Стокса поток - Stokes flow

Объект, движущийся в газе или жидкости, испытывает сила в направлении, противоположном его движению. Предельная скорость достигается, когда сила сопротивления равна по величине, но противоположна по направлению силе, толкающей объект. Показан сфера в потоке Стокса, при очень низком Число Рейнольдса.

Стокса поток (названный в честь Джордж Габриэль Стоукс ), также называемый ползучий поток или медленное движение,^[1] это тип поток жидкости где адвективный инерционный силы малы по сравнению с вязкий силы.^[2] В Число Рейнольдса низкий, т.е. ${\displaystyle \mathrm {Re} \ll 1}$. Это типичная ситуация в потоках, где скорости жидкости очень малы, вязкости очень велики или масштабы потока очень малы. Ползучий поток был сначала изучен, чтобы понять смазка. В природе такое течение встречается при плавании микроорганизмы и сперма^[3] и поток лава. В технике это происходит в покрасить, МЭМС устройств, а в потоке вязкой полимеры в общем.

Уравнения движения для потока Стокса, называемые уравнениями Стокса, представляют собой линеаризация из Уравнения Навье – Стокса, и, таким образом, может быть решена рядом хорошо известных методов для линейных дифференциальных уравнений.^[4] Главная Функция Грина потока Стокса - это Stokeslet, который связан с сингулярной точечной силой, вложенной в стоксов поток. Из его производных, другие фундаментальные решения может быть получен.^[5] Стокслет был впервые получен нобелевским лауреатом Хендрик Лоренц еще в 1896 году. Несмотря на свое название, Stokes никогда не знал о Stokeslet; название было придумано Хэнкоком в 1953 году. фундаментальные решения для обобщенного нестационарного Стокса и Осеен потоки связанные с произвольными зависящими от времени поступательными и вращательными движениями, были получены для ньютоновской^[6] и микрополярный^[7] жидкости.

Уравнения Стокса

Уравнение движения для стоксова потока может быть получено путем линеаризации устойчивое состояние Уравнения Навье-Стокса. Предполагается, что силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкости, и устранение инерционных членов баланса импульса в уравнениях Навье – Стокса сводит его к балансу импульса в уравнениях Стокса:^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \sigma +\mathbf {f} ={\boldsymbol {0}}}$

где ${\displaystyle \sigma }$ это стресс (сумма вязких напряжений и напряжений давления),^[8][9] и ${\displaystyle \mathbf {f} }$ приложенная сила тела. Полные уравнения Стокса также включают уравнение для сохранение массы, обычно записывается в форме:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

где ${\displaystyle \rho }$ - плотность жидкости и ${\displaystyle \mathbf {u} }$ скорость жидкости. Для получения уравнений движения несжимаемого потока предполагается, что плотность, ${\displaystyle \rho }$, является константой.

Кроме того, иногда можно рассматривать нестационарные уравнения Стокса, в которых член ${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$ добавляется в левую часть уравнения баланса импульса.^[1]

Характеристики

Уравнения Стокса представляют собой значительное упрощение полного Уравнения Навье – Стокса, особенно в несжимаемом ньютоновском случае.^[2][4][8][9] Они начальник упрощение полных уравнений Навье – Стокса, справедливое в выдающийся предел ${\displaystyle \mathrm {Re} \to 0.}$

Мгновенность

Поток Стокса не зависит от времени, кроме как через зависящий от времени граничные условия. Это означает, что, учитывая граничные условия потока Стокса, поток можно найти без знания потока в любой другой момент.

Обратимость во времени

Непосредственное следствие мгновенности, обратимости во времени означает, что обращенный во времени поток Стокса решает те же уравнения, что и исходный поток Стокса. Это свойство иногда можно использовать (в сочетании с линейностью и симметрией граничных условий) для получения результатов о потоке, не решая его полностью. Обратимость во времени означает, что смешать две жидкости с помощью ползучего потока сложно.

Обратимость во времени стоксовых потоков: краситель был введен в вязкую жидкость, зажатую между двумя концентрическими цилиндрами (верхняя панель). Затем стержневой цилиндр вращается, чтобы преобразовать краситель в спираль, если смотреть сверху. Краситель кажется смешанным с жидкостью, если смотреть сбоку (средняя панель). Затем вращение меняется на противоположное, приводя цилиндр в исходное положение. Краситель «размешивается» (нижняя панель). Реверс не идеален, потому что происходит некоторая диффузия красителя.^[10][11]

Хотя эти свойства верны для несжимаемых ньютоновских потоков Стокса, нелинейный и иногда зависящий от времени характер неньютоновские жидкости означает, что они не выполняются в более общем случае.

