Симметричный конус - Symmetric cone - Wikipedia

В математика, симметричные конусыиногда называют области позитивности, являются открытыми выпуклыми самодуальными шишки в евклидовом пространстве, которые имеют транзитивную группу симметрий, то есть обратимые операторы, переводящие конус на себя. Посредством Теорема Кохера – Винберга они соответствуют конусу квадратов в конечномерном вещественные евклидовы йордановы алгебры, первоначально изученные и классифицированные Иордания, фон Нейман и Вигнер (1934). В пробка домен связанный с симметричным конусом, является некомпактным Эрмитово симметричное пространство из тип трубки. Все алгебраические и геометрические структуры, связанные с симметричным пространством, могут быть естественным образом выражены в терминах йордановой алгебры. Остальные неприводимые эрмитовы симметрические пространства некомпактного типа соответствуют Siegel домены второго рода. Их можно описать с помощью более сложных структур, называемых Иорданские тройные системы, которые обобщают йордановы алгебры без единицы.^[1]

Определения

А выпуклый конус C в конечномерном реальном внутреннее пространство продукта V - выпуклое множество, инвариантное относительно умножения на положительные скаляры. Он охватывает подпространство C – C и самое большое подпространство, которое оно содержит, это C ∩ (−C). Он охватывает все пространство тогда и только тогда, когда содержит основу. Поскольку выпуклый корпус базиса - многогранник с непустой внутренностью, это происходит тогда и только тогда, когда C имеет непустой интерьер. Внутренность в этом случае также представляет собой выпуклый конус. Более того, открытый выпуклый конус совпадает с внутренней частью своего замыкания, так как любая внутренняя точка в замыкании должна лежать внутри некоторого многогранника исходного конуса. Выпуклый конус называется правильный если его замыкание, тоже конус, не содержит подпространств.

Позволять C - открытый выпуклый конус. Его двойной определяется как

${\displaystyle \displaystyle {C^{*}=\{X:(X,Y)>0\,\,\mathrm {for} \,\,Y\in {\overline {C}}\}.}}$

Это также открытый выпуклый конус и C** = C.^[2] Открытый выпуклый конус C как говорят самодвойственный если C* = C. Он обязательно правильный, так как не содержит 0, поэтому не может содержать оба Икс и -Икс.

В группа автоморфизмов открытого выпуклого конуса определяется формулой

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Aut} \,C=\{g\in \mathrm {GL} (V)|gC=C\}.}}$

Четко грамм лежит в Aut C если и только если грамм принимает закрытие C на себя. Итак, Aut C - замкнутая подгруппа в GL (V) и, следовательно, Группа Ли. Кроме того, Aut C* = (Aut C)*, куда грамм* примыкает к грамм. C как говорят однородный если Aut C действует транзитивно на C.

Открытый выпуклый конус C называется симметричный конус если он самодуальный и однородный.

Теоретико-групповые свойства

• Если C симметричный конус, то Aut C замкнуто относительно присоединения.
• Компонент идентичности Aut₀ C действует транзитивно на C.
• Стабилизаторы очков - максимальные компактные подгруппы, все сопряжены, и исчерпывают максимальные компактные подгруппы Aut C.
• В Aut₀ C стабилизаторы очков максимальные компактные подгруппы, все сопряжены, и исчерпывают максимальные компактные подгруппы Aut₀ C.
• Максимальные компактные подгруппы в Aut₀ C подключены.
• Компонентная группа Aut C изоморфна группе компонентов максимальной компактной подгруппы и, следовательно, конечна.
• Aut C ∩ O (V) и Aut₀ C ∩ O (V) - максимальные компактные подгруппы в Aut C и Aut₀ C.
• C естественно Риманово симметрическое пространство изоморфен грамм / K куда грамм = Aut₀ C. Инволюция Картана определяется формулой σ (грамм)=(грамм*)⁻¹, так что K = грамм ∩ O (V).

Спектральное разложение в евклидовой йордановой алгебре

Паскуаль Джордан

Джон фон Нейман

Юджин Вигнер

Смотрите также: Формально вещественная йорданова алгебра

В своей классической статье Иордания, фон Нейман и Вигнер (1934) изучил и полностью классифицировал класс конечномерных йордановых алгебр, которые теперь называются Евклидовы йордановы алгебры или же формально вещественные йордановы алгебры.

