Октаэдр Брикара - Bricard octahedron

Октаэдр Брикара с прямоугольником в качестве экватора. Ось симметрии проходит перпендикулярно через центр прямоугольника.
Октаэдр Брикара с антипараллелограммом в качестве экватора. Ось симметрии проходит через плоскость антипараллелограмма.

В геометрия, а Октаэдр Брикара является членом семьи изгибаемые многогранники построенный Рауль Брикар в 1897 г.[1]Таким образом, общая форма этого многогранника может изменяться в непрерывном движении без каких-либо изменений длины его краев или формы его граней.[2]Эти октаэдры были первыми открытыми гибкими многогранниками.[3]

Октаэдры Брикара имеют шесть вершин, двенадцать ребер и восемь треугольных граней, соединенных так же, как и правильный октаэдр. Однако, в отличие от правильного октаэдра, все октаэдры Брикара являются невыпуклыми самопересекающимися многогранниками. К Теорема Коши о жесткости, изгибаемый многогранник должен быть невыпуклым,[3] но существуют и другие изгибаемые многогранники без самопересечений. Однако для предотвращения самопересечений требуется больше вершин (по крайней мере, девять), чем шесть вершин октаэдров Брикара.[4]

В своей публикации, описывающей эти октаэдры, Брикар полностью классифицировал гибкие октаэдры. Его работа в этой области позже стала предметом лекций Анри Лебег на Коллеж де Франс.[5]

Строительство

Все октаэдры Брикара имеют ось вращательной симметрии 180 ° и образованы из любых трех пар точек, так что каждая пара симметрична относительно одной оси, и не существует плоскости, содержащей все шесть точек. (Например, шесть точек правильного октаэдра могут быть объединены в пары таким образом посредством осевой симметрии вокруг линии, проходящей через две противоположные средние точки ребер, хотя октаэдр Брикара, полученный в результате этого соединения, не будет правильным.) Октаэдры имеют 12 ребер , каждая из которых соединяет две точки, которые не принадлежат одной симметричной паре друг к другу. Эти края образуют октаэдрический граф K2,2,2.Каждая из восьми треугольных граней этих октаэдров соединяет три точки, по одной от каждой симметричной пары, всеми восемью возможными способами сделать это.[2][6]

Как связь

Октаэдр Брикара также можно рассматривать как механическая связь состоящий из двенадцати ребер, соединенных гибкими соединениями в вершинах, без граней. Отсутствие граней устраняет самопересечения многих (но не всех) положений этих октаэдров. Результирующий кинематическая цепь есть один степень свободы движения, так же, как многогранник, от которого он произошел.[7]

Объяснение

В четырехугольники образованные ребрами между точками в любых двух симметричных парах точек, можно рассматривать как экваторы октаэдра. Эти экваторы обладают свойством (в силу их симметрии), что противоположные пары сторон четырехугольника имеют одинаковую длину. Каждый четырехугольник с противоположными парами равных сторон, вложенный в Евклидово пространство, обладает осевой симметрией, а некоторые (например, прямоугольник) имеют другие симметрии. Если разрезать октаэдр Брикара на две части с открытым дном, пирамиды разрезая ее вдоль одного из ее экваторов, обе эти открытые пирамиды могут изгибаться, и изгибающее движение может быть выполнено для сохранения оси симметрии всей формы. Но в силу симметрии конструкции изгибающие движения этих двух открытых пирамид одинаково перемещают экватор, вдоль которого они были разрезаны. Следовательно, их можно снова склеить в одно изгибающее движение всего октаэдра.[2][6]

Свойство иметь противоположные стороны равной длины верно для прямоугольник, параллелограмм, и антипараллелограмм, и можно построить октаэдры Брикара, имеющие любую из этих плоских форм в качестве экваторов. Однако экватор октаэдра Брикара не обязательно должен лежать в плоскости; вместо этого это может быть косой четырехугольник. Даже для октаэдров Брикара, построенных с плоским экватором, экватор обычно не остается плоским, когда октаэдр изгибается.[2] Однако для некоторых октаэдров Брикара, таких как октаэдр с экватором антипараллелограмма, показанный на иллюстрации, симметрии многогранника заставляют его экватор все время оставаться плоским.

