Седракян неравенство - Sedrakyans inequality - Wikipedia

Следующее неравенство известно как Неравенство Седракяна, Форма Энгеля или же Лемма Титусоответственно со ссылкой на статью «О приложениях одного полезного неравенства" из Наири Седракян опубликовано в 1997 г.,^[1] к книге Стратегии решения проблем из Артур Энгель (математик) опубликовано в 1998 г. и к книге Сокровища математической олимпиады из Титу Андрееску опубликовано в 2003 году.^[2][3]Это прямое следствие Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Тем не менее, в своей статье (1997) Седракян заметил, что записанное в такой форме неравенство может быть использовано как математический метод доказательства и имеет очень полезный новые приложения. В книге Алгебраические неравенства (Седракян) приведены несколько обобщений этого неравенства.^[4]

Формулировка неравенства (Наири Седракян (1997), Артур Энгель (математик) (1998), Титу Андрееску (2003))

Для любых реалов ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$ и положительные реалы ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}}$, у нас есть ${\displaystyle {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}}.}$

Прямые приложения

Пример 1. Неравенство Несбитта.

Для положительных вещественных чисел ${\displaystyle a,b,c}$ у нас есть это ${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

Пример 2. Международная математическая олимпиада (ИМО) 1995.

Для положительных вещественных чисел ${\displaystyle a,b,c}$, куда ${\displaystyle abc=1}$ у нас есть это ${\displaystyle {\frac {1}{a^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{b^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{c^{3}(a+b)}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

Пример 3.

Для положительных вещественных чисел ${\displaystyle a,b}$ у нас есть это ${\displaystyle 8(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)^{4}.}$

Пример 4.

Для положительных вещественных чисел ${\displaystyle a,b,c}$ у нас есть это ${\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {9}{2(a+b+c)}}.}$

Доказательства

Пример 1.

У нас есть это ${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

Пример 2.

У нас есть это ${\displaystyle {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{b}}{\Big )}^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{2(ab+bc+ac)}}={\frac {ab+bc+ac}{2}}\geq {\frac {3{\sqrt[{3}]{a^{2}b^{2}c^{2}}}}{2}}={\frac {3}{2}}.}$

Пример 3.

У нас есть это ${\displaystyle a^{4}+b^{4}={\frac {a^{4}}{1}}+{\frac {b^{4}}{1}}\geq {\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {(a+b)^{2}}{2}}{\Big )}^{2}}{2}}={\frac {(a+b)^{4}}{8}}.}$

Пример 4.

У нас есть это ${\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {(1+1+1)^{2}}{2(a+b+c)}}={\frac {9}{2(a+b+c)}}.}$

Рекомендации

1. Седракян, Наири (1997). «О приложениях одного полезного неравенства». Квант Журнал. С. 42–44, 97 (2), Москва.
2. Седракян, Наири (1997). Полезное неравенство. Издательство Springer International. п. 107. ISBN  9783319778365.
3. «Заявление о неравенстве». Блестящая математика и наука. 2018.
4. Седракян, Наири (2018). «Алгебраические неравенства». Издательство Springer International. С. 107–109.