E9 соты - E9 honeycomb

В геометрия, E₉ соты представляет собой мозаику однородных многогранников в 9-мерном гиперболическом пространстве. ${ displaystyle { bar {T}} _ {9}}$ , также (E₁₀) паракомпактная гиперболическая группа, поэтому либо грани или же фигуры вершин не будет ограничен.

E₁₀ последний из серии Группы Кокстера с раздвоенным Диаграмма Кокстера-Дынкина длин 6,2,1. Всего 1023 уникальных E₁₀ соты всеми комбинациями Диаграмма Кокстера-Дынкина. В семействе нет регулярных сот, поскольку диаграмма Кокстера является нелинейным графом, но есть три простейших графа с одним кольцом на конце трех ветвей: 6₂₁, 2₆₁, 1₆₂.

6₂₁ соты

6₂₁ соты
Семья	k₂₁ многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3,3,3,3,3^2,1}
Символ Кокстера	6₂₁
Диаграмма Кокстера-Дынкина
9 лиц	6₁₁ {3⁸}
8 лиц	{3⁷}
7 лиц	{3⁶}
6 лиц	{3⁵}
5 лиц	{3⁴}
4 лица	{3³}
Клетки	{3²}
Лица	{3}
Фигура вершины	5₂₁
Группа симметрии	${ displaystyle { bar {T}} _ {9}}$ , [3^6,2,1]

В 6₂₁ соты построен из чередующихся 9-симплекс и 9-ортоплекс грани в пределах симметрии E₁₀ Группа Кокстера.

Эти соты очень регулярны в том смысле, что их группа симметрии (аффинная E₉ Группа Вейля) действует транзитивно на k-лицы за k ≤ 7. Все k-лицы для k ≤ 8 - симплексы.

Эти соты являются последними в серии k₂₁ многогранники, перечисленные Торольд Госсет в 1900 году, перечисляя многогранники и соты, полностью состоящие из правильных граней, хотя его список закончился 8-мерной евклидовой сотой 5.₂₁.^[1]

Строительство

Он создан Строительство Wythoff при наборе из 10 гиперплоскость зеркала в 9-мерном гиперболическом пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из Диаграмма Кокстера-Дынкина.

Удаление узла на конце 2-х длинной ветви оставляет 9-ортоплекс, 7₁₁.

Удаление узла на конце ветки 1 длины оставляет 9-симплекс.

В вершина фигуры определяется удалением окруженного узла и вызовом соседнего узла. Это делает 5₂₁ соты.

В край фигуры определяется из фигуры вершины путем удаления окольцованного узла и звонка соседнему узлу. Это делает 4₂₁ многогранник.

В лицо фигура определяется из рисунка края путем удаления окольцованного узла и звонка соседнего узла. Это делает 3₂₁ многогранник.

В клеточная фигура определяется по фигуре лица удалением кольцевого узла и звонком соседнего узла. Это делает 2₂₁ многогранник.

Связанные многогранники и соты

6₂₁ последний в размерном ряду полуправильные многогранники и соты, идентифицированные в 1900 г. Торольд Госсет. Каждый член последовательности имеет предыдущего члена в качестве своего вершина фигуры. Все грани этих многогранников равны правильные многогранники, а именно симплексы и ортоплексы.

k₂₁ цифры в n мерном
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
E_п	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter группа	E₃= А₂А₁	E₄= А₄	E₅= D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${ displaystyle { tilde {E}} _ {8}}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${ displaystyle { bar {T}} _ {8}}$ = E₈⁺⁺
Coxeter диаграмма
Симметрия	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Заказ	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Имя	−1₂₁	0₂₁	1₂₁	2₂₁	3₂₁	4₂₁	5₂₁	6₂₁

2₆₁ соты

2₆₁ соты
Семья	2_k1 многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3^6,1}
Символ Кокстера	2₆₁
Диаграмма Кокстера-Дынкина
9-гранные типы	2₅₁ {3⁷}
8-лицевые типы	2₄₁, {3⁷}
7-гранные типы	2₃₁, {3⁶}
6-гранные типы	2₂₁, {3⁵}
5-гранные типы	2₁₁, {3⁴}
4-гранный тип	{3³}
Клетки	{3²}
Лица	{3}
Фигура вершины	1₆₁
Группа Кокстера	${ displaystyle { bar {T}} _ {9}}$ , [3^6,2,1]

В 2₆₁ соты состоят из 2₅₁ 9-соты и 9-симплекс грани. Это последняя цифра в 2_k1 семья.