Дополнительные свойства

В Инвариант Дена любого октаэдра Брикара остается постоянным, когда он совершает изгибающееся движение.[8] Это же свойство доказано для всех несамопересекающихся изгибаемых многогранников.[9] Однако существуют другие самопересекающиеся гибкие многогранники, для которых инвариант Дена непрерывно изменяется по мере их изгибания.[10]

Расширения

Можно изменить многогранники Брикара, добавив больше граней, чтобы переместить самопересекающиеся части многогранника друг от друга, при этом позволяя ему изгибаться. Простейшей из этих модификаций является открытый Клаусом Штеффеном многогранник с девятью вершинами и 14 треугольными гранями.[2] Многогранник Штеффена - простейший изгибаемый многогранник без самопересечений.[4]

Соединяя вместе несколько форм, полученных из октаэдра Брикара, можно построить Рог -образный жесткое оригами формы, формы которых прослеживаются сложные космические кривые.[11]

Рекомендации

  1. ^ Брикар, Р. (1897), "Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé", J. Math. Pures Appl. (На французском), 5 (3): 113–148, архивировано с оригинал на 2012-02-16, получено 2017-03-03. На английский переводится как "Мемуар по теории сочлененного октаэдра ", Э. А. Коутсиас, 2010.
  2. ^ а б c d е Коннелли, Роберт (1981), "Гибкие поверхности", в Кларнер, Дэвид А. (ред.), Математический Гарднер, Springer, стр. 79–89, Дои:10.1007/978-1-4684-6686-7_10, ISBN  978-1-4684-6688-1.
  3. ^ а б Стюарт, Ян (2004), Математическая истерия: развлечения и игры с математикой, Oxford: Oxford University Press, стр. 116, ISBN  9780191647451.
  4. ^ а б Демейн, Эрик Д.; О'Рурк, Джозеф (2007), «23.2 Гибкие многогранники», Геометрические алгоритмы складывания: связки, оригами, многогранники, Cambridge University Press, Кембридж, стр. 345–348, Дои:10.1017 / CBO9780511735172, ISBN  978-0-521-85757-4, МИСТЕР  2354878.
  5. ^ Лебег Х., "Octaedres articules de Bricard", Enseign. Математика., Серия 2 (на французском языке), 13 (3): 175–185, Дои:10.5169 / пломбы-41541
  6. ^ а б Фукс, Дмитрий; Табачников Серж (2007), Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 347, Дои:10.1090 / mbk / 046, ISBN  978-0-8218-4316-1, МИСТЕР  2350979.
  7. ^ Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 239, ISBN  0-521-55432-2, МИСТЕР  1458063.
  8. ^ Александров, Виктор (2010), "Инварианты Дена октаэдров Брикара", Журнал геометрии, 99 (1–2): 1–13, arXiv:0901.2989, Дои:10.1007 / s00022-011-0061-7, МИСТЕР  2823098.
  9. ^ Gafullin, A. A .; Игнащенко, Л. С. (2018), "Инвариант Дена и ножничное сравнение изгибаемых многогранников", Труды Математического института имени В. А. Стеклова, 302 (Топология и физика): 143–160, Дои:10.1134 / S0371968518030068, ISBN  5-7846-0147-4, МИСТЕР  3894642
  10. ^ Александров Виктор; Коннелли, Роберт (2011), «Гибкие подвески с шестиугольным экватором», Иллинойсский журнал математики, 55 (1): 127–155, arXiv:0905.3683, Дои:10.1215 / ijm / 1355927031, МИСТЕР  3006683.
  11. ^ Тачи, Томохиро (2016), «Разработка жестко складываемых рогов с использованием октаэдра Брикара», Журнал механизмов и робототехники, 8 (3): 031008, Дои:10.1115/1.4031717.