Гент (гиперупругая модель) - Gent (hyperelastic model)

В Гент сверхупругий материал модель ^[1] это феноменологическая модель эластичность резины это основано на концепции ограничения расширяемости цепочки. В этой модели функция плотности энергии деформации разработан таким образом, что имеет необычность когда первый инвариант левого тензора деформации Коши-Грина достигает предельного значения ${\displaystyle I_{m}}$.

Функция плотности энергии деформации для модели Гента имеет вид ^[1]

${\displaystyle W=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)}$

куда ${\displaystyle \mu }$ это модуль сдвига и ${\displaystyle J_{m}=I_{m}-3}$.

В пределе где ${\displaystyle I_{m}\rightarrow \infty }$, модель Гента сводится к Неогукевское твердое тело модель. Это можно увидеть, представив модель Гента в виде

${\displaystyle W=-{\cfrac {\mu }{2x}}\ln \left[1-(I_{1}-3)x\right]~;~~x:={\cfrac {1}{J_{m}}}}$

А Расширение ряда Тейлора из ${\displaystyle \ln \left[1-(I_{1}-3)x\right]}$ вокруг ${\displaystyle x=0}$ и принимая предел как ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ приводит к

${\displaystyle W={\cfrac {\mu }{2}}(I_{1}-3)}$

которое является выражением для плотности энергии деформации твердого тела в неогуковском стиле.

Несколько сжимаемый разработаны версии модели Gent. Одна такая модель имеет вид^[2] (приведенная ниже функция энергии деформации дает ненулевое гидростатическое напряжение без деформации, см. https://link.springer.com/article/10.1007/s10659-005-4408-x для сжимаемых моделей Gent).

${\displaystyle W=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)+{\cfrac {\kappa }{2}}\left({\cfrac {J^{2}-1}{2}}-\ln J\right)^{4}}$

куда ${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})}$, ${\displaystyle \kappa }$ это объемный модуль, и ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ это градиент деформации.

Условие согласованности

В качестве альтернативы мы можем выразить модель Гента в форме

${\displaystyle W=C_{0}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)}$

Чтобы модель соответствовала линейная эластичность, то следующее условие должно быть удовлетворено:

${\displaystyle 2{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}(3)=\mu }$

куда ${\displaystyle \mu }$ это модуль сдвига материала. Теперь на ${\displaystyle I_{1}=3(\lambda _{i}=\lambda _{j}=1)}$,

${\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=-{\cfrac {C_{0}}{J_{m}}}}$

Следовательно, условием согласованности модели Гента является

${\displaystyle -{\cfrac {2C_{0}}{J_{m}}}=\mu \,\qquad \implies \qquad C_{0}=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}}$

Модель Гента предполагает, что ${\displaystyle J_{m}\gg 1}$

Напряжение-деформация

Напряжение Коши для несжимаемой модели Гента определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}~{\boldsymbol {B}}}$

Одноосное расширение

Кривые напряжение-деформация при одноосном растяжении для модели Гента в сравнении с различными моделями гиперупругих материалов.

Для одноосного удлинения в ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$-направление, основные участки находятся ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{2}=\lambda _{3}}$. От несжимаемости ${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$. Следовательно ${\displaystyle \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda }$. Следовательно,

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {2}{\lambda }}~.}$

В левый тензор деформации Коши-Грина тогда можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda }}~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${\displaystyle \sigma _{11}=-p+{\cfrac {\lambda ^{2}\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}~;~~\sigma _{22}=-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{\lambda (J_{m}-I_{1}+3)}}=\sigma _{33}~.}$

Если ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$, у нас есть

${\displaystyle p={\cfrac {\mu J_{m}}{\lambda (J_{m}-I_{1}+3)}}~.}$

Следовательно,

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}$

В инженерное напряжение является ${\displaystyle \lambda -1\,}$. В инженерное напряжение является

${\displaystyle T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}$

Равноосное удлинение

Для равноосного удлинения в ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$ направления, основные участки находятся ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,}$. От несжимаемости ${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$. Следовательно ${\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,}$. Следовательно,

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=2~\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.}$

В левый тензор деформации Коши-Грина тогда можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)=\sigma _{22}~.}$

В инженерное напряжение является ${\displaystyle \lambda -1\,}$. В инженерное напряжение является

${\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)=T_{22}~.}$

Планарное расширение

Испытания на плоское растяжение проводятся на тонких образцах, которые не могут деформироваться в одном направлении. Для планарного удлинения в ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ направления с ${\displaystyle \mathbf {n} _{3}}$ направление ограничено, основные участки находятся ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1}$. От несжимаемости ${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$. Следовательно ${\displaystyle \lambda _{2}=1/\lambda \,}$. Следовательно,

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.}$

В левый тензор деформации Коши-Грина тогда можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~;~~\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{33}=\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}$

В инженерное напряжение является ${\displaystyle \lambda -1\,}$. В инженерное напряжение является

${\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}$

Простой сдвиг

Градиент деформации для простой сдвиг деформация имеет вид^[3]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$ являются опорными ортонормированными базисными векторами в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением

${\displaystyle \gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

В матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши-Грина могут быть выражены как

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Следовательно,

${\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {B}})=3+\gamma ^{2}}$

а напряжение Коши определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}~{\boldsymbol {B}}}$

В матричной форме

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p+{\cfrac {\mu J_{m}(1+\gamma ^{2})}{J_{m}-\gamma ^{2}}}&{\cfrac {\mu J_{m}\gamma }{J_{m}-\gamma ^{2}}}&0\\{\cfrac {\mu J_{m}\gamma }{J_{m}-\gamma ^{2}}}&-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}&0\\0&0&-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}\end{bmatrix}}}$

Рекомендации

1. Гент, А.Н., 1996, Новое определяющее соотношение для резины, Rubber Chemistry Tech., 69, стр. 59-61.
2. Мак Дональд, Б. Дж., 2007, Практический анализ напряжений с использованием конечных элементов, Гласневин, Ирландия.
3. Огден, Р. В., 1984, Нелинейные упругие деформации, Дувр.

Смотрите также

• Гиперупругий материал
• Функция плотности энергии деформации
• Муни-Ривлин твердый
• Теория конечных деформаций
• Стрессовые меры