Модель Друде - Drude model

Электроны модели Друде (показаны здесь синим цветом) постоянно подпрыгивают между более тяжелыми, неподвижными ионами кристалла (показаны красным).

В Модель Друде из электрическая проводимость был предложен в 1900 г.^[1][2] к Пол Друде объяснить транспортные свойства электроны в материалах (особенно металлах). Модель, являющаяся приложением кинетическая теория, предполагает, что микроскопическое поведение электронов в твердом теле можно рассматривать классически и выглядит очень похоже на пинбол машина, с морем постоянно колеблющихся электронов, отражающихся и отражающихся от более тяжелых, относительно неподвижных положительных ионов.

Двумя наиболее значительными результатами модели Друде являются электронное уравнение движения,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle \times \mathbf {B} }{m}}\right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$

и линейная зависимость между плотность тока J и электрическое поле E,

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

Здесь т время, ⟨п⟩ - средний импульс на электрон, д, п, м, и τ - соответственно заряд электрона, его плотность, масса и среднее свободное время между ионными столкновениями (то есть среднее время, которое электрон прошел с момента последнего столкновения). Последнее выражение особенно важно, поскольку оно полуколичественно объясняет, почему Закон Ома, одно из самых распространенных соотношений во всем электромагнетизме, должно сохраниться.^{[примечание 1][3][4]}

Модель была расширена в 1905 г. Хендрик Антун Лоренц (и, следовательно, также известен как Модель Друде – Лоренца)^{[нужна цитата ]} чтобы показать связь между теплопроводность и электропроводность металлов (см. Число Лоренца ), и является классический модель. Позже он был дополнен результатами квантовой теории в 1933 г. Арнольд Зоммерфельд и Ганс Бете, ведущий к Модель Друде – Зоммерфельда.

История

Немецкий физик Пол Друде предложил свою модель в 1900 году, когда было неясно, существуют ли атомы, и было неясно, какие атомы находятся в микроскопическом масштабе.^[5] Первый прямое доказательство наличия атомов через вычисление Число Авогадро из микроскопической модели из-за Альберт Эйнштейн, то первая современная модель структуры атома датируется 1904 годом, а Модель Резерфорда до 1909 г., Друде начинает с открытия электронов в 1897 г. J.J. Томсон и в качестве упрощенной модели твердых тел предполагает, что основная часть твердого тела состоит из положительно заряженных рассеивающих центров, и море электронов погружает эти рассеивающие центры, чтобы сделать все твердое тело нейтральным с точки зрения заряда.^{[заметка 2]}

Говоря современным языком, это отражено в валентный электрон модель, в которой море электронов состоит только из валентных электронов,^[6] а не полный набор электронов, имеющихся в твердом теле, а центры рассеяния - это внутренние оболочки электронов, прочно связанных с ядром. Центры рассеяния имели положительный заряд, эквивалентный число валентности атомов.^{[заметка 3]}Это сходство добавилось к некоторым ошибкам вычислений в статье Друде, и в итоге привело к созданию разумной качественной теории твердых тел, способной делать хорошие прогнозы в одних случаях и давать совершенно неверные результаты в других. Всякий раз, когда люди пытались дать больше оснований и подробностей о природе центров рассеяния, механике рассеяния и значении длины рассеяния, все эти попытки заканчивались неудачей.^{[примечание 4]}

Длины рассеяния, вычисленные в модели Друде, составляют от 10 до 100 межатомных расстояний, и им также нельзя было дать надлежащего микроскопического объяснения. Говоря современным языком, есть эксперименты, в которых электроны могут перемещаться на несколько метров в твердом теле так же, как они перемещаются в свободном пространстве, и это показывает, как не может работать чисто классическая модель.^[7]

Рассеяние Друде - это не электрон-электронное рассеяние, которое является лишь второстепенным явлением в современной теории, ни ядерное рассеяние с учетом электронов, не может быть поглощено ядрами. Модель немного не раскрывает микроскопических механизмов, в современных терминах это то, что сейчас называется «механизмом первичного рассеяния», где лежащее в основе явление может быть разным для каждого случая.^{[примечание 5]}