Определение

Позволять E - конечномерное вещественное векторное пространство с симметричным билинейным произведением

${\displaystyle \displaystyle {E\times E\rightarrow E,\,\,\,a,b\mapsto ab=ba,}}$

с единичным элементом 1 таким, что а1 = а за а в А и настоящий внутренний продукт (а,б), для которого операторы умножения L(а) определяется L(а)б = ab на E самосопряжены и удовлетворяют соотношению Жордана

${\displaystyle \displaystyle {L(a)L(a^{2})=L(a^{2})L(a).}}$

Как будет показано ниже, условие на сопряжения можно заменить эквивалентным условием, что след формирует Tr L(ab) определяет внутренний продукт. Форма следа имеет то преимущество, что она явно инвариантна относительно автоморфизмов йордановой алгебры, которая, таким образом, является замкнутой подгруппой в O (E) и, следовательно, компактная группа Ли. Однако в практических примерах часто бывает проще произвести внутренний продукт, для которого L(а) являются самосопряженными, чем непосредственно подтверждают положительную определенность формы следа. (Эквивалентное исходное условие Джордана, фон Неймана и Вигнера заключалось в том, что если сумма квадратов элементов равна нулю, то каждый из этих элементов должен исчезнуть.^[3])

Ассоциативность власти

Из условия Жордана следует, что йорданова алгебра ассоциативный, т.е. йорданова подалгебра, порожденная любым единственным элементом а в E на самом деле ассоциативная коммутативная алгебра. Таким образом, определяя а^п индуктивно а^п = а (а^п−1) выполняется следующее соотношение ассоциативности:

${\displaystyle \displaystyle {a^{m}a^{n}=a^{m+n},}}$

так что подалгебру можно отождествить с р[а], многочлены от а. Фактически поляризующий отношения Жордана - заменяя а к а + tb и принимая коэффициент т- урожайность

${\displaystyle \displaystyle {2L(ab)L(a)+L(a^{2})L(b)=2L(a)L(b)L(a)+L(a^{2}b).}}$

Из этого тождества следует, что L(а^м) - многочлен от L(а) и L(а²) для всех м. Фактически, предполагая результат для более низких показателей, чем м,

${\displaystyle \displaystyle {a^{2}a^{m-1}=a^{m-1}(a^{2})=L(a^{m-1})L(a)a=L(a)L(a^{m-1})a=L(a)a^{m}=a^{m+1}.}}$

Параметр б = а^{м – 1} в поляризованном тождестве Жордана дает:

${\displaystyle \displaystyle {L(a^{m+1})=2L(a^{m})L(a)+L(a^{2})L(a^{m-1})-2L(a)^{2}L(a^{m-1}),}}$

а отношение повторения индуктивно показывая, что L(а^{м + 1}) - многочлен от L(а) и L(а²).

Следовательно, если ассоциативность степеней верна, когда первый показатель ≤ м, то это верно и для м+1 с

${\displaystyle \displaystyle {L(a^{m+1})a^{n}=2L(a)L(a^{m})a^{n}+L(a^{2})L(a^{m-1})a^{n}-2L(a)^{2}L(a^{m-1})a^{n}=a^{m+n+1}.}}$

Идемпотенты и ранг

Элемент е в E называется идемпотент если е² = е. Два идемпотента называются ортогональными, если ef = 0. Это эквивалентно ортогональности по отношению к скалярному произведению, поскольку (ef,ef) = (е,ж). В этом случае грамм = е + ж также идемпотент. Идемпотент грамм называется примитивный или же минимальный если его нельзя записать как сумму ненулевых ортогональных идемпотентов. Если е₁, ..., е_м являются попарно ортогональными идемпотентами, то их сумма также является идемпотентом, и порождаемая ими алгебра состоит из всех линейных комбинаций е_я. Это ассоциативная алгебра. Если е идемпотент, то 1 - е ортогональный идемпотент. Ортогональный набор идемпотентов с суммой 1 называется полный комплект или раздел 1. Если каждый идемпотент в наборе минимален, он называется Рамка Jordan. Поскольку количество элементов в любом ортогональном множестве идемпотентов ограничено dim E, Жордановы рамки существуют. Максимальное количество элементов в жордановом фрейме называется классифицировать р из E.

