Генерал Дирихле - General Dirichlet series

В области математический анализ, а общая серия Дирихле является бесконечная серия это принимает форму

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

куда ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle s}$ находятся сложные числа и ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$ это строго возрастающий последовательность неотрицательных действительные числа что стремится к бесконечности.

Простое наблюдение показывает, что «обычный» Серия Дирихле

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

получается заменой ${\displaystyle \lambda _{n}=\ln n}$ в то время как степенной ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(e^{-s})^{n},}$

получается, когда ${\displaystyle \lambda _{n}=n}$.

Основные теоремы

Если ряд Дирихле сходится в ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i}$, то это равномерно сходящийся в домен

${\displaystyle |\arg(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},}$

и сходящийся для любого ${\displaystyle s=\sigma +ti}$ куда ${\displaystyle \sigma >\sigma _{0}}$.

Теперь есть три возможности относительно сходимости ряда Дирихле, то есть он может сходиться для всех, ни для каких или для некоторых значений s. В последнем случае существует ${\displaystyle \sigma _{c}}$ такой, что ряд сходится при ${\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}$ и расходящийся за ${\displaystyle \sigma <\sigma _{c}}$. Условно, ${\displaystyle \sigma _{c}=\infty }$ если ряд нигде не сходится и ${\displaystyle \sigma _{c}=-\infty }$ если ряд сходится всюду на комплексная плоскость.

Абсцисса схождения

В абсцисса схождения ряда Дирихле можно определить как ${\displaystyle \sigma _{c}}$ над. Другое эквивалентное определение:

${\displaystyle \sigma _{c}=\inf \left\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ converges for every }}s{\text{ for which }}\operatorname {Re} (s)>\sigma \right\}.}$

Линия ${\displaystyle \sigma =\sigma _{c}}$ называется линия схождения. В полуплоскость сходимости определяется как

${\displaystyle \mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)>\sigma _{c}\}.}$

В абсцисса, линия и полуплоскость сходимости ряда Дирихле аналогичны радиус, граница и диск сходимости степенной ряд.

На линии сходимости вопрос сходимости остается открытым, как и в случае степенных рядов. Однако, если ряд Дирихле сходится и расходится в разных точках на одной и той же вертикальной прямой, то эта линия должна быть линией сходимости. Доказательство неявно содержится в определении абсцисс сходимости. Примером может служить серия

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},}$

который сходится в ${\displaystyle s=-\pi i}$ (переменный гармонический ряд ) и расходится на ${\displaystyle s=0}$ (гармонический ряд ). Таким образом, ${\displaystyle \sigma =0}$ линия сходимости.

Предположим, что ряд Дирихле не сходится в ${\displaystyle s=0}$, то ясно, что ${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$ и ${\displaystyle \sum a_{n}}$ расходится. С другой стороны, если ряд Дирихле сходится в ${\displaystyle s=0}$, тогда ${\displaystyle \sigma _{c}\leq 0}$ и ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходится. Таким образом, есть две формулы для вычисления ${\displaystyle \sigma _{c}}$, в зависимости от сходимости ${\displaystyle \sum a_{n}}$ который может определяться различными тесты сходимости. Эти формулы аналогичны формулам Теорема Коши – Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

Если ${\displaystyle \sum a_{k}}$ расходится, т.е. ${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$, тогда ${\displaystyle \sigma _{c}}$ дан кем-то

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

Если ${\displaystyle \sum a_{k}}$ сходится, т.е. ${\displaystyle \sigma _{c}\leq 0}$, тогда ${\displaystyle \sigma _{c}}$ дан кем-то

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{n}}}.}$

Абсцисса абсолютной сходимости

Ряд Дирихле - это абсолютно сходящийся если сериал

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,}$

сходится. Как обычно, абсолютно сходящийся ряд Дирихле сходится, но разговаривать не всегда верно.

Если ряд Дирихле абсолютно сходится в ${\displaystyle s_{0}}$, то он абсолютно сходится для всех s куда ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})}$. Ряд Дирихле может сходиться абсолютно для всех, ни при каких значениях s. В последнем случае существует ${\displaystyle \sigma _{a}}$ такой, что ряд абсолютно сходится при ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$ и сходится неабсолютно при ${\displaystyle \sigma <\sigma _{a}}$.

В абсцисса абсолютной сходимости можно определить как ${\displaystyle \sigma _{a}}$ выше или эквивалентно

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{a}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges absolutely for}}\\&{\text{every }}s{\text{ for which}}\operatorname {Re} (s)>\sigma {\Big \}}.\end{aligned}}}$

В линия и полуплоскость абсолютной сходимости можно определить аналогично. Также есть две формулы для вычисления ${\displaystyle \sigma _{a}}$.