Модель дает лучшие прогнозы для металлов, особенно в отношении проводимости,^{[примечание 6]} и иногда ее называют теорией металлов Друде. Это потому, что металлы имеют лучшее приближение к модель свободных электронов, т.е. металлы не имеют сложных ленточные конструкции, электроны ведут себя по существу как свободные частицы и где в случае металлов эффективное число де-локализованных электронов по существу то же самое, что и валентное число.^{[примечание 7]}

Та же теория Друде, несмотря на несоответствия, ставившие в тупик большинство физиков того времени, была основной, принятой для объяснения твердого тела до появления в 1927 г. Модель Друде-Зоммерфельда.

Еще несколько намеков на правильные ингредиенты современной теории твердых тел было дано в следующем:

• В Эйнштейн твердый модель и Дебая модель, предполагая, что квантовое поведение обмена энергией в целых единицах или кванты был важным компонентом полной теории, особенно в отношении удельные плавки, где теория Друде потерпела неудачу.
• В некоторых случаях, а именно в эффекте Холла, теория делала правильные предсказания, если вместо использования отрицательного заряда для электронов использовался положительный. Сейчас это интерпретируется как дырки (то есть квазичастицы, которые ведут себя как носители положительного заряда), но во времена Друде было довольно неясно, почему это так.^{[примечание 8]}

Друде использовал Статистика Максвелла – Больцмана для газа электронов и для получения модели, которая была единственной доступной в то время. Заменив статистику правильной Статистика Ферми Дирака, Зоммерфельд значительно улучшил прогнозы модели, хотя по-прежнему полуклассический теория, которая не могла предсказать все результаты современной квантовой теории твердого тела.^{[примечание 9]}

В настоящее время Друде и Зоммерфельд Модели по-прежнему важны для понимания качественного поведения твердых тел и получения первого качественного понимания конкретной экспериментальной установки.^{[примечание 10]} Это общий метод в физика твердого тела, где обычно постепенно увеличивают сложность моделей, чтобы давать более точные прогнозы. Реже использовать полноценный квантовая теория поля из первых принципов, учитывая сложности из-за огромного количества частиц и взаимодействий и небольшую добавленную стоимость дополнительных математических вычислений (с учетом постепенного увеличения числовой точности предсказаний).^[8]

Предположения

• Друде использовал кинетическая теория газов применяется к газу электронов, движущихся на фиксированном фоне "ионы "; это контрастирует с обычным способом применения теории газов как нейтрального разбавленного газа без фона. числовая плотность электронного газа полагалось

  ${\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},}$

куда Z - эффективное число делокализованных электронов на ион, для которого Друде использовал валентное число, А это атомное массовое число, ${\displaystyle \rho _{\text{m}}}$ это количество концентрации вещества "ионов" и N_А это Константа Авогадро.

Рассматривая средний объем, доступный на электрон в виде сферы:

${\displaystyle {\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.}$

Количество ${\displaystyle r_{\text{s}}}$ является параметром, описывающим электронную плотность и часто в 2–3 раза превышающим Радиус Бора, за щелочных металлов он колеблется от 3 до 6, а для некоторых соединений металлов может доходить до 10.

Плотность порядка 100 раз выше плотности типичного классического газа. Несмотря на это, Друде применил кинетическую теорию разреженного газа, игнорируя электрон-электронное и электрон-ионное взаимодействия, помимо столкновений.^{[примечание 11]}

• Модель Друде считает, что металл состоит из набора положительно заряженных ионов, от которых отделились «свободные электроны». Можно подумать, что это валентные электроны атомов, которые стали делокализованы из-за электрического поля других атомов.^{[примечание 12]}
• Модель Друде не учитывает дальнодействующее взаимодействие между электроном и ионами или между электронами; это называется приближением независимых электронов.^{[примечание 12]}
• Электроны движутся по прямым линиям между одним столкновением и другим; это называется приближением свободных электронов.^{[примечание 12]}
• Единственное взаимодействие свободного электрона с его окружением рассматривалось как столкновение с непроницаемым ионным остовом.^{[примечание 12]}
• Среднее время между последующими столкновениями такого электрона равно τ, с без памяти распределение Пуассона. Природа партнера по столкновению электрона не имеет значения для расчетов и выводов модели Друде.^{[примечание 12]}
• После столкновения распределение скорости и направления электрона определяется только локальной температурой и не зависит от скорости электрона до столкновения.^{[примечание 12]} Считается, что электрон сразу после столкновения находится в равновесии с локальной температурой.