Спектральное разложение

Спектральная теорема утверждает, что любой элемент а можно однозначно записать как

${\displaystyle \displaystyle {a=\sum \lambda _{i}e_{i},}}$

где идемпотенты е_я's представляют собой разбиение 1, а λ_я, то собственные значения из а, реальны и отчетливы. На самом деле пусть E₀ = р[a] и пусть Т быть ограничением L(а) к E₀. Т самосопряжен и имеет 1 как циклический вектор. Итак коммутант из Т состоит из многочленов от Т (или же а). Посредством спектральная теорема для самосопряженных операторов,

${\displaystyle \displaystyle {T=\sum \lambda _{i}P_{i}}}$

где п_я ортогональные проекции на E₀ с суммой я а λ_я- различные действительные собственные значения Т. Поскольку п_яездит с Т и являются самосопряженными, они задаются элементами умножения е_я из р[a] и, таким образом, образуют разбиение 1. Единственность следует, потому что если ж_я является разбиением 1 и а = ∑ μ_я ж_я, затем с п(т)=∏ (т - μ_j) и п_я = п/(т - μ_я), ж_я = п_я(а)/п_я(μ_я). Итак ж_я- многочлены от а а единственность следует из единственности спектрального разложения Т.

Из спектральной теоремы следует, что ранг не зависит от жордановой шкалы. Для рамы Jordan с k минимальные идемпотенты могут использоваться для создания элемента а с k различные собственные значения. Как и выше, минимальный многочлен п из а имеет степень k и р[а] имеет измерение k. Его размер также самый большой k такой, что F_k(а) ≠ 0 где F_k(а) - определитель Матрица Грама:

${\displaystyle \displaystyle {F_{k}(a)=\det _{0\leq m,n<k}(a^{m},a^{n}).}}$

Итак, звание р это наибольшее целое число k для которого F_k не является тождественным нулем на E. В этом случае как ненулевой многочлен F_р отлична от нуля на открытом плотном подмножестве E. то регулярные элементы. Любой другой а предел регулярных элементов а^(п). Поскольку операторная норма L(Икс) дает эквивалентную норму на E, стандартное рассуждение о компактности показывает, что переходя, если необходимо, к подпоследовательности, спектральные идемпотенты а^(п) и соответствующие им собственные значения сходятся. Предел жордановых шкал является жордановой шкалой, поскольку предел ненулевых идемпотентов дает ненулевой идемпотент по непрерывности операторной нормы. Отсюда следует, что каждый фрейм Жордана состоит из р минимальные идемпотенты.

Если е и ж ортогональные идемпотенты, спектральная теорема показывает, что е и ж являются многочленами от а = е − ж, так что L(е) и L(ж) ездить. Это видно непосредственно из поляризованного тождества Жордана, из которого следует L(е)L(ж) = 2 L(е)L(ж)L(е). Коммутативность следует за счет присоединения к ней.

Спектральное разложение идемпотента

Если е ненулевой идемпотент, то собственные значения L(е) может быть только 0, 1/2 и 1, так как взяв а = б = е в поляризованном тождестве Жордана дает

${\displaystyle \displaystyle {2L(e)^{3}-3L(e)^{2}+L(e)=0.}}$

В частности, операторная норма L(е) равно 1 и его след строго положителен.

Имеется соответствующее разложение на собственное ортогональное подпространство E

${\displaystyle \displaystyle {E=E_{0}(e)\oplus E_{1/2}(e)\oplus E_{1}(e),}}$

где, для а в E, E_λ(а) обозначает λ-собственное подпространство L(а). В этом разложении E₁(е) и E₀(е) - йордановы алгебры с единицами е и 1 - е. Их сумма E₁(е) ⊕ E₀(е) является прямой суммой йордановых алгебр в том смысле, что любое произведение между ними равно нулю. Это централизаторная подалгебра из е и состоит из всех а такой, что L(а) ездит с L(е). Подпространство E_1/2(е) является модулем централизатора е, то модуль центратора, а произведение любых двух элементов в ней лежит в централизующей подалгебре. С другой стороны, если

${\displaystyle \displaystyle {U=8L(e)^{2}-8L(e)+I,}}$

тогда U самосопряжено, равное 1 на алгебре централизаторов и −1 на модуле централизаторов. Так U² = я и свойства выше показывают, что

${\displaystyle \displaystyle {\sigma (x)=Ux}}$

определяет инволютивный автоморфизм йордановой алгебры σ E.

