Полином Костанта - Kostant polynomial

В математика, то Полиномы Костанта, названный в честь Бертрам Костант, предоставить явную основу кольцо многочленов над кольцом многочленов, инвариантных относительно конечная группа отражений из корневая система.

Фон

Если группа отражения W соответствует Группа Вейля компактного полупростая группа K с максимальный тор Т, то полиномы Костанта описывают структуру когомологии де Рама обобщенного многообразие флагов K/Т, также изоморфный грамм/B куда грамм это комплексирование из K и B соответствующий Подгруппа Бореля. Арман Борель показал, что его кольцо когомологий изоморфна фактору кольца многочленов по идеальный порожденные инвариантными однородными многочленами положительной степени. Это кольцо уже рассматривали Клод Шевалле в установлении основ когомологий компактные группы Ли и их однородные пространства с Андре Вайль, Жан-Луи Кошул и Анри Картан; существование такого базиса было использовано Шевалле для доказательства того, что кольцо инвариантов само является кольцом многочленов. Подробное описание полиномов Костанта было дано Бернштейн, Гельфанд и Гельфанд (1973) и независимо Демазюр (1973) как инструмент для понимания Исчисление Шуберта многообразия флагов. Многочлены Костанта связаны с Полиномы Шуберта определяется комбинаторно Ласку и Шютценбергер (1982) для классического многообразия флагов, когда грамм = SL (n,C). Их структура регулируется операторы разницы связанных с соответствующими корневая система.

Стейнберг (1975) определил аналогичный базис при замене кольца многочленов на кольцо экспонент из весовая решетка. Если K является односвязный, это кольцо можно отождествить с представительское кольцо р(Т) и W-инвариантное подкольцо с р(K). Базис Стейнберга снова был мотивирован проблемой топологии однородных пространств; основа возникает при описании Т-эквивариантная K-теория из K/Т.

Определение

Пусть Φ - корневая система в конечномерном реальном внутреннем пространстве продукта V с Группа Вейля W. Пусть Φ+ - множество положительных корней, а ∆ - соответствующее множество простых корней. Если α корень, то sα обозначает соответствующий оператор отражения. Корни рассматриваются как линейные многочлены на V используя внутреннее произведение α (v) = (α,v). Выбор Δ приводит к Заказ Брюа на группе Вейля, определяемой способами записи элементов минимально как продукты простого корневого отражения. Минимальная длина элнета s обозначается. Выберите элемент v в V такое, что α (v)> 0 для любого положительного корня.

Если αя простой корень с оператором отражения sя

тогда соответствующий оператор разделенной разности определяется

Если и s уменьшил выражение

тогда

не зависит от приведенного выражения. более того

если и 0 в противном случае.

Если ш0 это самый длинный элемент из W, элемент наибольшей длины или, что то же самое, элемент, отправляющий Φ+ к-Φ+, тогда

В более общем смысле

для некоторых констант аs,т.

Набор

и

потом пs является однородным многочленом степени .

Эти многочлены являются Полиномы Костанта.

Характеристики

Теорема. Многочлены Костанта образуют свободный базис кольца многочленов над W-инвариантными многочленами.

Фактически матрица

унитреугольный для любого полного порядка, такого что sт подразумевает .

Следовательно

Таким образом, если

с аs инвариантен относительно W, тогда

Таким образом

куда

другая унитреугольная матрица с полиномиальными элементами. Непосредственно можно проверить, что аs инвариантен относительно W.

Фактически δя удовлетворяет происхождение свойство

Следовательно

С

или 0, то

так что по обратимости N

для всех я, т.е. ат инвариантен относительно W.

Основа Штейнберга

Как и выше, пусть Φ - корневая система в реальном внутреннем пространстве продукта V, а Φ+ подмножество положительных корней. Из этих данных получаем подмножество Δ = {α1, α2, ..., αп} простых корней, коронки

и фундаментальные веса λ1, λ2, ..., λп как двойная основа коронок.

Для каждого элемента s в W, пусть ∆s - подмножество Δ, состоящее из простых корней, удовлетворяющих s−1α <0, и положим

где сумма вычисляется в весовой решетке п.