Удаление или улучшение каждого из этих предположений дает более точные модели, которые могут более точно описывать различные твердые тела:

• Уточнение гипотезы Статистика Максвелла – Больцмана с Статистика Ферми – Дирака приводит к Модель Друде – Зоммерфельда.
• Улучшение гипотезы статистики Максвелла – Больцмана с помощью Статистика Бозе – Эйнштейна приводит к соображениям об теплоемкости атомов с целым спином^[9] и к Конденсат Бозе – Эйнштейна.
• Электрон валентной зоны в полупроводнике по-прежнему остается свободным электроном в ограниченном диапазоне энергий (т.е. только «редкое» столкновение с высокой энергией, которое подразумевает изменение зоны, будет вести себя иначе); приближение независимых электронов, по существу, все еще действует (т.е. отсутствие электрон-электронного рассеяния), где вместо этого гипотеза о локализации событий рассеяния отбрасывается (с точки зрения непрофессионала, электрон есть и рассеивается повсюду).^[10]

Математическая обработка

Поле постоянного тока

Простейший анализ модели Друде предполагает, что электрическое поле E является одновременно однородным и постоянным, и что тепловая скорость электронов достаточно высока, так что они накапливают лишь бесконечно малое количество импульса dп между столкновениями, которые происходят в среднем каждые τ секунд.^{[примечание 1]}

Тогда электрон, изолированный на время т в среднем путешествовали на время τ с момента его последнего столкновения, и, следовательно, будет накоплен импульс

${\displaystyle \Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$

Во время своего последнего столкновения этот электрон с такой же вероятностью отскочил вперед, как и назад, поэтому все предыдущие вклады в импульс электрона можно не учитывать, что приведет к выражению

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$

Подстановка отношений

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

приводит к формулировке упомянутого выше закона Ома:

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

Нестационарный анализ

Друде реакция плотности тока на электрическое поле переменного тока.

Динамику также можно описать, введя эффективную силу сопротивления. Вовремя т = т₀ + dt импульс электрона будет:

${\displaystyle \mathbf {p} (t_{0}+dt)=(1-{\frac {dt}{\tau }})[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})]+{\frac {dt}{\tau }}(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2}))}$

куда ${\displaystyle \mathbf {f} (t)}$ можно интерпретировать как общую силу (например, Лоренц Форс ) на носителе или, точнее, на электроне. ${\displaystyle \mathbf {g} (t_{0})}$ - импульс носителя со случайным направлением после столкновения (т.е. с импульсом ${\displaystyle \langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0}$) и с абсолютной кинетической энергией

${\displaystyle {\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT}$.

В среднем доля ${\displaystyle 1-{\frac {dt}{\tau }}}$ электронов не испытают другого столкновения, другая часть, которая в среднем столкнулась, выйдет в случайном направлении и будет вносить вклад в общий импульс только с коэффициентом ${\displaystyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt}$ который имеет второй порядок.^{[примечание 13]}

Немного алгебры и отбросив термины по порядку ${\displaystyle dt^{2}}$, это приводит к дифференциальному уравнению общего положения

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$

Второй член на самом деле является дополнительной силой сопротивления или демпфирующим членом из-за эффектов Друде.