Парадокс стокса

Интересное свойство потока Стокса известно как Парадокс Стокса: что не может быть стоксова течения жидкости вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, отсутствие нетривиального решения для уравнений Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра.^[12]

Демонстрация обратимости времени

А Система Тейлора – Куэтта может создавать ламинарные потоки, в которых концентрические цилиндры жидкости движутся мимо друг друга по кажущейся спирали.^[13] Жидкость, такая как кукурузный сироп с высокой вязкостью, заполняет зазор между двумя цилиндрами, при этом окрашенные области жидкости видны через прозрачный внешний цилиндр. Цилиндры вращаются относительно друг друга с низкой скоростью, что вместе с высокой вязкостью текучесть и тонкость зазора дает низкий Число Рейнольдса, так что кажущееся смешение цветов на самом деле ламинарный и затем может быть возвращен приблизительно в исходное состояние. Это создает впечатляющую демонстрацию кажущегося смешивания жидкости, а затем ее размешивания путем изменения направления миксера на противоположное.^[14][15][16]

Несжимаемый поток ньютоновских жидкостей

В общем случае несжимаемой Ньютоновская жидкость, уравнения Стокса принимают (векторизованный) вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &={\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {u} }$ это скорость жидкости, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}p}$ это градиент давление, ${\displaystyle \mu }$ - динамическая вязкость, а ${\displaystyle \mathbf {f} }$ приложенная сила тела. Результирующие уравнения линейны по скорости и давлению, и поэтому могут использовать преимущества различных средств решения линейных дифференциальных уравнений.^[4]

Декартовы координаты

Если вектор скорости разложен как ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$ и аналогично вектор объемной силы ${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$, мы можем записать векторное уравнение явно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

Мы приходим к этим уравнениям, делая предположения, что ${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$ и плотность ${\displaystyle \rho }$ является константой.^[8]

Методы решения

По функции потока

Уравнение несжимаемого ньютоновского потока Стокса может быть решено с помощью функция потока метод в плоском или трехмерном осесимметричном случае

Тип функции	Геометрия	Уравнение	Комментарии
Функция потока, ${\displaystyle \psi }$	2-мерный плоский	${\displaystyle \nabla ^{4}\psi =0}$ или ${\displaystyle \Delta ^{2}\psi =0}$ (бигармоническое уравнение )	${\displaystyle \Delta }$ это Лапласиан оператор в двух измерениях
Функция потока Стокса, ${\displaystyle \Psi }$	3-D сферический	${\displaystyle E^{2}\Psi =0,}$ где ${\displaystyle E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)}$	Для вывода ${\displaystyle E}$ оператор видит Функция потока Стокса # Завихренность
	3-D цилиндрический	${\displaystyle L_{-1}^{2}\Psi =0,}$ где ${\displaystyle L_{-1}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}}$	За ${\displaystyle L_{-1}}$ увидеть [17]

По функции Грина: Стокслет

Линейность уравнений Стокса в случае несжимаемой ньютоновской жидкости означает, что Функция Грина, ${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$, существуют. Функция Грина находится путем решения уравнений Стокса с заменой вынуждающего члена точечной силой, действующей в начале координат, и граничными условиями, исчезающими на бесконечности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )}$ это Дельта-функция Дирака, и ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )}$ представляет точечную силу, действующую в начале координат. Решение для давления п и скорость ты с |ты| и п исчезающий на бесконечности дается формулой^[1]

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}}$

где

${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)}$ второй ранг тензор (или точнее тензорное поле ) известный как Тензор Озеена (после Карл Вильгельм Озеен ).^{[требуется разъяснение ]}

Термины Стокслета и решение с точечной силой используются для описания ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$. Аналог точечного заряда в электростатика, Стокслет лишен силы везде, кроме начала координат, где он содержит силу силы ${\displaystyle \mathbf {F} }$.

