Список уравнений волновой теории - List of equations in wave theory

Эта статья резюмирует уравнения в теории волны.

Определения

Общие фундаментальные величины

Основные статьи: Поперечная волна и Продольная волна

Волна может быть продольный где колебания параллельны (или антипараллельны) направлению распространения, или поперечный где колебания перпендикулярны направлению распространения. Эти колебания характеризуются периодически изменяющимся во времени смещением в параллельном или перпендикулярном направлении, поэтому мгновенная скорость и ускорение также являются периодическими и изменяются во времени в этих направлениях. (кажущееся движение волны из-за последовательных колебаний частиц или полей вокруг их положений равновесия) распространяется с фазовой и групповой скоростями, параллельными или антипараллельными направлению распространения, что является общим для продольных и поперечных волн. Ниже колебательные смещение, скорость и ускорение относятся к кинематике в колебательных направлениях волны - поперечной или продольной (математическое описание идентично), групповая и фазовая скорости разделены.

Количество (общее название / а)	(Общий) символ / с	Единицы СИ	Измерение
Количество волновых циклов	N	безразмерный	безразмерный
(Колебательное) смещение	Символ любого количества, которое периодически меняется, например час, Икс, у (механические волны), Икс, s, η (продольные волны) я, V, E, B, ЧАС, D (электромагнетизм), ты, U (световые волны), ψ, Ψ, Φ (квантовая механика). В большинстве общих целей используют у, ψ, Ψ. Для общности здесь А используется и может быть заменен любым другим символом, так как другие имеют конкретное общее использование. ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!}$ для продольных волн, ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\,\!}$ для поперечных волн.	м	[L]
(Колебательное) смещение амплитуда	Любой символ количества, как правило, с нижним индексом 0, m или max или заглавной буквой (если смещение было в нижнем регистре). Здесь для общности A0 используется и может быть заменен.	м	[L]
(Колебательная) амплитуда скорости	V, v0, vм. Здесь v0 используется.	РС^−1	[L] [T]^−1
(Колебательная) амплитуда ускорения	А, а0, ам. Здесь а0 используется.	РС^−2	[L] [T]^−2
Пространственное положение Положение точки в пространстве, не обязательно точки на профиле волны или любой линии распространения.	d, р	м	[L]
Смещение волнового профиля В направлении распространения расстояние, пройденное одной волной (длина пути) от точки источника. р0 в любую точку космоса d (для продольных или поперечных волн)	L, d, р ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv r\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\equiv \mathbf {d} -\mathbf {r} _{0}\,\!}$	м	[L]
Угол фазы	δ, ε, φ	рад	безразмерный

Общие производные величины

Количество (общее название / а)	(Общий) символ / с	Определение уравнения	Единицы СИ	Измерение
Длина волны	λ	Общее определение (позволяет FM ): ${\displaystyle \lambda =\mathrm {d} r/\mathrm {d} N\,\!}$ Для не-FM волн это сводится к: ${\displaystyle \lambda =\Delta r/\Delta N\,\!}$	м	[L]
Волновое число, k-вектор, Волновой вектор	k, σ	Используются два определения: ${\displaystyle \mathbf {k} =\left(2\pi /\lambda \right)\mathbf {\hat {e}} _{\angle }\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =\left(1/\lambda \right)\mathbf {\hat {e}} _{\angle }\,\!}$	м^−1	[L]^−1
Частота	f, ν	Общее определение (позволяет FM ): ${\displaystyle f=\mathrm {d} N/\mathrm {d} t\,\!}$ Для не-FM волн это сводится к: ${\displaystyle f=\Delta N/\Delta t\,\!}$ На практике N установлен на 1 цикл и т = Т = период времени для 1 цикла, чтобы получить более полезное соотношение: ${\displaystyle f=1/T\,\!}$	Гц = с^−1	[T]^−1
Угловая частота / пульсация	ω	${\displaystyle \omega =2\pi f=2\pi /T\,\!}$	Гц = с^−1	[T]^−1
Колебательная скорость	v, vт, v	Продольные волны: ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\partial A/\partial t\right)\,\!}$ Поперечные волны: ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\left(\partial A/\partial t\right)\,\!}$	РС^−1	[L] [T]^−1
Колебательное ускорение	а, ат	Продольные волны: ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\partial ^{2}A/\partial t^{2}\right)\,\!}$ Поперечные волны: ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\left(\partial ^{2}A/\partial t^{2}\right)\,\!}$	РС^−2	[L] [T]^−2
Разница в длине пути между двумя волнами	L, ΔL, ΔИкс, Δр	${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\,\!}$	м	[L]
Фазовая скорость	vп	Общее определение: ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\Delta r/\Delta t\right)\,\!}$ На практике сводится к полезной форме: ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=\lambda f\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }=\left(\omega /k\right)\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!}$	РС^−1	[L] [T]^−1
(Продольный) групповая скорость	vграмм	${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {g} }=\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\partial \omega /\partial k\right)\,\!}$	РС^−1	[L] [T]^−1
Временная задержка, временная задержка / опережение	Δт	${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}\,\!}$	s	[T]
Разность фаз	δ, Δε, Δϕ	${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}\,\!}$	рад	безразмерный
Фаза	Нет стандартного символа	${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \mp \omega t+\phi =2\pi N\,\!}$ Физически; верхний знак: распространение волны в +р направление нижний знак: распространение волны в -р направление Фазовый угол может отставать, если: ϕ > 0 или вести, если: ϕ < 0.	рад	безразмерный

