Основная теорема теории исключения - Main theorem of elimination theory

В алгебраическая геометрия, то основная теорема теории исключения заявляет, что каждый проективная схема является правильный. Версия этой теоремы предшествует существованию теория схем. Его можно сформулировать, доказать и применить в следующей более классической ситуации. Позволять k быть поле, обозначим через ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ то п-размерный проективное пространство над k. Основная теорема теории исключения - это утверждение, что для любого п и любой алгебраическое многообразие V определяется по k, карта проекции ${\displaystyle V\times \mathbb {P} _{k}^{n}\to V}$ отправляет Зарисский-закрыто подмножества замкнутых по Зарискому подмножеств.

Основная теорема теории исключения является следствием и обобщением Маколея теория многомерный результат. Результат п однородные многочлены в п переменные - это значение полиномиальной функции коэффициентов, которая принимает значение ноль тогда и только тогда, когда полиномы имеют общий нетривиальный ноль над некоторым полем, содержащим коэффициенты.

Это принадлежит теория исключения, так как вычисление результата составляет исключить переменные между полиномиальными уравнениями. Фактически, учитывая система полиномиальных уравнений, однородный по некоторым переменным, результирующая устраняет эти однородные переменные путем предоставления уравнения в других переменных, которое имеет в качестве решений значения этих других переменных в решениях исходной системы.

Простой мотивирующий пример

В аффинная плоскость над полем k это прямой продукт ${\displaystyle A_{2}=L_{x}\times L_{y}}$ двух экземпляров k. Позволять

${\displaystyle \pi \colon L_{x}\times L_{y}\to L_{x}}$

быть проекцией

${\displaystyle (x,y)\mapsto \pi (x,y)=x.}$

Эта проекция не закрыто для Топология Зарисского (ни для обычной топологии, если ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ или же ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$), потому что изображение ${\displaystyle \pi }$ из гипербола ЧАС уравнения ${\displaystyle xy-1=0}$ является ${\displaystyle L_{x}\setminus \{0\},}$ который не закрыт, хотя ЧАС закрыто, будучи алгебраическое многообразие.

Если продлить ${\displaystyle L_{y}}$ к проективной линии ${\displaystyle P_{y},}$ уравнение проективное завершение гиперболы становится

${\displaystyle xy_{1}-y_{0}=0,}$

и содержит

${\displaystyle {\overline {\pi }}(0,(1,0))=0,}$

куда ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ является продолжением ${\displaystyle \pi }$ к ${\displaystyle L_{x}\times P_{y}.}$

Обычно это выражают, говоря, что начало аффинной плоскости - это проекция точки гиперболы, находящейся на бесконечности, в направлении у-ось.

В более общем плане изображение ${\displaystyle \pi }$ каждого алгебраического множества в ${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$ - либо конечное число точек, либо ${\displaystyle L_{x}}$ с удалением конечного числа точек, а изображение ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ любого алгебраического множества в ${\displaystyle L_{x}\times P_{y}}$ конечное число точек или вся линия ${\displaystyle L_{y}.}$ Отсюда следует, что изображение ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ любого алгебраического множества является алгебраическим множеством, то есть ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ является замкнутым отображением для топологии Зарисского.

Основная теорема теории исключения - широкое обобщение этого свойства.

Классическая формулировка

Для формулировки теоремы в терминах коммутативная алгебра, необходимо учитывать кольцо многочленов ${\displaystyle R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ над коммутативным Кольцо Нётериана р, а однородный идеал я создано однородные многочлены ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}.}$ (В первоначальном доказательстве Маколей, k был равен п, и р было полиномиальным кольцом над целыми числами, неопределенными значениями которого были все коэффициенты${\displaystyle f_{i}\mathrm {s} .}$)

Любой кольцевой гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ из р в поле K, определяет гомоморфизм колец ${\displaystyle R[\mathbf {x} ]\to K[\mathbf {x} ]}$ (также обозначается ${\displaystyle \varphi }$), применяя ${\displaystyle \varphi }$ к коэффициентам многочленов.