Постоянное электрическое поле

Вовремя т = т₀ + dt средний импульс электрона будет

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),}$

а потом

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$

куда ⟨п⟩ обозначает средний импульс и q заряд электронов. Это неоднородное дифференциальное уравнение может быть решено для получения общего решения

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p(0)} \rangle e^{-t/\tau }}$

за п(т). В устойчивое состояние решение, d ⟨п⟩/dt = 0, затем

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .}$

Как указано выше, средний импульс может быть связан со средней скоростью, а это, в свою очередь, может быть связано с плотностью тока,

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

и можно показать, что материал удовлетворяет закону Ома ${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E} }$ с ОКРУГ КОЛУМБИЯ -проводимость σ₀:

${\displaystyle \sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}}$

Поле переменного тока

Комплексная проводимость для разных частот в предположении, что τ = 10⁻⁵ и это σ₀ = 1.

Модель Друде также может предсказывать ток как реакцию на зависящее от времени электрическое поле с угловой частотой. ω. Комплексная проводимость

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.}$

Здесь предполагается, что:

${\displaystyle E(t)=\Re \left(E_{0}e^{i\omega t}\right);}$

${\displaystyle J(t)=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}\right).}$

В машиностроении, я обычно заменяется на −i (или же −j ) во всех уравнениях, что отражает разность фаз относительно начала координат, а не задержку в точке наблюдения, перемещающейся во времени.

Доказательство с использованием уравнения движения.^{[примечание 14]}

Данный

${\displaystyle \mathbf {p} (t)=\Re \left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {E} (t)=\Re \left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}$

И уравнение движения выше

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$

замена

${\displaystyle -i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}}$

Данный

${\displaystyle \mathbf {j} =-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}}$

${\displaystyle \mathbf {j} (t)=\Re \left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {j} (\omega )=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}}$

определяя комплексную проводимость по:

${\displaystyle \mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )}$

У нас есть:

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}$

Мнимая часть указывает на то, что ток отстает от электрического поля. Это происходит потому, что электронам нужно примерно время τ ускоряться в ответ на изменение электрического поля. Здесь модель Друде применяется к электронам; может применяться как к электронам, так и к дыркам; т.е. положительные носители заряда в полупроводниках. Кривые для σ(ω) показаны на графике.

Если синусоидально изменяющееся электрическое поле с частотой ${\displaystyle \omega }$ наносится на твердое тело, отрицательно заряженные электроны ведут себя как плазма, которая стремится перемещаться на расстояние Икс помимо положительно заряженного фона. В результате образец поляризуется, и на противоположных поверхностях образца будет возникать избыточный заряд.

В диэлектрическая постоянная образца выражается как

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}}$

куда ${\displaystyle D}$ это электрическое перемещение и ${\displaystyle P}$ это плотность поляризации.

Плотность поляризации записывается как

${\displaystyle P(t)=\Re \left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}$

и плотность поляризации с п плотность электронов

${\displaystyle P=-nex}$

После небольшой алгебры связь между плотностью поляризации и электрическим полем может быть выражена как

${\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E}$

Диэлектрическая функция твердого тела, зависящая от частоты, равна

${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}}$

Доказательство с использованием уравнений Максвелла^{[примечание 15]}

Учитывая приближения для ${\displaystyle \sigma (\omega )}$ включено выше

• мы предположили, что электромагнитное поле отсутствует: оно всегда меньше в v / c раз с учетом дополнительного члена Лоренца ${\displaystyle -{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B} }$ в уравнении движения
• мы предположили пространственно однородное поле: это верно, если поле не осциллирует значительно на нескольких длинах свободного пробега электронов. Обычно это не так: длина свободного пробега порядка Армстронга соответствует длинам волн, типичным для рентгеновских лучей.

Учитывая уравнения Максвелла без источников (которые рассматриваются отдельно в рамках плазменные колебания )

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0;\nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

тогда

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)}$

или же

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E} }$

которое представляет собой уравнение электромагнитной волны для сплошной однородной среды с диэлектрической проницаемостью ${\displaystyle \epsilon (\omega )}$ в форме Гельмольца

${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\mathbf {E} }$

где показатель преломления ${\displaystyle n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}}$ а фазовая скорость равна ${\displaystyle v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}}$ следовательно, комплексная диэлектрическая проницаемость равна

${\displaystyle \epsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)}$

что в случае ${\displaystyle \omega \tau >>1}$ может быть приближено к:

${\displaystyle \epsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}}$

На резонансной частоте ${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$, называется плазменная частотадиэлектрическая проницаемость меняет знак с отрицательного на положительный, а действительная часть диэлектрической проницаемости падает до нуля.