Если ${\displaystyle \sum |a_{k}|}$ расходится, то ${\displaystyle \sigma _{a}}$ дан кем-то

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}{\lambda _{n}}}.}$

Если ${\displaystyle \sum |a_{k}|}$ сходится, то ${\displaystyle \sigma _{a}}$ дан кем-то

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{\lambda _{n}}}.}$

В общем случае абсцисса сходимости не совпадает с абсциссой абсолютной сходимости. Таким образом, между линией сходимости и абсолютной сходимостью может быть полоса, где ряд Дирихле есть условно сходящийся. Ширина этой полосы определяется выражением

${\displaystyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}.}$

В случае, когда L = 0, то

${\displaystyle \sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

Все формулы, представленные до сих пор, по-прежнему верны для «обычных» Серия Дирихле путем замены ${\displaystyle \lambda _{n}=\log n}$.

Другие абсциссы схождения

Можно рассмотреть другие абсциссы сходимости ряда Дирихле. В абсцисса ограниченной сходимости ${\displaystyle \sigma _{b}}$ дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{b}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ is bounded in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}},\end{aligned}}}$

в то время как абсцисса равномерной сходимости ${\displaystyle \sigma _{u}}$ дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{u}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ converges uniformly in the half-plane }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}}.\end{aligned}}}$

Эти абсциссы относятся к абсциссе сходимости. ${\displaystyle \sigma _{c}}$ и абсолютной конвергенции ${\displaystyle \sigma _{a}}$ по формулам

${\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{b}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}}$,

и замечательная теорема Бора фактически показывает, что для любого обычного ряда Дирихле, где ${\displaystyle \lambda _{n}=\ln(n)}$ (т.е. ряд Дирихле вида ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$) , ${\displaystyle \sigma _{u}=\sigma _{b}}$ и ${\displaystyle \sigma _{a}\leq \sigma _{u}+1/2;}$^[1] Впоследствии Боненбласт и Хилле показали, что для каждого числа ${\displaystyle d\in [0,0.5]}$ есть серия Дирихле ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ для которого ${\displaystyle \sigma _{a}-\sigma _{u}=d.}$^[2]

Формула абсцисс равномерной сходимости ${\displaystyle \sigma _{u}}$ для общего ряда Дирихле ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$ задается следующим образом: для любого ${\displaystyle N\geq 1}$, позволять ${\displaystyle U_{N}=\sup _{t\in \mathbb {R} }\{|\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{it\lambda _{n}}|\}}$, тогда ${\displaystyle \sigma _{u}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\log U_{N}}{\lambda _{N}}}.}$^[3]

Аналитические функции

А функция представлен серией Дирихле

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

является аналитический в полуплоскости сходимости. Более того, для ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}s}.}$

Дальнейшие обобщения

Ряд Дирихле может быть далее обобщен на многовариантный случай, когда ${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}}$, k = 2, 3, 4, ... или комплексная переменная случай, когда ${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}}$, м = 1, 2, 3,...

Рекомендации

1. Маккарти, Джон Э. (2018). «Серия Дирихле» (PDF).
2. Bohnenblust & Hille (1931). «Об абсолютной сходимости рядов Дирихле». Анналы математики. 32 (3): 600–622. Дои:10.2307/1968255. JSTOR  1968255.
3. «Ряд Дирихле - расстояние между σu и σc». StackExchange. Получено 26 июн 2020.

• Г. Х. Харди, и М. Рисс, Общая теория рядов Дирихле, Cambridge University Press, первое издание, 1915 г.
• Э. К. Титчмарш, Теория функций, Oxford University Press, второе издание, 1939 г.
• Том Апостол, Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел, Springer, второе издание, 1990 г.
• Леонтьев А.Ф., Целые функции и ряды экспонент Наука, издание первое, 1982.
• А.И. Маркушевич, Теория функций комплексного переменного (перевод с русского), Chelsea Publishing Company, второе издание, 1977.
• Ж.-П. Серр, Курс арифметики, Springer-Verlag, пятое издание, 1973.
• Джон Э. Маккарти, Серия Дирихле, 2018.
• Х. Ф. Боненбласт и Эйнар Хилле, Об абсолютной сходимости рядов Дирихле, Анналы математики, Вторая серия, Vol. 32, No. 3 (июль 1931 г.), стр. 600-622.

внешняя ссылка

• "Серия Дирихле". PlanetMath.
• "Серия Дирихле", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]