Обезразмерность и масштабирование уравнений Навье – Стокса - Non-dimensionalization and scaling of the Navier–Stokes equations

Основные статьи: Уравнение Навье – Стокса, Безразмерность, и Масштабная инвариантность

В механика жидкости, обезразмеривание уравнений Навье – Стокса это преобразование Уравнение Навье – Стокса к безразмерная форма. Этот метод может облегчить анализ проблемы и уменьшить количество бесплатные параметры. Малые или большие размеры некоторых безразмерных параметров указывают на важность определенных членов в уравнениях для исследуемого потока. Это может дать возможность пренебречь условиями в определенных (областях) рассматриваемого потока. Кроме того, безразмерные уравнения Навье – Стокса могут быть полезными, если они поставлены с аналогичными физическими ситуациями - это проблемы, в которых единственными изменениями являются изменения основных размеры системы.

Масштабирование уравнения Навье – Стокса относится к процессу выбора подходящего пространственные масштабы - для определенного типа потока - для использования при обезразмеривании уравнения. Поскольку результирующие уравнения должны быть безразмерными, необходимо найти подходящую комбинацию параметров и констант уравнений и характеристик потока (области). В результате такой комбинации количество анализируемых параметров уменьшается, и результаты могут быть получены. в терминах масштабированных переменных.

Потребность в безразмерности и масштабировании

Помимо уменьшения количества параметров, безразмерное уравнение помогает лучше понять относительный размер различных членов, присутствующих в уравнении.^[1][2]После соответствующего выбора масштабов для процесса безразмерности это приводит к идентификации малых членов в уравнении. Пренебрежение меньшими членами по сравнению с большими позволяет упростить ситуацию. Для случая потока без теплопередача, безразмерное уравнение Навье – Стокса зависит только от Число Рейнольдса и, следовательно, все физические реализации соответствующего эксперимента будут иметь одинаковое значение безразмерных переменных для одного и того же числа Рейнольдса.^[3]

Масштабирование помогает лучше понять физическую ситуацию с изменением размеров параметров, входящих в уравнение. Это позволяет проводить эксперименты на прототипах меньшего масштаба при условии, что любые физические эффекты, которые не включены в безразмерное уравнение, не важны.

Безразмерное уравнение Навье – Стокса.

Уравнение импульса для несжимаемой жидкости Навье – Стокса записывается как:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {g} .}$ ^[4][5]

где ρ - плотность, п это давление, ν - кинематическая вязкость, ты это скорость потока, и грамм - поле ускорения тела.

Вышеупомянутое уравнение может быть обезразмерено путем выбора соответствующих масштабов следующим образом:

Шкала	безразмерная переменная
Длина L	${\displaystyle \mathbf {r} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {r} }{L}}}$ и ${\displaystyle \nabla ^{*}\ =L\nabla }$
Скорость потока U	${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {u} }{U}}\,}$
Время L/U	${\displaystyle t^{*}\ ={\frac {t}{L/U}}\,}$
Давление: по шкале давления нет естественного отбора.	Там, где преобладают динамические эффекты, например, высокоскоростные потоки ${\displaystyle p^{*}={\frac {p}{\rho U^{2}}}}$ Где преобладают вязкие эффекты, например, ползущие потоки ${\displaystyle p^{*}={\frac {pL}{\mu U}}}$

Подставляя масштабы, получаем безразмерное уравнение:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}+{\frac {1}{Re}}\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} +{\frac {1}{Fr^{2}}}{\hat {g}}.}$[4]

(1)

куда Пт это Число Фруда и Re это Число Рейнольдса.

Течения с большой вязкостью

Для потоков, где вязкие силы являются доминирующими, т.е. медленные потоки с большой вязкостью, вязкая шкала давления μU/L используется. В отсутствие свободной поверхности полученное уравнение имеет вид

${\displaystyle Re\left({\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \right)\ =-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .}$

(2)

Режим Стокса

Смотрите также: Стокса поток

Масштабирование уравнения (1) может быть выполнено в потоке, в котором член инерции меньше вязкого члена, т.е. когда Re → 0, тогда членами инерции можно пренебречь, оставляя уравнение медленное движение.

${\displaystyle Re{\frac {\mathrm {D} \mathbf {u^{*}} }{\mathrm {D} t^{*}}}=-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .}$

Такие потоки имеют тенденцию к влиянию вязкого взаимодействия на больших расстояниях от объекта.^{[нужна цитата ]} При малых числах Рейнольдса это же уравнение сводится к уравнение диффузии, названный Уравнение Стокса

${\displaystyle -\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} =\mathbf {0} .}$

Режим Эйлера

Аналогично, если Re → ∞, т.е. когда преобладают силы инерции, вязким вкладом можно пренебречь. Безразмерный Уравнение Эйлера для невязкий поток является

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}.}$^[6]

Когда плотность меняется из-за концентрации и температуры

Изменение плотности из-за концентрации и температуры является важной областью исследований в двойная диффузионная конвекция. Если принять во внимание изменение плотности из-за температуры и солености, то к Z-компоненту импульса добавляются еще несколько членов:^[7][8]

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}+U{\frac {\partial W}{\partial X}}+W{\frac {\partial W}{\partial Z}}\ =-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z}}+v\left({\frac {\partial ^{2}W}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial Z^{2}}}\right)\ -g\left(\beta _{s}\nabla {S}-\beta _{T}\nabla {T}\right)}$

Где S - соленость жидкости, β_Т - коэффициент теплового расширения при постоянном давлении, а β_S - коэффициент расширения солевого раствора при постоянном давлении и температуре.

