Линейное каноническое преобразование - Linear canonical transformation - Wikipedia

В Гамильтонова механика, то линейное каноническое преобразование (LCT) - это семья интегральные преобразования что обобщает многие классические преобразования. Он имеет 4 параметра и 1 ограничение, поэтому представляет собой трехмерное семейство, и его можно визуализировать как действие специальная линейная группа SL₂(р) на частотно-временная плоскость (домен).

LCT обобщает Фурье, дробный Фурье, Лаплас, Гаусс – Вейерштрасс, Bargmann и Френель трансформируется как частный случай. Название «линейное каноническое преобразование» происходит от каноническое преобразование, отображение, сохраняющее симплектическую структуру, поскольку SL₂(р) также можно интерпретировать как симплектическая группа Sp₂, и, таким образом, LCT являются линейными отображениями частотно-временной области, которые сохраняют симплектическая форма.

Рассмотрены основные свойства упомянутых выше преобразований, такие как масштабирование, сдвиг, умножение координат. Любое линейное каноническое преобразование связано с аффинными преобразованиями в фазовом пространстве, определяемых координатами время-частота или положение-импульс.

Определение

LCT можно представить несколькими способами; проще всего,^[1] его можно параметризовать матрицей 2 × 2 с определителем 1, т. е. элементом специальная линейная группа SL₂(C). Тогда для любой такой матрицы ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right),}$ с объявление − до н.э = 1, соответствующий интегральное преобразование из функции ${\displaystyle x(t)}$ к ${\displaystyle X(u)}$ определяется как

${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {\frac {1}{ib}}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\;dt\,,}$	когда б ≠ 0,
${\displaystyle X_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(du)\,,}$	когда б = 0.

Особые случаи

Многие классические преобразования являются частными случаями линейного канонического преобразования:

• Масштабирование, ${\displaystyle x(u)\mapsto {\sqrt {\sigma }}x(\sigma u)}$, соответствует масштабированию измерений времени и частоты обратно пропорционально (по мере того, как время идет быстрее, частоты становятся выше, а измерение времени сокращается):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}}$

• В преобразование Фурье соответствует повороту на 90 °, представленному матрицей:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.}$

• В дробное преобразование Фурье соответствует повороту на произвольный угол; они эллиптические элементы SL₂(р), представленные матрицами:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

• В Преобразование Френеля соответствует стрижке и являются семейством параболические элементы, представленные матрицами:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.}$

куда z это расстояние и λ длина волны.

• В Преобразование Лапласа соответствует повороту на 90 ° в комплексную область и может быть представлена ​​матрицей:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}.}$

• В Дробное преобразование Лапласа соответствует повороту на произвольный угол в комплексную область и может быть представлен матрицей:^[2]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i\cos \theta &i\sin \theta \\i\sin \theta &-i\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Сочинение

Состав LCT соответствует умножению соответствующих матриц; это также известно как «свойство аддитивности WDF ".

Подробно, если обозначить LCT как О_F^{(а, б, в, г)}, т.е.

${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)=O_{F}^{(a,b,c,d)}[x(t)]\,}$

тогда

${\displaystyle O_{F}^{(a2,b2,c2,d2)}\left\{O_{F}^{(a1,b1,c1,d1)}[x(t)]\right\}=O_{F}^{(a3,b3,c3,d3)}[x(t)]\,,}$

куда

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a3&b3\\c3&d3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a2&b2\\c2&d2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a1&b1\\c1&d1\end{bmatrix}}.}$

Если ${\displaystyle W_{X(a,b,c,d)}(u,v)}$это ${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)}$, куда ${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)}$это LCT ${\displaystyle x(t)}$, тогда

${\displaystyle {\begin{cases}W_{X(a,b,c,d)}(u,v)=W_{x}(du-bv,-cu+av)\\W_{X(a,b,c,d)}(au+bv,cu+dv)=W_{x}(u,v)\end{cases}}}$

LCT аналогичен операции скручивания для WDF, а распределение классов Коэна также имеет операцию скручивания.

Мы можем свободно использовать LCT для преобразования параллелограмма с центром в точке (0,0) в другой параллелограмм с такой же площадью и тем же центром.