${\displaystyle \omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}}$

Плазменная частота представляет собой плазменное колебание резонанс или плазмон. Плазменную частоту можно использовать как прямую меру квадратного корня из плотности валентных электронов в твердом теле. Наблюдаемые значения разумно согласуются с этим теоретическим предсказанием для большого числа материалов.^[11] Ниже плазменной частоты диэлектрическая функция отрицательна, и поле не может проникать в образец. Свет с угловой частотой ниже плазменной частоты будет полностью отражен. Выше плазменной частоты световые волны могут проникать в образец, типичным примером являются щелочные металлы, которые становятся прозрачными в диапазоне ультрафиолетовый радиация. ^{[примечание 16]}

Теплопроводность металлов

Один из самых впечатляющих успехов модели Друде связан с предсказанием Закон Видемана-Франца это произошло из-за ряда обстоятельств и ошибок в статье Друде. А именно, Друде предсказал значение числа Лоренца:

${\displaystyle {\frac {k}{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=2.22\times 10^{-8}{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$

где реальные значения обычно находятся в диапазоне от 2 до 3 для комнатной температуры от 0 до 100 градусов Цельсия.^{[примечание 17]}

Доказательство вместе с ошибками Друде^{[примечание 15]}

Во-первых, твердые тела могут проводить тепло, учитывая движение носителя заряда и движение атомов или ионов в соответствии с моделью Друде. В проводниках есть свободные носители заряда, а именно электроны, тогда как у изоляторов их практически нет, ионы присутствуют в обоих. При хорошей проводимости электричества и тепла от металлов, а не от полупроводников, проводимость должна обеспечиваться носителями заряда.

Мы определяем плотность теплового тока как поток тепловой энергии в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной потоку.

${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-k\nabla \mathbf {E} }$

где k - коэффициент теплопроводности. С учетом одномерной модели Энергия электронов зависит от температуры в месте столкновения. ${\displaystyle \epsilon (T[x'])}$Если мы представим градиент температуры, при котором температура падает в положительном направлении x, средняя скорость электронов равна нулю, но электроны, приходящие из более высокого энергетического размера, будут иметь последнее столкновение в среднем за ${\displaystyle x-v\tau }$и прийти с энергиями ${\displaystyle \varepsilon (T[x-v\tau ])}$ те, которые приходят из более низкого энергетического размера, будут иметь энергии ${\displaystyle \varepsilon (T[x+v\tau ])}$.

Полный поток (половина слева и половина справа) определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv[\varepsilon (T[x-v\tau ])-\varepsilon (T[x+v\tau ])]}$

и поэтому в пределе длины свободного пробега ${\displaystyle l=v\tau }$ это небольшое количество ${\displaystyle [\varepsilon (T[x-v\tau ])-\varepsilon (T[x+v\tau ])]/2v\tau }$ сводится к производной по x.

И поэтому

${\displaystyle \mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}(-{\frac {dT}{dx}})}$

Расширение до 3 степеней свободы ${\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }$ и учитывая ${\displaystyle n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}}$

${\displaystyle \mathbf {j} _{q}={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}(-\nabla T)}$

или с теплопроводностью

${\displaystyle k={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}}$

Здесь мы не принимаем во внимание, что скорость v также зависит от температуры и, следовательно, от положения, это не будет иметь существенного влияния. Мы также не будем точно определять, какую энергию переносит конкретная группа электронов. ${\displaystyle \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}}$ и, следовательно, избавление от ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\frac {k}{\sigma }}={\frac {1/3c_{v}mv^{2}}{ne^{2}}}}$

Теперь Друде ввел здесь две ошибки, а именно использовал формулу классической статистической механики для ${\displaystyle c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$ что является завышением в 100 раз, а средняя энергия все еще из классической механики. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T}$ что является заниженной оценкой в ​​100 раз, а именно, носители заряда движутся намного быстрее, чем атомы, и чем то, что Друде мог себе представить.