Фактически свойства йордановой алгебры и модуля следуют заменой а и б в поляризованном жордановом тождестве е и а. Если еа = 0, это дает L(е)L(а) = 2L(е)L(а)L(е). Взяв присоединения, получаем, что L(а) ездит с L(е). Аналогично, если (1 - е)а = 0, L(а) ездит с я − L(е) и поэтому L(е). Отсюда следует йорданова алгебра и свойства модуля. Чтобы проверить, что произведение элементов в модуле лежит в алгебре, достаточно проверить это для квадратов: но если L(е)а = ½ а, тогда еа = ½ а, так L(а)² + L(а²)L(е) = 2L(а)L(е)L(а) + L(а²е). Взяв присоединения, получаем, что L(а²) ездит с L(е), что влечет свойство квадратов.

Форма следа

Форма следа определяется

${\displaystyle \displaystyle {\tau (a,b)=\mathrm {Tr} \,L(ab).}}$

Это внутренний продукт, поскольку для ненулевого а = ∑ λ_я е_я,

${\displaystyle \displaystyle {\tau (a,a)=\sum \lambda _{i}^{2}\mathrm {Tr} \,L(e_{i})>0.}}$

Поляризованную идентичность Джордана можно снова поляризовать, заменив а к а + tc и принимая коэффициент т. Дальнейшая асимметризация в а и c дает:

${\displaystyle \displaystyle {L(a(bc)-(ab)c)=[[L(a),L(b)],L(c)].}}$

Нанесение следа на обе стороны

${\displaystyle \displaystyle {\tau (a,bc)=\tau (ba,c),}}$

так что L(б) является самосопряженным для формы следа.

Простые евклидовы йордановы алгебры

Адольф Гурвиц (1855–1919), чьи работы на композиционные алгебры был опубликован посмертно в 1923 году.

Классификация простых евклидовых йордановых алгебр была проведена Иордания, фон Нейман и Вигнер (1934), с деталями одной исключительной алгебры, приведенной в статье сразу после их Альберт (1934). С использованием Разложение Пирса, они свели проблему к алгебраической задаче, включающей мультипликативные квадратичные формы уже решено Гурвиц. Презентация здесь, после Фараут и Кораньи (1994), с помощью композиционные алгебры или же Евклидовы алгебры Гурвица, это более короткая версия оригинального происхождения.

Центральное разложение

Если E является евклидовой йордановой алгеброй и идеальный F в E - линейное подпространство, замкнутое относительно умножения на элементы из E, т.е. F инвариантен относительно операторов L(а) за а в E. Если п ортогональная проекция на F он коммутирует с операторами L(а), Особенно F^⊥ = (я − п)E также идеал и E = F ⊕ F^⊥. Кроме того, если е = п(1), то п = L(е). Фактически для а в E

${\displaystyle \displaystyle {ea=ae=L(a)P(1)=P(L(a)1)=P(a),}}$

так что еа = а за а в F и 0 для а в F^⊥. Особенно е и 1 - е ортогональные идемпотенты с L(е) = п и L(1 − е) = я − п. е и 1 - е являются тождествами в евклидовых йордановых алгебрах F и F^⊥. Идемпотент е является центральный в E, где центр из E определяется как набор всех z такой, что L(z) ездит с L(а) для всех а. Он образует коммутативную ассоциативную подалгебру.

Продолжая таким образом E можно записать в виде прямой суммы минимальных идеалов

${\displaystyle \displaystyle {E=\oplus E_{i}.}}$

Если п_я это проекция на E_я и е_я = п_я(1) тогда п_я = L(е_я). В е_я's ортогональны с суммой 1 и являются тождествами в E_я. Минимальность сил E_я быть просто, т.е. не иметь нетривиальных идеалов. Ибо с тех пор L(е_я) ездит со всеми L(а), любой идеал F ⊂ E_ябудет инвариантным относительно E поскольку F = е_яF. Такое разложение в прямую сумму простых евклидовых алгебр единственно. Если E = ⊕ F_j другое разложение, то F_j= ⊕ e_яF_j. По минимальности только один из членов здесь отличен от нуля, поэтому равен F_j. По минимальности соответствующие E_я равно F_j, доказывая уникальность.