Из этого рисунка мы знаем, что точка (-1,2) преобразуется в точку (0,1), а точка (1,2) преобразуется в точку (4,3). В результате мы можем записать следующие уравнения:

${\displaystyle {\begin{cases}-a+2b=0\\-c+2d=1\end{cases}}\,and\,{\begin{cases}a+2b=4\\c+2d=3\end{cases}}}$

мы можем решить уравнения и получить (a, b, c, d) равно (2,1,1,1)

Связь

На следующем рисунке мы суммируем LCT с другими преобразованиями или свойствами.

В оптике и квантовой механике

Параксиальные оптические системы реализовано полностью с тонкие линзы и распространение через свободное пространство и / или среду с градиентным индексом (GRIN) являются квадратичными фазовыми системами (QPS); они были известны до того, как Мошинский и Кен (1974) обратили внимание на их значение в связи с каноническими преобразованиями в квантовой механике. Влияние любой произвольной QPS на входное волновое поле можно описать с помощью линейного канонического преобразования, частный случай которого был развит Сегалом (1963) и Баргманном (1961) для формализации бозонного исчисления Фока (1928).^[3]

В Квантовая механика линейные канонические преобразования можно отождествить с линейными преобразованиями, которые смешивают Оператор моментума с Оператор позиции и оставим неизменным Канонические коммутационные соотношения.

Приложения

Канонические преобразования используются для анализа дифференциальных уравнений. К ним относятся распространение, то Свободная частица Шредингера, линейный потенциал (свободное падение) и уравнения осциллятора притяжения и отталкивания. Он также включает несколько других, таких как Уравнение Фоккера – Планка. Хотя этот класс далеко не универсален, простота нахождения решений и свойств делает канонические преобразования привлекательным инструментом для решения подобных проблем.^[4]

Здесь обсуждается распространение волн через воздух, линзу и между спутниковыми антеннами. Все вычисления сводятся к матричной алгебре 2 × 2. Это дух LCT.

Распространение электромагнитных волн

Предполагая, что система выглядит так, как показано на рисунке, волна распространяется из плоскости Икс_я, у_я в самолет Икс и у. Преобразование Френеля используется для описания распространения электромагнитных волн в воздухе:

${\displaystyle U_{0}(x,y)=-{\frac {j}{\lambda }}{\frac {e^{jkz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{j{\frac {k}{2z}}[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}]}U_{i}(x_{i},y_{i})\;dx_{i}\;dy_{i},}$

с

k = 2 π / λ	: волновое число;
λ	: длина волны;
z	: расстояние распространения;
j	: мнимая единица.

Это эквивалентно LCT (сдвиг), когда

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Когда пройденное расстояние (z) больше, эффект сдвига больше.

Сферическая линза

С линзой, изображенной на рисунке, и показателем преломления, обозначенным как п, результат:^[5]

${\displaystyle U_{0}(x,y)=e^{jkn\Delta }e^{-j{\frac {k}{2f}}[x^{2}+y^{2}]}U_{i}(x,y)}$

с ж фокусное расстояние и Δ толщина линзы.

Дисторсия, проходящая через линзу, аналогична LCT, когда

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}.}$

Это также эффект сдвига: чем меньше фокусное расстояние, тем больше эффект сдвига.

Сферическое зеркало

Сферическое зеркало - например, спутниковая тарелка - можно описать как LCT, с

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}.}$

Это очень похоже на объектив, за исключением того, что фокусное расстояние заменяется радиусом антенны. Следовательно, чем меньше радиус, тем больше эффект сдвига.

Совместное свободное пространство и сферическая линза

Связь между входом и выходом мы можем использовать для представления LCT.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z_{2}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1/\lambda f\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda z_{1}\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-z_{2}/f&\lambda (z_{1}+z_{2})-\lambda z_{1}z_{2}/f\\-1/\lambda f&1-z_{1}/f\end{bmatrix}}}$

(1) Если z1 = z2 = 2f, это обратное реальное изображение

(2) Если z1 = z2 = f, это преобразование Фурье + масштабирование

(3) если z1 = z2, это дробное преобразование Фурье + масштабирование

Основные свойства

В этой части мы покажем основные свойства LCT.