Всего осталось:

${\displaystyle {\frac {k}{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}}$

Это половина результата Друде, приведенного выше, учитывая, что Друде также недооценил проводимость в два раза из-за недооценки ${\displaystyle \tau }$ в 2 раза.

Это было связано с тем, что Друде оценил время между последним и следующим столкновением (на самом деле ${\displaystyle 2\tau }$) как среднее время между двумя столкновениями (вместо этого ${\displaystyle \tau }$) для распределения Пуассона.^{[примечание 18]}

Термоэнергетика

Обычный температурный градиент при включении в тонкой полосе вызовет ток электронов в сторону более низкой температуры, поскольку эксперименты проводятся в режиме разомкнутой цепи, этот ток будет накапливаться на этой стороне, создавая электрическое поле, противодействующее электрическому току. Это поле называется термоэлектрическим полем:

${\displaystyle \mathbf {E} =Q\nabla T}$

а Q называется термоЭДС. Оценки Друде имеют низкий коэффициент 100, учитывая прямую зависимость от удельной теплоемкости.

${\displaystyle Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}}$

где типичные термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт.^{[примечание 19]}

Доказательство вместе с ошибками Друде^{[примечание 20]}

Из простой одномерной модели

${\displaystyle v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)}$

Расширение до 3 степеней свободы ${\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)}$

Средняя скорость из-за электрического поля (с учетом приведенного выше уравнения движения в состоянии равновесия)

${\displaystyle \mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}}$

Чтобы иметь общий текущий ноль ${\displaystyle \mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0}$ у нас есть

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}}$

И как обычно в деле Друде ${\displaystyle c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$

${\displaystyle Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}}$

где типичные термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт.^{[примечание 19]}

Ответ друде в реальных материалах

Характерное поведение металла Друде во временной или частотной области, т.е. экспоненциальная релаксация с постоянной времени τ или частотная зависимость для σ(ω) изложенное выше, называется ответом Друде. В обычном, простом, реальном металле (например, натрии, серебре или золоте при комнатной температуре) такое поведение экспериментально не обнаружено, поскольку характеристическая частота τ⁻¹ находится в инфракрасном диапазоне частот, где другие функции, не учитываемые в модели Друде (например, ленточная структура ) играть важную роль.^[12] Но для некоторых других материалов с металлическими свойствами была обнаружена частотно-зависимая проводимость, которая полностью соответствует простому предсказанию Друде для σ(ω). Это материалы, в которых скорость релаксации τ⁻¹ находится на гораздо более низких частотах.^[12] Это верно легированный полупроводник монокристаллы,^[13] высокая мобильность двумерные электронные газы,^[14] и металлы с тяжелыми фермионами.^[15]

Точность модели

Исторически формула Друде была впервые выведена ограниченным путем, а именно, предполагая, что носители заряда образуют классический идеальный газ. Арнольд Зоммерфельд рассмотрел квантовую теорию и распространил ее на модель свободных электронов, где перевозчики следуют Распределение Ферми – Дирака. Прогнозируемая проводимость такая же, как в модели Друде, потому что она не зависит от формы электронного распределения скорости.

Модель Друде дает очень хорошее объяснение проводимости металлов по постоянному и переменному току. эффект Холла, а магнитосопротивление^{[примечание 13]} в металлах близка к комнатной температуре. Модель также частично объясняет Закон Видемана – Франца 1853 г. Однако он сильно переоценивает электронные теплоемкости металлов. На самом деле металлы и изоляторы имеют примерно одинаковую теплоемкость при комнатной температуре.

Модель также может быть применена к положительным (дырочным) носителям заряда.

