Шихаллион эксперимент - Schiehallion experiment

Координаты: 56 ° 40′4 ″ с.ш. 4 ° 5′52 ″ з.д. / 56,66778 ° с. Ш. 4,09778 ° з. / 56.66778; -4.09778

В Шихаллион эксперимент был 18 век эксперимент определить иметь в виду плотность Земли. Финансируется за счет гранта Королевское общество, он проводился летом 1774 г. вокруг шотландского гора из Schiehallion, Пертшир. Эксперимент включал измерение крошечных отклонение по вертикали из-за гравитационное притяжение соседней горы. Шихаллион считался идеальным местом после поиска гор-кандидатов из-за его изолированности и почти симметричной формы.

Изолированное положение и симметричная форма Шихаллиона хорошо подошли для эксперимента.

Эксперимент ранее рассматривался, но отклонен Исаак Ньютон как практическая демонстрация его теория гравитации; однако команда ученых, в частности Невил Маскелайн, то Королевский астроном, был убежден, что эффект будет заметен, и взялся провести эксперимент. Угол отклонения зависел от относительной плотности и объемов Земли и горы: если можно было определить плотность и объем Шихаллиона, то можно было бы определить и плотность Земли. Как только это станет известно, оно, в свою очередь, даст приблизительные значения для других планет, их луны, а солнце, ранее известные только в терминах их относительных соотношений.

Фон

А маятник свисает прямо вниз симметрично гравитационное поле. Однако, если поблизости находится достаточно большая масса, например гора, ее гравитационное притяжение должно тянуть маятник. отвес слегка неправда (в том смысле, что он не указывает на центр масс Земли). Изменение угла отвеса относительно известного объекта - например, звезды - можно было бы тщательно измерить на противоположных сторонах горы. Если бы масса горы могла быть установлена независимо от определения ее объем и оценка среднего плотность ее пород, то эти значения можно экстраполировать, чтобы получить среднюю плотность Земли, и, в более широком смысле, его масса.

Исаак Ньютон рассмотрел эффект в Principia,^[1] но пессимистически полагал, что любая настоящая гора произведет слишком малое отклонение, чтобы его измерить.^[2] Он писал, что гравитационные эффекты можно различить только в планетарном масштабе.^[2] Пессимизм Ньютона был необоснованным: хотя его расчеты предполагали отклонение менее 2угловые минуты (для идеализированной горы высотой 3 мили [5 км]) этот угол, хотя и очень небольшой, находился в пределах теоретических возможностей инструментов его времени.^[3]

Эксперимент по проверке идеи Ньютона предоставит подтверждающие доказательства его закон всемирного тяготения, а также оценки массы и плотности Земли. Поскольку массы астрономических объектов были известны только в терминах относительных соотношений, масса Земли могла бы дать разумные значения другим. планеты, их луны, а солнце. Данные также позволили определить стоимость Гравитационная постоянная Ньютона $г$ , хотя это не было целью экспериментаторов; ссылки на значение для $г$ не появится в научной литературе почти сто лет спустя.^[4]

В поисках горы

Чимборасо, предмет французского эксперимента 1738 г.

Чимборасо, 1738 г.

Пара французских астрономов, Пьер Бугер и Шарль Мари де ла Кондамин, были первыми, кто попытался провести эксперимент, проводя свои измерения на вулкане высотой 6268 метров (20564 фута). Чимборасо в Наместничество Перу в 1738 г.^[5] В 1735 году их экспедиция отправилась из Франции в Южную Америку, чтобы попытаться измерить дуга меридиана длина одного градуса широты около экватор, но они воспользовались возможностью попытаться провести эксперимент с отклонением. В декабре 1738 г. в очень сложных условиях местности и климата они провели пару измерений на высотах 4680 и 4340 м.^[6] Бугер писал в статье 1749 года, что им удалось обнаружить отклонение на 8секунды дуги, но он преуменьшил значение их результатов, предположив, что эксперимент лучше провести в более легких условиях во Франции или Англии.^[3]^[6] Он добавил, что эксперимент по крайней мере доказал, что Земля не может быть полая оболочка, как некоторые мыслители того времени, в том числе Эдмонд Галлей, предложил.^[5]

Шихаллион, 1774 г.