Определение размеров с помощью шкалы:

${\displaystyle S^{*}={\frac {S-S_{B}}{S_{T}-S_{B}}}}$ и ${\displaystyle T^{*}={\frac {T-T_{B}}{T_{T}-T_{B}}}}$

мы получили

${\displaystyle {\frac {\partial W^{*}}{\partial t^{*}}}+U^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial X^{*}}}+W^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial Z^{*}}}\ =-{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z^{*}}}+Pr\left({\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial X^{*2}}}+{\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial Z^{*2}}}\right)\ -{Ra_{s}Pr_{s}S}+{Ra_{T}Pr_{T}T}}$

куда S_Т, Т_Т обозначают соленость и температуру в верхнем слое, S_B, Т_B обозначают соленость и температуру в нижнем слое, Ra - Число Рэлея, а Pr - Число Прандтля. Знак Ра_S и Ра_Т будет меняться в зависимости от того, стабилизирует он или дестабилизирует систему.

Рекомендации

Сноски

1. Верстех Х.К., Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечных объемов, 2007, Prentice Hall, 9780131274983
2. Патанкар Сухас В., Численный перенос тепла и поток жидкости, 1980, Тейлор и Фрэнсис, 9780891165224
3. Сальви Родольфо, Теория уравнений Навье-Стокса и численные методы, 2002, М. Деккер, 9780824706722
4. Фокс, Роберт В .; Алан Т. Макдональд; Филип Дж. Притчард (2006). Введение в механику жидкости (6-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п.213 –215. ISBN  9780471735588.
5. Триттон, Д.Дж. (1988). Физическая гидродинамика (2-е изд.). Оксфорд [Англия]: Clarendon Press. С. 55–58. ISBN  0198544898.
6. Белый, Фрэнк М. (2003). Гидравлическая механика (5-е изд.). Бостон: Макгроу-Хилл. стр.188 –189. ISBN  9780072402179.
7. О взаимосвязи между шириной пальца, скоростью и потоками в термохалинной конвекции, 2009, K. R. Sreenivas, O. P. Singh & J. Srinivasan, Phys. Жидкости (Американский институт физики) 21 (2), стр. 026601.
8. Аппроксимация гидростатической системы Навье-Стокса для плотностно-стратифицированных течений многослойной моделью. Кинетическая интерпретация и численное подтверждение, Э. Аудусс a, b, М.-О. Бристо, М. Пеланти, Ж. Сент-Мари, Парижский университет 13, Институт Галиле, 99 авеню Жан-Батист Клеман, 93430 Виллетанёз, Франция. b INRIA Rocquencourt, B.P. 105, 78153 Le Chesnay Cedex, Франция. c Лаборатория Сен-Венана, 6 quai Watier, 78400 Шату, Франция.

Другой

• "Безразмерность Навье – Стокса". CFD онлайн. Получено 11 октября 2012.
• T.Cebeci J.RShao, F. Кафеке Э. Лаурендо, Вычислительная гидродинамика для инженеров, Springer, 2005 г.
• К. Позрикидис, Теория гидродинамики, вычисления и численное моделирование, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, 2001

дальнейшее чтение

• Деринг, К.; Гиббон, Дж. Д. (1995). Прикладной анализ уравнений Навье – Стокса.. Кембриджские тексты по прикладной математике. 12. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521445689.
• Триттон, Д.Дж. (1988). «Глава 7 - Динамическое подобие». Физическая гидродинамика (2-е изд.). Оксфорд [Англия]: Clarendon Press. ISBN  0198544898.
• Mattheij, R.M.M .; Rienstra, S.W .; ten Thije Boonkkamp, ​​J.H.M. (2005). «§7.4 - Масштабирование и редукция уравнений Навье – Стокса». Уравнения в частных производных: моделирование, анализ, вычисление. СИАМ. С. 148–155. ISBN  9780898715941.
• Грабель, Уильям (2007). «§6.2 - Уравнения пограничного слоя». Продвинутая механика жидкости. Академическая пресса. стр.171 –174. ISBN  9780123708854.
• Лил, Л. Гэри (2007). Расширенные явления переноса: механика жидкости и процессы конвективного переноса. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521849104.
  Эта книга содержит несколько примеров различных безразмерных и скейлинговых уравнений Навье – Стокса.
• Кранц, Уильям Б. (2007). Масштабный анализ в моделировании процессов переноса и реакции: систематический подход к построению моделей и искусство приближения. Джон Вили и сыновья. ISBN  9780471772613.
• Зейтунян, Радядур Х. (2002). Асимптотическое моделирование явлений течения жидкости.. Механика жидкости и ее приложения. 64. Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-1-4020-0432-2.