В своей оригинальной статье Друде допустил ошибку, оценив Число Лоренца закона Видемана-Франца должна быть вдвое больше, чем она должна была быть классическим образом, что заставляет его казаться согласующимся с экспериментальным значением для удельной теплоемкости примерно в 100 раз меньше, чем классическое предсказание, но этот фактор компенсируется средней скоростью электронов, равной примерно в 100 раз больше, чем расчет Друде.^{[примечание 21]}

Смотрите также

• Модель свободных электронов
• Арнольд Зоммерфельд
• Электрическая проводимость

Цитаты

1. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 6–7
2. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 2–3
3. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 3 стр. примечание 4 и рис. 1.1
4. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 3 стр. примечание 7 и рис. 1.2
5. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 3 стр. примечание 6
6. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.8 таблица 1.2
7. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.5 таблица 1.1
8. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.15 таблица 1.4
9. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 4
10. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 2
11. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 4
12. Эшкрофт и Мермин 1976, стр. 2–6
13. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 11
14. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.16
15. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.17
16. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.18 таблица 1.5
17. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.18 таблица 1.6
18. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.25, проблема 1
19. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.25
20. Эшкрофт и Мермин 1976, стр.24
21. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 23

Рекомендации

1. Друде, Пол (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle". Annalen der Physik. 306 (3): 566–613. Bibcode:1900АнП ... 306..566Д. Дои:10.1002 / andp.19003060312.^{[мертвая ссылка ]}
2. Друде, Пол (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte". Annalen der Physik. 308 (11): 369–402. Bibcode:1900АнП ... 308..369Д. Дои:10.1002 / andp.19003081102.^{[мертвая ссылка ]}
3. Эдвард М. Перселл (1965). Электричество и магнетизм. Макгроу-Хилл. стр.117–122. ISBN  978-0-07-004908-6.
4. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику. Прентис-Холл. стр.289. ISBN  978-0-13-805326-0.
5. "Нобелевская лекция Нильса Бора" (PDF).
6. Спрингер, изд. (2009). ""Бесплатные «Электроны в твердых телах». Свободные электроны в твердом теле. С. 135–158. Дои:10.1007/978-3-540-93804-0_6. ISBN  978-3-540-93803-3.
7. «Детали неупругой длины свободного пробега в диапазоне кинетической энергии ниже 250 эВ для Ag, Al, GaAs, NA, PMMA и Si». стр. рис 3.5.
8. "Физика твердого тела. Лекция 3: Теория Друде и свободный электрон Зоммерфельда".
9. Эйнштейн (1924). Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse (ed.). «Квантовая теория одноатомного идеального газа»: 261–267.
10. «Физика твердого тела, лекция 17: Динамика электронов в зонах».
11. К. Киттель (1953–1976). Введение в физику твердого тела. Wiley & Sons. ISBN  978-0-471-49024-1.
12. М. Дрессель; М. Шеффлер (2006). «Проверка ответа Друде». Annalen der Physik. 15 (7–8): 535–544. Bibcode:2006АнП ... 518..535Д. Дои:10.1002 / andp.200510198.
13. М. ван Экстер; Д. Гришковский (1990). «Носительская динамика электронов и дырок в умеренно легированном кремнии» (PDF). Физический обзор B. 41 (17): 12140–12149. Bibcode:1990ПхРвБ..4112140В. Дои:10.1103 / PhysRevB.41.12140. HDL:11244/19898. PMID  9993669.
14. П. Дж. Берк; И. Б. Спилман; Дж. П. Эйзенштейн; Л. Н. Пфайффер; К. У. Вест (2000). «Высокочастотная проводимость высокоподвижного двумерного электронного газа» (PDF). Письма по прикладной физике. 76 (6): 745–747. Bibcode:2000АпФЛ..76..745Б. Дои:10.1063/1.125881.
15. М. Шеффлер; М. Дрессель; М. Журдан; Х. Адриан (2005). «Чрезвычайно медленная друде релаксация коррелированных электронов». Природа. 438 (7071): 1135–1137. Bibcode:2005 Натур.438.1135S. Дои:10.1038 / природа04232. PMID  16372004. S2CID  4391917.

Общий

• Эшкрофт, Нил; Мермин, Н. Давид (1976). Физика твердого тела. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  978-0-03-083993-1.

внешняя ссылка

• Хини, Майкл Б. (2003). «Электропроводность и удельное сопротивление». В Вебстере, Джон Г. (ред.). Электрические измерения, обработка сигналов и дисплеи. CRC Press. ISBN  9780203009406.