Строительство

Он создан Строительство Wythoff при наборе из 10 гиперплоскость зеркала в 9-мерном гиперболическом пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из Диаграмма Кокстера-Дынкина.

Удаление узла на короткой ветке оставляет 9-симплекс.

Удаление узла на конце 6-длинной ветви оставляет 2₅₁ соты. Это бесконечная грань, потому что E10 паракомпактная гиперболическая группа.

В вершина фигура определяется удалением окруженного узла и вызовом соседнего узла. Это делает 9-полукруглый, 1₆₁.

В край фигуры - фигура вершины реберной фигуры. Это делает выпрямленный 8-симплексный, 0₅₁.

В лицо фигура определяется из рисунка края путем удаления окольцованного узла и звонка соседнего узла. Это делает 5-симплекс призма.

Связанные многогранники и соты

2₆₁ последний в размерный ряд из однородные многогранники и соты.

2_k1 цифры в п размеры
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
п	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter группа	E₃= А₂А₁	E₄= А₄	E₅= D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${ displaystyle { tilde {E}} _ {8}}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${ displaystyle { bar {T}} _ {8}}$ = E₈⁺⁺
Coxeter диаграмма
Симметрия	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[[3^1,2,1]]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Заказ	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Имя	2_−1,1	2₀₁	2₁₁	2₂₁	2₃₁	2₄₁	2₅₁	2₆₁

1₆₂ соты

1₆₂ соты
Семья	1_k2 многогранник
Символ Шлефли	{3,3^6,2}
Символ Кокстера	1₆₂
Диаграмма Кокстера-Дынкина
9-гранные типы	1₅₂, 1₆₁
8-лицевые типы	1₄₂, 1₅₁
7-гранные типы	1₃₂, 1₄₁
6-гранные типы	1₂₂, {3^1,3,1} {3⁵}
5-гранные типы	1₂₁, {3⁴}
4-гранный тип	1₁₁, {3³}
Клетки	{3²}
Лица	{3}
Фигура вершины	т₂{3⁸}
Группа Кокстера	${ displaystyle { bar {T}} _ {9}}$ , [3^6,2,1]

В 1₆₂ соты содержит 1₅₂ (9-соты) и 1₆₁ 9-полукруглый грани. Это последняя цифра в 1_k2 многогранник семья.

Строительство

Он создан Строительство Wythoff при наборе из 10 гиперплоскость зеркала в 9-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из Диаграмма Кокстера-Дынкина.

Удаление узла на конце 2-х длинной ветви оставляет 9-полукруглый, 1₆₁.

Удаление узла на конце 6-длинной ветви оставляет 1₅₂ соты.

В вершина фигуры определяется удалением окруженного узла и вызовом соседнего узла. Это делает двунаправленный 9-симплексный, 0₆₂.

Связанные многогранники и соты

1₆₂ последний в размерный ряд из однородные многогранники и соты.

1_k2 цифры в п размеры
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
п	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter группа	E₃= А₂А₁	E₄= А₄	E₅= D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${ displaystyle { tilde {E}} _ {8}}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${ displaystyle { bar {T}} _ {8}}$ = E₈⁺⁺
Coxeter диаграмма
Симметрия (порядок)	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[[3^2,2,1]]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Заказ	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Имя	1_−1,2	1₀₂	1₁₂	1₂₂	1₃₂	1₄₂	1₅₂	1₆₂

Примечания

^ Конвей, 2008, серия Госсет, стр. 413

Рекомендации

Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
Coxeter Красота геометрии: двенадцать эссе, Dover Publications, 1999 г., ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
Coxeter Правильные многогранники (1963), компания Macmillan
- Правильные многогранники, Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава 5: Калейдоскоп)
Калейдоскопы: Избранные произведения Х.С.М. Coxeter, отредактированный Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 24) Х.С.М. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

v т е Фундаментальный выпуклый обычный и однородные многогранники в размерах 2–10
Семья	А_п	B_п	я₂(п) / D_п	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / грамм₂	ЧАС_п
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукруглый
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	1₂₂ • 2₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Униформа п-многогранник	п-симплекс	п-ортоплекс • п-куб	п-полукуб	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	п-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[1] Конвей, 2008, серия Госсет, стр. 413

[1]

E9 соты - E9 honeycomb

621 соты

Строительство

Связанные многогранники и соты

261 соты

Строительство

Связанные многогранники и соты

162 соты

Строительство

Связанные многогранники и соты

Примечания

Рекомендации

6₂₁ соты

2₆₁ соты

1₆₂ соты