Соотношение между аналогами пространства, времени, угла, используемыми для описания фазы:

${\displaystyle {\frac {\Delta r}{\lambda }}={\frac {\Delta t}{T}}={\frac {\phi }{2\pi }}\,\!}$

Индексы модуляции

Количество (общее название / а)	(Общий) символ / с	Определение уравнения	Единицы СИ	Измерение
Индекс AM:	час, часЯВЛЯЮСЬ	${\displaystyle h_{AM}=A/A_{m}\,\!}$ А = амплитуда несущей Ам = пиковая амплитуда составляющей модулирующего сигнала	безразмерный	безразмерный
Индекс FM:	часFM	${\displaystyle h_{FM}=\Delta f/f_{m}\,\!}$ Δж = макс. отклонение мгновенной частоты от несущей частоты жм = пиковая частота компонента в модулирующем сигнале	безразмерный	безразмерный
Индекс PM:	часВЕЧЕРА	${\displaystyle h_{PM}=\Delta \phi \,\!}$ Δϕ = пиковое отклонение фазы	безразмерный	безразмерный

Акустика

Количество (общее название / а)	(Общий) символ / с	Определение уравнения	Единицы СИ	Измерение
Акустический импеданс	Z	${\displaystyle Z=\rho v\,\!}$ v = скорость звука,ρ = объемная плотность среды	кг м^−2 s^−1	[M] [L]^−2 [T]^−1
Удельный акустический импеданс	z	${\displaystyle z=ZS\,\!}$ S = площадь поверхности	кг с^−1	[M] [T]^−1
Уровень звука	β	${\displaystyle \beta =\left(\mathrm {dB} \right)10\log \left|{\frac {I}{I_{0}}}\right|\,\!}$	безразмерный	безразмерный

Уравнения

В дальнейшем п, м любые целые числа (Z = набор целые числа ); ${\displaystyle n,m\in \mathbf {Z} \,\!}$.

Стоячие волны

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Гармонические частоты	жп = n-я мода колебаний, n-я гармоника, (n-1) -й обертон	${\displaystyle f_{n}={\frac {v}{\lambda _{n}}}={\frac {nv}{2L}}=nf_{1}\,\!}$

Распространяющиеся волны

Звуковые волны

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Средняя мощность волны	п0 = Звуковая мощность от источника	${\displaystyle \langle P\rangle =\mu v\omega ^{2}x_{m}^{2}/2\,\!}$
Интенсивность звука	Ω = телесный угол	${\displaystyle I=P_{0}/(\Omega r^{2})\,\!}$ ${\displaystyle I=P/A=\rho v\omega ^{2}s_{m}^{2}/2\,\!}$
Частота акустических биений	ж1, ж2 = частоты двух волн (почти равные амплитуды)	${\displaystyle f_{\mathrm {beat} }=\left|f_{2}-f_{1}\right|\,\!}$
Эффект Доплера для механических волн	V = скорость звуковой волны в среде ж0 = Частота источника жр = Частота приемника v0 = Скорость источника vр = Скорость приемника	${\displaystyle f_{r}=f_{0}{\frac {V\pm v_{r}}{V\mp v_{0}}}\,\!}$ верхние знаки указывают на относительное приближение, нижние знаки указывают на относительный спад.
Угол конуса Маха (сверхзвуковая ударная волна, звуковая стрела)	v = скорость тела vs = местная скорость звука θ = угол между направлением движения и конической огибающей наложенных волновых фронтов	${\displaystyle \sin \theta ={\frac {v}{v_{s}}}\,\!}$
Акустическое давление и амплитуды смещения	п0 = амплитуда давления s0 = амплитуда смещения v = скорость звука ρ = локальная плотность среды	${\displaystyle p_{0}=\left(v\rho \omega \right)s_{0}\,\!}$
Волновые функции для звука		Акустические ритмы ${\displaystyle s=\left[2s_{0}\cos \left(\omega 't\right)\right]\cos \left(\omega t\right)\,\!}$ Функция смещения звука${\displaystyle s=s_{0}\cos(kr-\omega t)\,\!}$ Изменение звукового давления${\displaystyle p=p_{0}\sin(kr-\omega t)\,\!}$