Для непрерывного распределения силы (плотности) ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$ решение (снова исчезающее на бесконечности) может быть построено суперпозицией:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'} }$

Это интегральное представление скорости можно рассматривать как уменьшение размерности: от трехмерного уравнения в частных производных к двумерному интегральному уравнению для неизвестных плотностей.^[1]

По решению Папковича – Нейбера.

В Решение Папковича – Нейбера представляет поля скорости и давления несжимаемого ньютоновского стоксова потока в терминах двух гармонический потенциалы.

Методом граничных элементов

Некоторые задачи, такие как эволюция формы пузырька в стоксовом потоке, позволяют численно решить метод граничных элементов. Этот метод может применяться как к 2-, так и к 3-мерным потокам.

Некоторые геометрии

Поток Хеле-Шоу

Поток Хеле-Шоу является примером геометрии, для которой силы инерции незначительны. Он определяется двумя параллельными пластинами, расположенными очень близко друг к другу, причем пространство между пластинами занято частично жидкостью и частично препятствиями в виде цилиндров с генераторами, перпендикулярными пластинам.^[8]

Теория стройного тела

Теория стройного тела в стоксовом потоке - простой приближенный метод определения безвихревого поля обтекания тел, длина которых велика по сравнению с их шириной. Основа метода - выбрать такое распределение особенностей потока вдоль линии (поскольку тело тонкое) так, чтобы их безвихревое течение в сочетании с однородным потоком приблизительно удовлетворяло условию нулевой нормальной скорости.^[8]

Сферические координаты

ягненок Общее решение возникает из того факта, что давление ${\displaystyle p}$ удовлетворяет Уравнение лапласа, и может быть расширен в серию твердых сферические гармоники в сферических координатах. В результате решение уравнений Стокса можно записать:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq 1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$ и ${\displaystyle \chi _{n}}$ твердые сферические гармоники порядка ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ являются ассоциированные полиномы Лежандра. Решение Лэмба можно использовать для описания движения жидкости внутри или вне сферы. Например, его можно использовать для описания движения жидкости вокруг сферической частицы с заданным поверхностным потоком, так называемого сквирт, или описать течение внутри сферической капли жидкости. Для внутренних потоков условия с ${\displaystyle n<0}$ опускаются, а для внешних потоков слагаемые с ${\displaystyle n>0}$ отбрасываются (часто соглашение ${\displaystyle n\to -n-1}$ предполагается для внешних потоков, чтобы избежать индексации отрицательными числами).^[1]

Теоремы

Решение Стокса и связанная с ним теорема Гельмгольца

Смотрите также: Закон Стокса

Здесь резюмируется сопротивление сопротивлению движущейся сфере, известное также как решение Стокса. Учитывая сферу радиуса ${\displaystyle a}$, движущиеся со скоростью ${\displaystyle U}$, в стоксовой жидкости с динамической вязкостью ${\displaystyle \mu }$, сила сопротивления ${\displaystyle F_{D}}$ дан кем-то:^[8]

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

Решение Стокса рассеивает меньше энергии, чем любое другое соленоидальное векторное поле с теми же граничными скоростями: это известно как Теорема Гельмгольца о минимальной диссипации.^[1]

Теорема взаимности Лоренца

В Теорема взаимности Лоренца устанавливает связь между двумя стоксовыми потоками в одной и той же области. Рассмотрим заполненную жидкостью область ${\displaystyle V}$ ограниченный поверхностью ${\displaystyle S}$. Пусть поля скорости ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ решить уравнения Стокса в области ${\displaystyle V}$, каждое с соответствующими полями напряжений ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ и ${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$. Тогда имеет место следующее равенство:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

куда ${\displaystyle \mathbf {n} }$ нормаль на поверхности ${\displaystyle S}$. Теорема взаимности Лоренца может использоваться, чтобы показать, что поток Стокса «передает» неизменными полную силу и крутящий момент от внутренней замкнутой поверхности к внешней окружающей поверхности.^[1] Теорема взаимности Лоренца также может быть использована для определения скорости плавания микроорганизмов, таких как цианобактерии, к поверхностной скорости, которая задается деформациями формы тела через реснички или жгутики.^[18]

Законы Факсена

В Законы Факсена прямые отношения, выражающие многополюсный моменты с точки зрения окружающего потока и его производных. Впервые разработан Хильдинг Факсен для расчета силы, ${\displaystyle \mathbf {F} }$, и крутящий момент, ${\displaystyle \mathbf {T} }$ на сфере они приняли следующий вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mu }$ - динамическая вязкость, ${\displaystyle a}$ - радиус частицы, ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$ это окружающий поток, ${\displaystyle \mathbf {U} }$ скорость частицы, ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$ - угловая скорость фонового потока, а ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$ - угловая скорость частицы.

