Теорема Кирсбрауна - Kirszbraun theorem

В математика в частности реальный анализ и функциональный анализ, то Теорема Кирсбрауна заявляет, что если U это подмножество некоторых Гильбертово пространство ЧАС₁, и ЧАС₂ другое гильбертово пространство, и

ж : U → ЧАС₂

это Липшицево-непрерывный map, то существует липшицево отображение

F: ЧАС₁ → ЧАС₂

что расширяет ж и имеет ту же константу Липшица, что и ж.

Обратите внимание, что этот результат, в частности, относится к Евклидовы пространства E^п и E^м, и именно в такой форме Кирсбраун первоначально сформулировал и доказал теорему.^[1] Версию для гильбертовых пространств можно найти, например, в (Schwartz 1969, стр. 21).^[2] Если ЧАС₁ это отделяемое пространство (в частности, если это евклидово пространство) результат верен в Теория множеств Цермело – Френкеля; для полностью общего случая, по-видимому, требуется некоторая форма аксиомы выбора; то Теорема о булевом простом идеале как известно, достаточно.^[3]

Доказательство теоремы использует геометрические особенности гильбертовых пространств; соответствующее заявление для Банаховы пространства неверно вообще, даже для конечномерных банаховых пространств. Например, можно построить контрпримеры, где домен является подмножеством р^п с максимальная норма и р^м несет евклидову норму.^[4] В более общем смысле теорема неверна для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ оснащен любым ${\displaystyle \ell _{p}}$ норма (${\displaystyle p\neq 2}$) (Шварц, 1969, с. 20).^[2]

Для р-значная функция, которую предоставляет расширение ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}{\big (}f(u)+{\text{Lip}}(f)\cdot d(x,u){\big )},}$ где ${\displaystyle {\text{Lip}}(f)}$ постоянная Липшица f на U.

История

Теорема была доказана Моджеш Давид Киршбраун, а позже упрекал Фредерик Валентайн,^[5] кто первым доказал это для евклидовой плоскости.^[6] Иногда эту теорему еще называют Теорема Киршбрауна – Валентина.

Рекомендации

1. Киршбраун, М. Д. (1934). "Uber die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen". Фонд. Математика. 22: 77–108.
2. Шварц, Дж. Т. (1969). Нелинейный функциональный анализ. Нью-Йорк: Гордон и наука о нарушениях.
3. Фремлин, Д. Х. (2011). "Теорема Киршбрауна" (PDF). Препринт.
4. Федерер, Х. (1969). Геометрическая теория меры. Берлин: Springer. п.202.
5. Валентин, Ф.А. (1945). «Сохраняющее условие Липшица расширение для векторной функции». Американский журнал математики. 67 (1): 83–93. Дои:10.2307/2371917.
6. Валентин, Ф.А. (1943). «О продолжении вектор-функции с сохранением условия Липшица». Бюллетень Американского математического общества. 49: 100–108. Дои:10.1090 / с0002-9904-1943-07859-7. Г-Н  0008251.

внешняя ссылка

• Теорема Кирсбрауна в Энциклопедия математики.