Симметричный хребет Шихаллиона, вид через Лох-Раннох

Экспертам было предложено предпринять еще одну попытку эксперимента. Королевское общество в 1772 г. Невил Маскелайн, Королевский астроном.^[7] Он предположил, что эксперимент «сделает честь нации, где он был проведен».^[3] и предложил Whernside в Йоркшир, или Blencathra -Скиддо массив в Камберленд как подходящие цели. Королевское общество сформировало Комитет по привлечению внимания для рассмотрения этого вопроса, назначив Маскелина, Джозеф Бэнкс и Бенджамин Франклин среди его членов.^[8] Комитет направил астронома и геодезиста. Чарльз Мейсон найти подходящую гору.^[1]

После долгих поисков летом 1773 года Мейсон сообщил, что лучшим кандидатом был Schiehallion (затем пишется Schehallien), пик 1083 м (3553 фута), расположенный между Лох Тай и Лох-Раннох в центре Шотландское нагорье.^[8] Гора стояла изолированно от любых близлежащих холмов, что уменьшало бы их гравитационное влияние, а ее симметричный восточно-западный гребень упростил вычисления. Его крутые северный и южный склоны позволят разместить эксперимент рядом с его центр масс, максимизируя эффект отклонения. По совпадению, вершина лежит почти точно в широтном и долготном центре Шотландии.^[9]

Мейсон отказался выполнять работу самостоятельно за предложенную комиссию в размере одного Гвинея в день.^[8] Таким образом, задача выпала на долю Маскелайна, для чего ему был предоставлен временный отпуск от его обязанностей в качестве королевского астронома. В этом ему помогали математик и геодезист. Чарльз Хаттон, и Рубен Берроу кто был математиком Королевская Гринвичская обсерватория. Была нанята рабочая сила для строительства обсерваторий для астрономов и оказания помощи в геодезии. Научная группа была особенно хорошо оснащена: ее астрономические инструменты включали латунный 12-дюймовый (30 см) квадрант из Транзит Кука 1769 года экспедиции Венеры, 10 футов (3,0 м) зенитный сектор, и регулятор (точность маятниковые часы ) для хронометража астрономических наблюдений.^[10] Они также приобрели теодолит и Цепь Гюнтера для съемки горы, и пара барометры для измерения высоты.^[10] Было доступно щедрое финансирование эксперимента из-за недостаточного финансирования транзит Венеры экспедиции, переданной Обществу Королем Георг III Соединенного Королевства.^[1]^[3]

Измерения

Астрономический

Прогиб - это разница между истинным зенит

Z

как определено астрометрия, и очевидный зенит

Z '

как определено отвес

Обсерватории были построены к северу и югу от горы, а также оба для размещения оборудования и ученых.^[6] Руины этих построек остались на склоне горы. Большая часть рабочей силы была размещена в грубых брезентовых палатках. Первыми были проведены астрономические измерения Маскелайна. Ему необходимо было определить зенитные расстояния с уважением к отвес для набора звезд в точное время, когда каждая из них прошла строго на юг (астрономическая широта ).^[3]^[11]^[12] Погодные условия часто были неблагоприятными из-за тумана и дождя. Однако из южной обсерватории он смог провести 76 измерений 34 звезд в одном направлении, а затем 93 наблюдения 39 звезд в другом. Затем с северной стороны он провел серию из 68 наблюдений 32 звезд и серию из 100 наблюдений за 37 звездами.^[6] Проведя серию измерений с плоскостью зенитного сектора сначала на восток, а затем на запад, он успешно избежал любых систематических ошибок, связанных с коллимирующий сектор.^[1]