Набор линейных комбинаций экспонент еμ с целыми коэффициентами при μ в п становится кольцом Z изоморфна групповой алгебре п, или эквивалентно кольцу представленийр(Т) из Т, куда Т - максимальный тор в K, односвязная, связная компактная полупростая группа Ли с корневой системой Φ. Если W группа Вейля группы Φ, то кольцо представлений р(K) из K можно отождествить с р(Т)W.

Теорема Стейнберга. Экспоненты λs (s в W) образуют свободный базис кольца экспонент над подкольцом W-инвариантные экспоненты.

Обозначим через ρ полусумму положительных корней, а А обозначим оператор антисимметризации

Положительные корни β с sβ положительный можно рассматривать как набор положительных корней для корневой системы на подпространстве V; корни - те, которые ортогональны s.λs. Соответствующая группа Вейля равна стабилизатору λs в W. Он создается простыми отражениями sj для которого sαj положительный корень.

Позволять M и N быть матрицами

где ψs дается весом s−1ρ - λs. Тогда матрица

треугольник относительно любого полного порядка на W такой, что sт подразумевает . Стейнберг доказал, что записи B находятся W-инвариантные экспоненциальные суммы. Более того, все его диагональные элементы равны 1, поэтому у него есть определитель 1. Следовательно, его обратный C имеет такую ​​же форму. Определять

Если х - произвольная экспоненциальная сумма, то отсюда следует, что

с аs то W-инвариантная экспоненциальная сумма

Действительно, это единственное решение системы уравнений

Рекомендации

  • Бернштейн, И. Н .; Гельфанд, И.М.; Гельфанд С. И. (1973), "Клетки Шуберта и когомологии пространств G / P", Русская математика. Обзоры, 28 (3): 1–26, Дои:10.1070 / RM1973v028n03ABEH001557
  • Билли, Сара С. (1999), "Многочлены Костанта и кольцо когомологий для G / B.", Duke Math. Дж., 96: 205–224, CiteSeerX  10.1.1.11.8630, Дои:10.1215 / S0012-7094-99-09606-0
  • Бурбаки, Николас (1981), Groupes et algèbres de Lie, Chapitres 4, 5 и 6, Массон, ISBN  978-2-225-76076-1
  • Картан, Анри (1950), "Различия в понятиях; применение к группам Ли и другим разнообразным операциям в группе Ли", Colloque de Topologie (espaces Fibrés), Брюссель: 15–27
  • Картан, Анри (1950), "La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré main", Colloque de Topologie (espaces Fibrés), Брюссель: 57–71
  • Шевалле, Клод (1955), «Инварианты конечных групп, порожденные отражениями», Амер. J. Math., 77 (4): 778–782, Дои:10.2307/2372597, JSTOR  2372597
  • Демазюр, Мишель (1973), "Симметрические инварианты энтиерсных групп Вейля и кручения", Изобретать. Математика., 21 (4): 287–301, Дои:10.1007 / BF01418790
  • Greub, Вернер; Гальперин, Стивен; Ванстон, Рэй (1976), Связности, кривизна и когомологии. Том III: Когомологии главных расслоений и однородных пространств, Чистая и прикладная математика, 47-III, Academic Press
  • Хамфрис, Джеймс Э. (1994), Введение в алгебры Ли и теорию представлений (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-90053-7
  • Костант, Бертрам (1963), "Когомологии алгебр Ли и обобщенные клетки Шуберта", Анна. математики., 77 (1): 72–144, Дои:10.2307/1970202, JSTOR  1970202
  • Костант, Бертрам (1963), "Представления группы Ли на кольцах многочленов", Амер. J. Math., 85 (3): 327–404, Дои:10.2307/2373130, JSTOR  2373130
  • Костант, Бертрам; Кумар, Шраван (1986), "Ниль-кольцо Гекке и когомологии G / P для группы Каца – Муди G.", Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ., 83 (6): 1543–1545, Дои:10.1073 / пнас.83.6.1543, ЧВК  323118, PMID  16593661
  • Ален, Ласку; Шютценбергер, Марсель-Поль (1982), "Полиномы Шуберта [полиномы Шуберта]", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 294: 447–450
  • Маклеод, Джон (1979), Формула Куннета в эквивариантной K-теории, Конспект лекций по математике, 741, Springer, стр. 316–333.
  • Стейнберг, Роберт (1975), «Об одной теореме Питти», Топология, 14 (2): 173–177, Дои:10.1016/0040-9383(75)90025-7