Оператор	Матрица преобразования
${\displaystyle L(T)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle L(T_{1})L(T_{2})}$	${\displaystyle T_{2}T_{1}}$
${\displaystyle L^{-1}(T)=L(T^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle L({\widehat {T}})=L^{*}(T^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}d^{t}&b^{t}\\c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle F}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle {\begin{cases}FL(T)F^{-1}=L^{*}(T^{t-1})\\F^{-1}L(T)F=L^{*}(T^{t-1})\end{cases}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix}}}$

С двумерным вектор-столбцом р определяется как р =${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$, мы показываем некоторые основные свойства (результат) для конкретного ввода ниже

Вход	Выход	Замечание
${\displaystyle f_{i}(r)}$	${\displaystyle f_{o}(r)=L(T){\displaystyle f_{i}(r)},\,where\,T={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle \sum _{n}a_{n}f_{n}(r)}$	${\displaystyle \sum _{n}a_{n}Lf_{n}(r)}$	Линейность
${\displaystyle f_{i}(r),h_{i}(r)}$	${\displaystyle \int f_{i}(r)h_{i}^{*}(r)dr=\int f_{o}(r)h_{o}^{*}(r)dr}$	теорема парсеваля
${\displaystyle f_{i}^{*}(r)}$	${\displaystyle [L(T^{-1})f_{i}(r)]^{*}\,where\,T^{-1}={\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}}$	комплексно сопряженный
${\displaystyle \mathrm {M} ^{n}f_{i}(r)}$	${\displaystyle (d^{t}\mathrm {M} -b^{t}D)^{n}f_{o}(r)\,\,\,\,\mathrm {M} =r}$	умножение
${\displaystyle D^{n}f_{i}(r)}$	${\displaystyle (-c^{t}\mathrm {M} -a^{t}D)^{n}f_{o}(r)\,\,\,\,D=(i2\pi )^{-1}\nabla ^{t}}$	происхождение
${\displaystyle f_{i}(r)exp(j2\pi k^{t}r)}$	${\displaystyle f_{o}(r-bk)exp(j2\pi k^{t}d^{t}r)exp(-i\pi k^{t}b^{t}dk)}$	модуляция
${\displaystyle f_{i}(r-k)}$	${\displaystyle f_{o}(r)exp(j2\pi k^{t}c^{t}r)exp(-i\pi k^{t}c^{t}ak)}$	сдвиг
${\displaystyle |detW|^{-1/2}f_{i}(W^{-1}r)}$	${\displaystyle L({\tilde {T}})f_{i}(r)\,\,where\,\,{\tilde {T}}=T{\begin{bmatrix}W&0\\0&W^{t-1}\end{bmatrix}}}$	масштабирование
${\displaystyle f_{i}(-r)}$	${\displaystyle L(-T)f_{i}(r)=f_{o}(-r)}$	масштабирование
1	${\displaystyle (det(A))^{-1/2}exp(i\pi r^{t}CA^{-1}r)}$
${\displaystyle exp(j\pi r^{t}L_{i}r)}$	${\displaystyle [det(A+iL_{i})]^{-1/2}exp(-\pi r^{t}L_{o}r),\,where\,iL_{o}=(C+iDL_{i})(A+iBL_{i})^{-1}}$
${\displaystyle exp(j2\pi k^{t}r)}$	${\displaystyle (det(A))^{-1/2}exp(i\pi r^{t}CA^{-1}r)*exp(-i\pi k^{t}A^{-1}BK)exp(i2\pi k^{t}CA^{-1}r)}$

Пример

Рассматриваемая система изображена на рисунке справа: две антенны, одна из которых является излучателем, а другая - приемником, и сигнал, идущий между ними на расстоянии. DВо-первых, для антенны A (эмиттер) матрица LCT выглядит так:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}.}$

Тогда для антенны B (приемник) матрица LCT аналогичным образом принимает следующий вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}.}$

Наконец, для распространения сигнала в воздухе матрица LCT имеет вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Объединив все три компонента вместе, мы получим LCT системы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {D}{R_{A}}}&-\lambda D\\{\frac {1}{\lambda }}(R_{A}^{-1}+R_{B}^{-1}-R_{A}^{-1}R_{B}^{-1}D)&1-{\frac {D}{R_{B}}}\end{bmatrix}}\,.}$

Связь с физикой элементарных частиц

Было показано, что можно установить связь между некоторыми свойствами элементарного Фермион в Стандартная модель из Физика элементарных частиц и Представление спина линейных канонических преобразований. ^[6] При таком подходе Электрический заряд, Слабый гиперзаряд и Слабый изоспин частиц выражаются как линейные комбинации некоторых операторов, определенных из генераторов Алгебра Клиффорда связанный со спиновым представлением линейных канонических преобразований.