Чтобы определить прогиб из-за горы, необходимо было учесть кривизна Земли: наблюдатель, двигающийся на север или юг, увидит местный зенит сдвиг на тот же угол, что и любое изменение геодезическая широта. После учета наблюдательных эффектов, таких как прецессия, аберрация света и нутация, Маскелайн показал, что разница между зенитом, определенным локально для наблюдателей к северу и югу от Шихаллиона, составила 54,6 угловых секунды.^[6] После того, как исследовательская группа обнаружила разницу в 42,94 дюйма по широте между двумя станциями, он смог вычесть ее и после округления до точности своих наблюдений объявить, что сумма отклонений на север и юг составила 11,6 дюйма.^[3]^[6]^[13]

Маскелайн опубликовал свои первые результаты в Философские труды Королевского общества в 1775 г.,^[13] используя предварительные данные о форме горы и, следовательно, о положении ее центр гравитации. Это заставило его ожидать отклонения в 20,9 дюйма, если средние плотности Шихаллиона и Земли были равны.^[3]^[14] Поскольку отклонение было примерно вдвое меньше, он смог сделать предварительное заявление о том, что средняя плотность Земли примерно вдвое больше, чем у Шихаллиона. Для получения более точного значения необходимо дождаться завершения процесса съемки.^[13]

Маскелайн воспользовался случаем, чтобы заметить, что Шихаллион проявляет гравитационное притяжение, и, таким образом, все горы имело; и что закон обратных квадратов Ньютона был подтвержден.^[13]^[15] Благодарное Королевское общество подарило Маскелайну пистолет 1775 года. Медаль Копли; биограф Чалмерс позже отмечая, что «если какие-либо сомнения относительно истинности ньютоновской системы еще оставались, то теперь они полностью устранены».^[16]

Геодезия

Работа геодезической группы была сильно затруднена из-за ненастной погоды, и для выполнения задачи потребовалось до 1776 года.^[14]^[а] Чтобы найти объем горы, необходимо было разделить ее на множество вертикальных призмы и вычислим объем каждого. В триангуляция задача, выпавшая на долю Чарльза Хаттона, была значительной: геодезисты получили тысячи опорные углы до более чем тысячи точек вокруг горы.^[17] Кроме того, вершины его призм не всегда удобно совпадали с наблюдаемыми высотами. Чтобы разобраться во всех своих данных, он придумал интерполирующий ряд линий с заданными интервалами между его измеренными значениями, отмечая точки одинаковой высоты. При этом он не только мог легко определить высоту своих призм, но и по завихрению линий мог мгновенно составить представление о форме местности. Таким образом, Хаттон использовал контурные линии, который стал широко использоваться с тех пор, как с изображением картографического рельефа.^[6]^[17]

Таблица плотности солнечной системы Хаттона
Тело	Плотность, кг · м⁻³
Тело	Хаттон, 1778 г.^[18]^[b]	Современная ценность^[19]
солнце	1,100	1,408
Меркурий	9,200	5,427
Венера	5,800	5,204
земной шар	4,500	5,515
Луна	3,100	3,340
Марс	3,300	3,934
Юпитер	1,100	1,326
Сатурн	410	687

Хаттону пришлось вычислить индивидуальные притяжения каждой из множества призм, образующих его сетку, процесс, который был столь же трудоемким, как и сама съемка. Задача заняла его время еще два года, прежде чем он смог представить свои результаты, что он и сделал в стостраничном документе Королевскому обществу в 1778 году.^[18] Он обнаружил, что притяжение отвеса к Земле было бы в 9933 раза больше, чем сумма притяжения отвеса к горе на северной и южной станциях, если бы плотность Земли и Шихаллиона была одинаковой.^[17] Поскольку фактический прогиб в 11,6 дюйма подразумевает соотношение 17 804: 1 с учетом влияние широты на гравитацию, он смог заявить, что Земля имела среднюю плотность ${ displaystyle { tfrac {17,804} {9,933}}}$ , или около ${ displaystyle { tfrac {9} {5}}}$ что горы.^[14]^[17]^[18] Поэтому длительный процесс исследования горы не сильно повлиял на результаты расчетов Маскелайна. Хаттон взял плотность 2,500 кг · м⁻³ для Шихаллиона и объявил, что плотность Земли ${ displaystyle { tfrac {9} {5}}}$ этого, или 4,500 кг · м⁻³.^[17] По сравнению с современной принятой цифрой 5 515 кг · м⁻³,^[19] плотность Земли была вычислена с погрешностью менее 20%.