Таким образом, классификация евклидовых йордановых алгебр сводится к классификации простых. Для простой алгебры E все внутренние продукты, для которых операторы L(а) самосопряжены, пропорциональны. Действительно, любой другой продукт имеет вид (Та, б) для некоторого положительного самосопряженного оператора, коммутирующего с L(а) s. Любое ненулевое собственное подпространство Т идеал в А и поэтому по простоте Т должен действовать в целом E как положительный скаляр.

Список всех простых евклидовых йордановых алгебр

• Позволять ЧАС_п(р) - пространство действительных симметричных п к п матрицы с внутренним произведением (а,б) = Tr ab и продукт Иордании а ∘ б = ½(ab + ба). потом ЧАС_п(р) - простая евклидова йорданова алгебра ранга п за п ≥ 3.
• Позволять ЧАС_п(C) - пространство комплексных самосопряженных п к п матрицы с внутренним произведением (а,б) = Re Tr ab* и продукт Jordan а ∘ б = ½(ab + ба). потом ЧАС_п(C) - простая евклидова йорданова алгебра ранга п ≥ 3.
• Позволять ЧАС_п(ЧАС) - пространство самосопряженных п к п матрицы с записями в кватернионы, внутренний продукт (а,б) = Re Tr ab* и продукт Jordan а ∘ б = ½(ab + ба). потом ЧАС_п(ЧАС) - простая евклидова йорданова алгебра ранга п ≥ 3.
• Позволять V быть конечномерным вещественным внутренним пространством продукта и положить E = V ⊕ р с внутренним продуктом (ты⊕λ,v⊕μ) = (ты,v) + λμ и произведение (u⊕λ) ∘ (v⊕μ) = (μты + λv) ⊕ [(ты,v) + λµ]. Это евклидова йорданова алгебра ранга 2.
• Приведенные выше примеры фактически дают все простые евклидовы йордановы алгебры, за исключением одного исключительного случая. ЧАС₃(О) самосопряженные матрицы над октонионы или же Числа Кэли, еще одна простая евклидова йорданова алгебра ранга 3 размерности 27 (см. ниже).

Разложение Пирса

Смотрите также: Разложение Пирса

Позволять E - простая евклидова йорданова алгебра со скалярным произведением, задаваемым формой следа τ (а) = Tr L(а). Доказательство того, что E имеет указанный выше вид, основанный на построении аналога матричных единиц для жордановой шкалы в E. Следующие свойства идемпотентов выполняются в E.

• Идемпотент е минимален в E если и только если E₁(е) имеет размерность один (так что равно ре). более того E_1/2(е) ≠ (0). Фактически спектральные проекции любого элемента E₁(е) роды E поэтому, если ненулевое значение должно быть равно е. Если собственное подпространство 1/2 исчезло, то E₁(е) = ре был бы в идеале.
• Если е и ж являются неортогональными минимальными идемпотентами, то существует автоморфизм σ периода 2 E такое, что σе=ж, так что е и ж имеют такой же след.
• Если е и ж ортогональные минимальные идемпотенты, то E_1/2(е) ∩ E_1/2(ж) ≠ (0). Более того, существует автоморфизм σ периода 2 E такое, что σе=ж, так что е и ж имеют такой же след, и для любого а на этом перекрестке, а² = ½ τ (е) |а|² (е + ж).
• Все минимальные идемпотенты в E находятся на одной орбите группы автоморфизмов, поэтому имеют один и тот же след τ₀.
• Если е, ж, грамм - три минимальных ортогональных идемпотента, то для а в E_1/2(е) ∩ E_1/2(ж) и б в E_1/2(ж) ∩ E_1/2(грамм), L(а)² б = ⅛ τ₀ |а|² б и |ab|² = ⅛ τ₀ |а|²|б|². Более того, E_1/2(е) ∩ E_1/2(ж) ∩ E_1/2(грамм) = (0).
• Если е₁, ..., е_р и ж₁, ..., ж_р - это рамки Иордании в E, то существует автоморфизм α такой, что αе_я = ж_я.
• Если (е_я) - жорданов фрейм и E_ii = E₁(е_я) и E_ij = E_1/2(е_я) ∩ E_1/2(е_j), тогда E ортогональная прямая сумма E_ii'песок E_ijс. С E просто, E_iiодномерны, а подпространства E_ij все ненулевые для я ≠ j.
• Если а = ∑ α_я е_я для некоторого фрейма Жордана (е_я), тогда L(а) действует как α_я на E_ii и (α_я + α_я) / 2 на E_ij.