Смотрите также

• Распределение Сигала – Шейла – Вейля., метаплектическая группа операторов, связанных с преобразованием чирплета

Другие частотно-временные преобразования

• Дробное преобразование Фурье
• Непрерывное преобразование Фурье
• Чирплет преобразование

Приложения

• Восстановление фокуса на основе линейного канонического преобразования
• Анализ матрицы переноса лучей

Примечания

1. де Брюйн, Н. Г. (1973). «Теория обобщенных функций с приложениями к распределению Вигнера и соответствию Вейля», Nieuw Arch. Wiskd., III. Сер., 21 205-280.
2. П.Р. Дешмук, А.С. Gudadhe (2011) Структура свертки для двух версий дробного преобразования Лапласа. Журнал науки и искусства, 2 (15): 143-150. «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2012-12-23. Получено 2012-08-29.
3. К.Б. Волк (1979) Гл. 9. Канонические преобразования.
4. К.Б. Вольф (1979) гл. 9 & 10.
5. Гудман, Джозеф В. (2005), Введение в фурье-оптику (3-е изд.), Робертс и издатели компании, ISBN  0-9747077-2-4, §5.1.3, стр. 100–102.
6. Р. Т. Ранаивосон, Раоэлина Андриамболона, Р. Ханитриариву, Р. Рабоанари (2020). https://arxiv.org/abs/1804.10053

Рекомендации

• J.J. Хили, М.А.Кутай, Х.М. Озактас и Дж. Шеридан "Линейные канонические преобразования: теория и приложения", Спрингер, Нью-Йорк, 2016 г.
• J.J. Дин "Примечание к курсу частотно-временного анализа и вейвлет-преобразования", факультет электротехники, Национальный университет Тайваня (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007 г.
• К.Б. Волк "Интегральные преобразования в науке и технике ", Главы 9 и 10, Нью-Йорк, Plenum Press, 1979.
• Коллинз С.А. Дифракционный интеграл линзовой системы, записанный в терминах матричной оптики. J. Opt. Soc. Амер. 60, 1168–1177 (1970).
• М. Мошинский и К. Кен, «Линейные канонические преобразования и их унитарные представления». J. Math. Phys. 12, 8, 1772–1783, (1971).
• Б.М. Хеннелли и Дж. Шеридан, "Быстрый численный алгоритм линейного канонического преобразования", J. Opt. Soc. Являюсь. А 22, 5, 928–937 (2005).
• H.M. Озактас, А. Коч, И. Сари, М.А. Кутай, «Эффективное вычисление квадратично-фазовых интегралов в оптике», Опт. Позволять. 31, 35–37, (2006).
• Бин-Чжао Ли, Ран Тао, Юэ Ван, «Новые формулы выборки, связанные с линейным каноническим преобразованием», Обработка сигналов '87', 983–990, (2007).
• А. Коч, Х.М. Озактас, Ч. Кандан, М.А. Кутай, «Цифровое вычисление линейных канонических преобразований», IEEE Trans. Сигнальный процесс., т. 56, нет. 6, 2383–2394, (2008).
• Ран Тао, Бинг-Чжао Ли, Юэ Ван, «О выборке сигналов с ограниченной полосой пропускания, связанных с линейным каноническим преобразованием», Транзакции IEEE при обработке сигналов, т. 56, нет. 11, 5454–5464, (2008).
• Столер Д. Операторные методы в физической оптике. 26-й ежегодный технический симпозиум. Международное общество оптики и фотоники, 1982.
• Тянь-Чжоу Сюй, Бин-Чжао Ли " Линейное каноническое преобразование и его приложения ", Пекин, Science Press, 2013.
• Раоэлина Андриамболона, Р. Т. Ранаивосон, Х. Д. Э. Рандриамиси, Р. Ханитриариву, "Алгебра дисперсионных операторов и линейные канонические преобразования",Международный журнал теоретической физики, Volume 56, Issue 4, pp 1258–1273, Springer, 2017 г.
• R.T. Ранайвосон, Раоэлина Андриамболона, Р. Ханитриариву, Р. Рабоанари «Линейные канонические преобразования в релятивистской квантовой физике»,arXiv: 1804.10053 [квант-ф], 2020.
• Татьяна Алиева., Мартин Дж. Бастиаанс. (2016) Линейные канонические преобразования: определение и свойства. В: Хили Дж., Альпер Кутай М., Озактас Х., Шеридан Дж. (Ред.) Линейные канонические преобразования. Springer Series in Optical Sciences, vol 198. Springer, New York, NY.