Гравитационные волны

Основная статья: Гравитационная волна § Источники гравитационных волн

Гравитационное излучение для двух вращающихся тел в пределе малых скоростей.^[1]

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Излучаемая мощность	п = Излучаемая мощность из системы, т = время, р = расстояние между центрами масс м1, м2 = массы вращающихся тел	${\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {32}{5}}\,{\frac {G^{4}}{c^{5}}}\,{\frac {(m_{1}m_{2})^{2}(m_{1}+m_{2})}{r^{5}}}}$
Распад орбитального радиуса		${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {64}{5}}{\frac {G^{3}}{c^{5}}}{\frac {(m_{1}m_{2})(m_{1}+m_{2})}{r^{3}}}\ }$
Время жизни на орбите	р0 = начальное расстояние между орбитальными телами	${\displaystyle t={\frac {5}{256}}{\frac {c^{5}}{G^{3}}}{\frac {r_{0}^{4}}{(m_{1}m_{2})(m_{1}+m_{2})}}\ }$

Суперпозиция, интерференция и дифракция

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Принцип суперпозиции	N = количество волн	${\displaystyle y_{\mathrm {net} }=\sum _{i=1}^{N}y_{i}\,\!}$
Резонанс	ωd = угловая частота движения (внешний агент) ωнац = собственная угловая частота (осциллятор)	${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{\mathrm {nat} }\,\!}$
Фаза и интерференция	Δр = разница в длине пути φ = разность фаз между любыми двумя последовательными волновыми циклами	${\displaystyle {\frac {\Delta r}{\lambda }}={\frac {\Delta t}{T}}={\frac {\phi }{2\pi }}\,\!}$ Конструктивное вмешательство ${\displaystyle n={\frac {\lambda }{\Delta x}}\,\!}$ Разрушительное вмешательство${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}={\frac {\lambda }{\Delta x}}\,\!}$

Распространение волн

Распространенное заблуждение возникает между фазовой скоростью и групповой скоростью (аналогично центрам масс и тяжести). В недисперсных средах они совпадают. В диспергирующих средах фазовая скорость не обязательно совпадает с групповой скоростью. Фазовая скорость зависит от частоты.

В фаза скорость - это скорость, с которой фаза волны распространяется в пространстве.

В группа Скорость - это скорость, с которой распространяется волновая огибающая, то есть изменения амплитуды. Огибающая волны - это профиль амплитуд волн; все поперечные смещения ограничены профилем оболочки.

Интуитивно огибающая волны - это «глобальный профиль» волны, который «содержит« изменяющиеся »локальные профили внутри глобального профиля». Каждый из них распространяется с различной скоростью, определяемой важной функцией, называемой Отношение дисперсии. Использование явной формы ω(k) стандартна, так как фазовая скорость ω/k а групповая скорость dω/ дk обычно имеют удобные представления этой функцией.

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Идеализированные недисперсионные среды	п = (любой тип) напряжения или давления, ρ = Объемно-массовая плотность, F = Сила натяжения, μ = Линейная массовая плотность среды	${\displaystyle v={\sqrt {\frac {p}{\rho }}}={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}\,\!}$
Отношение дисперсии		Неявная форма ${\displaystyle D\left(\omega ,k\right)=0}$ Явная форма${\displaystyle \omega =\omega \left(k\right)}$
Амплитудная модуляция, ЯВЛЯЮСЬ		${\displaystyle A=A\left(t\right)}$
Модуляция частоты, FM		${\displaystyle f=f\left(t\right)}$

Общие волновые функции

Волновые уравнения

Физическая ситуация	Номенклатура	Волновое уравнение	Общее решение / с
Недисперсионный Волновое уравнение в 3D	А = амплитуда как функция положения и времени	${\displaystyle \nabla ^{2}A={\frac {1}{v_{\parallel }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle A\left(\mathbf {r} ,t\right)=A\left(x-v_{\parallel }t\right)\,\!}$
Форма волны с экспоненциальным затуханием	А0 = Начальная амплитуда во время т = 0 б = параметр демпфирования		${\displaystyle A=A_{0}e^{-bt}\sin \left(kx-\omega t+\phi \right)\,\!}$
Уравнение Кортевега – де Фриза[2]	α = константа	${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t}}+\alpha y{\frac {\partial y}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}y}{\partial x^{3}}}=0\,\!}$	${\displaystyle A(x,t)={\frac {3v_{\parallel }}{\alpha }}\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {\sqrt {v_{\parallel }}}{2}}\left(x-v_{\parallel }t\right)\right]\,\!}$

Синусоидальные решения трехмерного волнового уравнения

N различных синусоидальных волн

Комплексная амплитуда волны п
${\displaystyle A_{n}=\left|A_{n}\right|e^{i\left(\mathbf {k} _{\mathrm {n} }\cdot \mathbf {r} -\omega _{n}t+\phi _{n}\right)}\,\!}$