То, что средняя плотность Земли должна так сильно превышать плотность ее поверхностных пород, естественно, означало, что глубже должен быть более плотный материал. Хаттон правильно предположил, что материал ядра, вероятно, был металлическим и мог иметь плотность 10 000 кг · м⁻³.^[17] По его оценкам, эта металлическая часть занимает около 65% диаметра Земли.^[18] Имея значение средней плотности Земли, Хаттон смог установить некоторые значения для Жером Лаланд планетные таблицы России, которые ранее могли выражать плотности основных объектов Солнечной системы только в относительных единицах.^[18]

Повторить эксперименты

Более точное измерение средней плотности Земли было сделано через 24 года после Шихаллиона, когда в 1798 г. Генри Кавендиш использовал исключительно чувствительный торсионный баланс для измерения притяжения между большими массами вести. Фигура Кавендиша 5,448 ± 33 кг · м⁻³ всего 1,2% от принятого в настоящее время значения 5 515 кг · м⁻³, и его результат не был значительно улучшен до 1895 г. Чарльз Бойз.^[c] Тщательность, с которой Кавендиш проводил эксперимент, и точность полученных результатов привели к тому, что с тех пор его имя ассоциируется с ним.^[20]

Джон Плейфэр провел вторую съемку Шихаллиона в 1811 г .; на основе переосмысления пластов горных пород он предложил плотность от 4560 до 4 870 кг · м⁻³,^[21] хотя тогдашний престарелый Хаттон решительно защищал первоначальную ценность в статье 1821 года для Общества.^[3]^[22] По расчетам Playfair, плотность была приближена к ее современному значению, но она все еще была слишком низкой и значительно хуже, чем Кавендиш вычисление несколькими годами ранее.

Сиденье Артура, место эксперимента Генри Джеймса 1856 г.

Эксперимент Шихаллиона был повторен в 1856 г. Генри Джеймс, генеральный директор Обследование боеприпасов, который вместо этого использовал холм Сиденье Артура в центре Эдинбург.^[6]^[12]^[23] Имея в своем распоряжении ресурсы Обзора боеприпасов, Джеймс расширил свою топографическую съемку на 21-километровый радиус, доведя его до границ Мидлотиан. Он получил плотность около 5 300 кг · м⁻³.^[3]^[14]

В эксперименте 2005 года была проведена разновидность работы 1774 года: вместо вычисления локальных различий в зените, эксперимент провел очень точное сравнение периода маятника в верхней и нижней части Шихаллиона. Период маятника зависит от грамм, местный гравитационное ускорение. Ожидается, что маятник будет двигаться медленнее на высоте, но масса горы будет уменьшать эту разницу. Преимущество этого эксперимента состоит в том, что его значительно легче провести, чем эксперимент 1774 года, но для достижения желаемой точности необходимо измерить период маятника с точностью до одной миллионной.^[11] В результате этого эксперимента масса Земли составила 8.1 ± 2.4 × 10²⁴ кг,^[24] соответствует средней плотности 7 500 ± 1 900 кг · м⁻³.^[d]

