н  3255076.