Приведение к евклидовым алгебрам Гурвица

Основная статья: Евклидова алгебра Гурвица

Позволять E - простая евклидова йорданова алгебра. Из свойств разложения Пирса следует, что:

• Если E имеет ранг 2, то имеет вид V ⊕ р для некоторого внутреннего пространства продукта V с продуктом Jordan, как описано выше.
• Если E имеет звание р > 2, то существует неассоциативная алгебра с единицей А, ассоциативно, если р > 3, снабженный внутренним произведением, удовлетворяющим (ab, ab) = (a, a) (b, b) и таким, что E = ЧАС_р(А). (Спряжение в А определяется а* = −a + 2 (a, 1) 1.)

Такая алгебра А называется Евклидова алгебра Гурвица. В А если λ (а)б = ab и ρ (а)б = ба, тогда:

• инволюция - антиавтоморфизм, т. е. (а б)*=б* а*
• а а* = ‖ а ‖² 1 = а* а
• λ (а*) = λ (а)*, ρ (а*) = ρ (а)*, так что инволюция на алгебре соответствует взятию примыкает
• Re (а б) = Re (б а) если ReИкс = (Икс + Икс*)/2 = (Икс, 1)1
• Re (а б) c = Reа(до н.э)
• λ (а²) = λ (а)², ρ (а²) = ρ (а)², так что А является альтернативная алгебра.

К Теорема Гурвица А должен быть изоморфен р, C, ЧАС или же О. Первые три являются ассоциативными алгебрами с делением. Октонионы не образуют ассоциативной алгебры, поэтому ЧАС_р(О) может дать йорданову алгебру только для р = 3. Потому что А ассоциативен, когда А = р, C или же ЧАС, немедленно, что ЧАС_р(А) является йордановой алгеброй для р ≥ 3. Отдельный аргумент, первоначально приведенный Альберт (1934), требуется, чтобы показать, что ЧАС₃(О) с Иордановым произведением а∘б = ½(ab + ба) удовлетворяет тождеству Жордана [L(а),L(а²)] = 0. Более позднее существует более прямое доказательство с использованием Теорема Фрейденталя о диагонализации из-за Фройденталь (1951): он доказал, что для любой матрицы в алгебре ЧАС_р(А) существует автоморфизм алгебры, переводящий матрицу на диагональную матрицу с вещественными элементами; тогда несложно проверить, что [L(а),L(б)] = 0 для вещественных диагональных матриц.^[4]

Исключительные и специальные евклидовы йордановы алгебры

В исключительный Евклидова йорданова алгебра E= ЧАС₃(О) называется Алгебра Альберта. Из теоремы Кона – Ширшова следует, что он не может быть порожден двумя элементами (и тождеством). Это видно прямо. Так как по теореме Фройденталя о диагонализации один элемент Икс можно рассматривать как диагональную матрицу с действительными элементами, а другие Y быть ортогональной йордановой подалгебре, порожденной Икс. Если все диагональные элементы Икс различны, йорданова подалгебра, порожденная Икс и Y порождается диагональными матрицами и тремя элементами

${\displaystyle \displaystyle {Y_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&y_{1}\\0&y_{1}^{*}&0\end{pmatrix}},\,\,\,Y_{2}={\begin{pmatrix}0&0&y_{2}^{*}\\0&0&0\\y_{2}&0&0\end{pmatrix}},\,\,\,Y_{3}={\begin{pmatrix}0&y_{3}&0\\y_{3}^{*}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}}$

Несложно проверить, что вещественная линейная оболочка диагональных матриц, этих матриц и подобных матриц с вещественными элементами образует унитальную йорданову подалгебру. Если диагональные записи Икс не различимы, Икс можно принять за примитивный идемпотент е₁ с диагональными элементами 1, 0 и 0. Анализ в Спрингер и Велдкамп (2000) затем показывает, что унитальная йорданова подалгебра, порожденная Икс и Y правильно. Действительно, если 1 - е₁ является суммой двух примитивных идемпотентов в подалгебре, то после применения автоморфизма E при необходимости подалгебра будет порождена диагональными матрицами и матрицей, ортогональной диагональным матрицам. По предыдущему аргументу это будет правильно. Если 1 - е₁ примитивный идемпотент, подалгебра должна быть собственной по свойствам ранга в E.