Современное повторное изучение геофизических данных позволило учесть факторы, которые группа 1774 г. не могла. Радиус действия 120 км. цифровая модель рельефа, значительно улучшившие знания о геологии Шихаллиона и, в частности, о компьютере, в отчете за 2007 год средняя плотность Земли составила 5 480 ± 250 кг · м⁻³.^[25] По сравнению с современной фигурой 5 515 кг · м⁻³, он стал свидетельством точности астрономических наблюдений Маскелина.^[25]

Математическая процедура

Schiehallion диаграмма сил

Рассмотрим диаграмма сил вправо, где отклонение сильно преувеличено. Анализ был упрощен за счет рассмотрения привлекательности только с одной стороны горы.^[21] Отвес массы $м$ расположен на расстоянии $d$ из $п$ , то центр масс горы массы $M M$ и плотность $ρ M$ . Он отклоняется на небольшой угол $θ$ из-за его привлекательности $F$ к $п$ и это масса $W$ направлен к Земле. В векторная сумма из $W$ и $F$ приводит к напряжение $Т$ в струне маятника. Земля имеет массу $M E$ , радиус $р E$ и плотность $ρ E$ .

Две гравитационные силы на отвесе определяются выражением Закон всемирного тяготения Ньютона:

{ displaystyle F = { frac {GmM_ {M}} {d ^ {2}}}, quad W = { frac {GmM_ {E}} {r_ {E} ^ {2}}}}

где $г$ является Гравитационная постоянная Ньютона. $г$ и $м$ можно исключить, взяв соотношение $F$ к $W$ :

{ displaystyle { frac {F} {W}} = { frac {GmM_ {M} / d ^ {2}} {GmM_ {E} / r_ {E} ^ {2}}} = { frac { M_ {M}} {M_ {E}}} left ({ frac {r_ {E}} {d}} right) ^ {2} = { frac { rho _ {M}} { rho _ {E}}} { frac {V_ {M}} {V_ {E}}} left ({ frac {r_ {E}} {d}} right) ^ {2}}

где $V M$ и $V E$ объемы горы и Земли. Под статическое равновесие, горизонтальная и вертикальная составляющие натяжения струны $Т$ может быть связано с гравитационными силами и углом отклонения $θ$ :

{ Displaystyle W = Т соз тета, четырехъядерный F = Т грех тета}

Замена на $Т$ :

{ displaystyle tan theta = { frac {F} {W}} = { frac { rho _ {M}} { rho _ {E}}} { frac {V_ {M}} {V_ {E}}} left ({ frac {r_ {E}} {d}} right) ^ {2}}

С $V E$ , $V M$ и $р E$ все известны, $θ$ был измерен и $d$ был вычислен, то значение отношения $ρ E : ρ M$ может быть получен:^[21]

{ displaystyle { frac { rho _ {E}} { rho _ {M}}} = { frac {V_ {M}} {V_ {E}}} left ({ frac {r_ {E }} {d}} right) ^ {2} { frac {1} { tan theta}}}

Примечания

^ Во время пьяной вечеринки в честь окончания геодезии северная обсерватория была случайно сожжена дотла, унеся с собой скрипку, принадлежащую Дункану Робертсону, младшему члену исследовательской группы. В благодарность за развлечение, которое Робертсон предоставил Маскелайну в течение четырех месяцев астрономических наблюдений, он компенсировал ему потерю скрипки, заменив потерянную скрипку на новую. Страдивари.
^ Значения Хаттона выражаются в виде обыкновенных долей, кратных плотности воды, например Марс ${ displaystyle { tfrac {10} {3}}}$ . Здесь они представлены двумя значащими цифрами целыми числами, умноженными на плотность воды 1000 кг · м.⁻³
^ Ценность $5 480 кг \cdot м -3$ появляется в статье Кавендиша. Однако он допустил арифметическую ошибку: его измерения фактически привели к значению $5 448 кг \cdot м -3$ ; несоответствие, которое не было обнаружено до 1821 г. Фрэнсис Бейли.
^ Принимая объем Земли за $1.0832 \times 10 12 км 3$ .