Теорема: есть идеал ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ в р, однозначно определяется я, такое, что для любого гомоморфизма колец ${\displaystyle \varphi }$ из р в поле K, однородные многочлены ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ имеют нетривиальный общий нуль (в алгебраическом замыкании K) если и только если ${\displaystyle \varphi ({\mathfrak {r}})=\{0\}.}$

Более того, ${\displaystyle {\mathfrak {r}}=0}$ если k < п, и ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ является главный если k = п. В этом последнем случае генератор ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ называется результирующий из ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}.}$

Подсказки для доказательства и связанных результатов

Используя указанные выше обозначения, сначала нужно охарактеризовать условие, что ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ не имеют нетривиального общего нуля. Это так, если максимальный однородный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$ является единственным однородным первичным идеалом, содержащим ${\displaystyle \varphi (I)=\langle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})\rangle .}$ Nullstellensatz Гильберта утверждает, что это так тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varphi (I)}$ содержит мощность каждого ${\displaystyle x_{i},}$ или, что то же самое, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)}$ для некоторого положительного целого числа d.

Для этого исследования Маколей представил матрицу, которая теперь называется Матрица Маколея в степени d. Его строки индексируются мономы степени d в ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ а его столбцы - это векторы коэффициентов на мономиальный базис многочленов вида ${\displaystyle m\varphi (f_{i}),}$ куда м является мономом степени ${\displaystyle d-\deg(f_{i}).}$ Надо ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)}$ тогда и только тогда, когда ранг матрицы Маколея равен количеству ее строк.

Если k < п, ранг матрицы Маколея меньше количества ее строк для каждого d, и поэтому, ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ всегда имеют нетривиальный общий ноль.

В противном случае пусть ${\displaystyle d_{i}}$ быть степенью ${\displaystyle f_{i},}$ и предположим, что индексы выбраны так, чтобы ${\displaystyle d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{k}\geq d_{1}.}$ Степень

${\displaystyle D=d_{1}+d_{2}+\cdots +d_{n}-n+1=1+\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-1)}$

называется Степень Маколея или же Связь Маколея потому что Macaulay's доказал, что ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ имеют нетривиальный общий нуль тогда и только тогда, когда ранг матрицы Маколея в степени D меньше числа его строк. Другими словами, вышеуказанное d может быть выбран раз и навсегда равным D.

Следовательно, идеальный ${\displaystyle {\mathfrak {r}},}$ существование которого утверждается основной теоремой теории исключения, является нулевым идеалом, если k < п, а в противном случае порождается максимальными минорами матрицы Маколея в степени D.

Если k = п, Маколей также доказал, что ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ это главный идеал (хотя матрица Маколея в градусах D не является квадратной матрицей, когда k > 2), который порождается результирующий из ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{n}).}$ Этот идеал также в целом а главный идеал, поскольку оно простое, если р кольцо целочисленные многочлены со всеми коэффициентами ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ как неопределенные.

Геометрическая интерпретация

В предыдущей формулировке кольцо многочленов ${\displaystyle R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ определяет морфизм схемы (которые являются алгебраическими многообразиями, если р конечно порождена над полем)

${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n-1}=\operatorname {Proj} (R[\mathbf {x} ])\to \operatorname {Spec} (R).}$

Теорема утверждает, что образ замкнутого по Зарискому множества V(я) определяется я это замкнутое множество V(р). Таким образом, морфизм закрыт.

Смотрите также

• Устранение кванторов
• Результат Маколея
• Основа Грёбнера

Рекомендации

• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга сортов и схем. Springer. ISBN  9783540632931.
• Эйзенбуд, Дэвид (2013). Коммутативная алгебра: взгляд на алгебраическую геометрию. Springer. ISBN  9781461253501.
• Милн, Джеймс С. (2014). «Работа Джона Тейта». Премия Абеля 2008–2012 гг.. Springer. ISBN  9783642394492.