Законы Факсена можно обобщить для описания моментов других форм, таких как эллипсоиды, сфероиды и сферические капли.^[1]

Смотрите также

• Закон Стокса
• Теорема Гельмгольца о минимальной диссипации
• Закон Дарси
• Поток Хеле-Шоу
• Соскоб Тейлора
• Ламинарный поток
• Теория смазки
• Уравнения Озеена
• Пуазейля
• Теория стройного тела
• Объемный расход
• Закон Факсена

использованная литература

1. Ким, С. и Каррила, С. Дж. (2005) Микрогидродинамика: принципы и избранные приложения, Дувр. ISBN  0-486-44219-5.
2. Кирби, Б.Дж. (2010). Микро- и наномасштабная механика жидкости: перенос в микрофлюидных устройствах. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-11903-0.
3. Дузенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе. Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс ISBN  978-0-674-03116-6.
4. Leal, L.G. (2007). Расширенные явления переноса: механика жидкости и процессы конвективного переноса.
5. Чван, А. и Ву, Т. (1974). «Гидромеханика течения с малым числом Рейнольдса. Часть 2. Метод сингулярностей для течений Стокса» В архиве 2012-03-07 в Wayback Machine. J. Fluid Mech. 62(6), часть 4, 787–815.
6. Шу, Цзянь-Цзюнь; Чван, A.T. (2001). «Обобщенные фундаментальные решения для нестационарных течений вязкой жидкости». Физический обзор E. 63 (5): 051201. arXiv:1403.3247. Bibcode:2001PhRvE..63e1201S. Дои:10.1103 / PhysRevE.63.051201. PMID  11414893.
7. Шу, Цзянь-Цзюнь; Ли, Дж. (2008). «Фундаментальные решения для микрополярных жидкостей». Журнал инженерной математики. 61 (1): 69–79. arXiv:1402.5023. Bibcode:2008JEnMa..61 ... 69S. Дои:10.1007 / s10665-007-9160-8.
8. Бэтчелор, Г. К. (2000). Введение в механику жидкости. ISBN  978-0-521-66396-0.
9. Хаппель, Дж. И Бреннер, Х. (1981) Гидродинамика с низким числом Рейнольдса, Springer. ISBN  90-01-37115-9.
10. Хеллер, Джон П. (1960). «Демонстрация несмешивания». Американский журнал физики. 28 (4): 348–353. Дои:10.1119/1.1935802.
11. Реология: теория и приложения. Том 4. Эйрих, Фредерик Р. Нью-Йорк: Academic Press. 1967 г. ISBN  9781483229416. OCLC  898101332.
12. Лэмб, Гораций (1945). Гидродинамика (Шестое изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр.602–604.
13. К. Дэвид Андерек, С. С. Лю и Гарри Л. Суинни (1986). Режимы течения в круговой системе Куэтта с независимо вращающимися цилиндрами. Журнал гидромеханики, 164, стр 155–183 doi: 10.1017 / S0022112086002513
14. Дузенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе, стр.46. Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс ISBN  978-0-674-03116-6.
15. https://www.youtube.com/watch?v=p08_KlTKP50
16. http://panda.unm.edu/flash/visacity.phtml
17. Payne, LE; WH Пелл (1960). «Задача Стокса для одного класса осесимметричных тел». Журнал гидромеханики. 7 (4): 529–549. Bibcode:1960JFM ..... 7..529P. Дои:10.1017 / S002211206000027X.
18. Stone, Howard A .; Самуэль, Аравинтан Д. Т. (ноябрь 1996 г.). «Распространение микроорганизмов за счет поверхностных искажений». Письма с физическими проверками. 19. 77 (19): 4102–4104. Bibcode:1996ПхРвЛ..77.4102С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.77.4102. PMID  10062388.

• Окендон, Х. & Окендон Дж. Р. (1995) Вязкий поток, Cambridge University Press. ISBN  0-521-45881-1.

внешняя ссылка

• Видео демонстрация обратимости стоксова потока во времени от UNM Physics and Astronomy