Результирующая комплексная амплитуда всех N волны
${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{N}A_{n}\,\!}$

Модуль амплитуды
${\displaystyle A={\sqrt {AA^{*}}}={\sqrt {\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}\left|A_{n}\right|\left|A_{m}\right|\cos \left[\left(\mathbf {k} _{n}-\mathbf {k} _{m}\right)\cdot \mathbf {r} +\left(\omega _{n}-\omega _{m}\right)t+\left(\phi _{n}-\phi _{m}\right)\right]}}\,\!}$

Поперечные смещения - это просто действительные части комплексных амплитуд.

Одномерные следствия для двух синусоидальных волн

Следующее может быть получено путем применения принципа суперпозиции к двум синусоидальным волнам с использованием тригонометрических тождеств. В сложение углов и сумма к произведению полезны тригонометрические формулы; в более сложных работах используются комплексные числа, ряды и преобразования Фурье.

Волновая функция	Номенклатура	Суперпозиция	Результирующий
Стоячая волна		${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=A\sin \left(kx-\omega t\right)\\&+A\sin \left(kx+\omega t\right)\end{aligned}}\,\!}$	${\displaystyle y=2A\sin \left(kx\right)\cos \left(\omega t\right)\,\!}$
Удары	${\displaystyle \langle \omega \rangle ={\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\,\!}$ ${\displaystyle \langle k\rangle ={\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}\,\!}$ ${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{1}-\omega _{2}\,\!}$ ${\displaystyle \Delta k=k_{1}-k_{2}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=A\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)\\&+A\sin \left(k_{2}x+\omega _{2}t\right)\end{aligned}}\,\!}$	${\displaystyle y=2A\sin \left(\langle k\rangle x-\langle \omega \rangle t\right)\cos \left({\frac {\Delta k}{2}}x-{\frac {\Delta \omega }{2}}t\right)\,\!}$
Когерентная интерференция		${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=2A\sin \left(kx-\omega t\right)\\&+A\sin \left(kx+\omega t+\phi \right)\end{aligned}}\,\!}$	${\displaystyle y=2A\cos \left({\frac {\phi }{2}}\right)\sin \left(kx-\omega t+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}$

Смотрите также

• Определяющее уравнение (физическая химия)
• Список уравнений классической механики
• Список уравнений механики жидкости
• Список уравнений гравитации
• Список уравнений в ядерной физике и физике элементарных частиц
• Список уравнений квантовой механики
• Список уравнений фотоники
• Список релятивистских уравнений
• Единицы электромагнетизма СИ

Сноски

1. «Гравитационное излучение» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-04-02. Получено 2012-09-15.
2. Энциклопедия физики (2-е издание), R.G. Лернер, Г.Л. Тригг, издательство VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3

Источники

• ВЕЧЕРА. Уилан; М.Дж. Ходжесон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN  0-7195-3382-1.
• Дж. Воан (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57507-2.
• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаум. Мак Гроу Хилл. ISBN  978-0-07-025734-4.
• R.G. Лернер; Г.Л. Тригг (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Ханс Варлимонт, Springer. С. 12–13. ISBN  978-0-07-025734-4.
• К. Б. Паркер (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  0-07-051400-3.
• П.А. Типлер; Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). W.H. Фриман и Ко. ISBN  978-1-4292-0265-7.
• Л.Н. Рука; Дж. Д. Финч (2008). Аналитическая механика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57572-0.
• Т. Аркилл; Си Джей Миллар (1974). Механика, колебания и волны. Джон Мюррей. ISBN  0-7195-2882-8.
• Х. Дж. Пейн (1983). Физика колебаний и волн (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-90182-2.
• Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность. Вайли. ISBN  978-0-470-01460-8.
• G.A.G. Беннет (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд (Великобритания). ISBN  0-7131-2459-8.
• ЯВЛЯЕТСЯ. Грант; W.R. Phillips; Манчестерская физика (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-92712-9.
• Д.Дж. Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN  978-81-7758-293-2.

дальнейшее чтение

• Л. Х. Гринберг (1978). Физика с современными приложениями. Holt-Saunders International W.B. Сондерс и Ко. ISBN  0-7216-4247-0.
• J.B. Marion; W.F. Горняк (1984). Принципы физики. Международный колледж Сондерса Холт-Сондерс. ISBN  4-8337-0195-2.
• А. Бейзер (1987). Концепции современной физики (4-е изд.). Макгроу-Хилл (международный). ISBN  0-07-100144-1.
• H.D. Молодой; Р.А. Фридман (2008). Университетская физика - с современной физикой (12-е изд.). Эддисон-Уэсли (Pearson International). ISBN  978-0-321-50130-1.