Евклидова алгебра называется специальный если его центральное разложение не содержит копий алгебры Альберта. Поскольку алгебра Альберта не может быть порождена двумя элементами, отсюда следует, что евклидова йорданова алгебра, порожденная двумя элементами, является специальной. Это Теорема Ширшова – Кона для евклидовых йордановых алгебр.^[5]

Классификация показывает, что каждая неисключительная простая евклидова йорданова алгебра является подалгеброй некоторого ЧАС_п(р). Следовательно, то же самое верно и для любой специальной алгебры.

С другой стороны, как Альберт (1934) показал, что алгебра Альберта ЧАС₃(О) не может быть реализована как подалгебра в ЧАС_п(р) для любого п.^[6]

В самом деле, пусть π - вещественно-линейное отображение E = ЧАС₃(О) в самосопряженные операторы на V = р^п с π (ab) = ½ (π (а) π (б) + π (б) π (а)) и π (1) = я. Если е₁, е₂, е₃ - диагональные минимальные идемпотенты, то п_я = π (е_я являются взаимно ортогональными проекциями на V на ортогональные подпространства V_я. Если я ≠ j, элементы е_ij из E с 1 в (я,j) и (j,я) записи и 0 в другом месте удовлетворяют е_ij² = е_я + е_j. Более того, е_ijе_jk = ½ е_ik если я, j и k различны. Операторы Т_ij нулевые на V_k (k ≠ я, j) и ограничимся инволюциями на V_я ⊕ V_j обмен V_я и V_j. Сдача п_ij = п_я Т_ij п_j и установка п_ii = п_я, (п_ij) образуют систему матричные блоки на V, т.е. п_ij* = п_джи, ∑ п_ii = я и п_ijп_км = δ_jk п_я. Позволять E_я и E_ij - подпространства разложения Пирса E. За Икс в О, положим π_ij = п_ij π (хе_ij), рассматриваемый как оператор на V_я. Это не зависит от j и для Икс, у в О

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{ij}(xy)=\pi _{ij}(x)\pi _{ij}(y),\,\,\,\pi _{ij}(1)=I.}}$

Поскольку каждый Икс в О имеет право обратный у с ху = 1 отображение π_ij инъективно. С другой стороны, это гомоморфизм алгебр из неассоциативной алгебры О в ассоциативную алгебру End V_я, противоречие.^[7]

Положительный конус в евклидовой йордановой алгебре

Макс Кехер впервые использовал йордановы алгебры в изучении симметрических пространств

Определение

Когда (е_я) является разбиением единицы в евклидовой йордановой алгебре E, самосопряженные операторы L (е_я) коммутируют и происходит разложение на одновременные собственные подпространства. Если а = ∑ λ_я е_я собственные значения L(а) имеют вид ∑ ε_я λ_я равно 0, 1/2 или 1. е_я сами дают собственные значения λ_я. В частности, элемент а имеет неотрицательный спектр тогда и только тогда, когда L(а) имеет неотрицательный спектр. Более того, а имеет положительный спектр тогда и только тогда, когда L(а) имеет положительный спектр. Ибо если а имеет положительный спектр, а - ε1 имеет неотрицательный спектр для некоторого ε> 0.

В положительный конус C в E определяется как набор элементов а такой, что а имеет положительный спектр. Это условие эквивалентно оператору L(а) быть положительный самосопряженный оператор на E.

• C выпуклый конус в E поскольку положительность самосопряженного оператора Т- свойство строго положительности собственных значений - эквивалентно (Телевидение,v)> 0 для всех v ≠ 0.
• C является открытым, поскольку положительные матрицы открыты в самосопряженных матрицах и L является непрерывным отображением: на самом деле, если наименьшее собственное значение Т есть ε> 0, то Т + S положительно всякий раз, когда ||S|| <ε.
• Закрытие C состоит из всех а такой, что L(а) неотрицательно или, что то же самое, а имеет неотрицательный спектр. Из элементарных свойств выпуклых конусов C это внутренняя часть его закрытия и является правильным конусом. Элементы в закрытии C в точности квадрат элементов в E.
• C самодуальна. Фактически элементы закрытия C просто набор всех квадратов Икс² в Eдвойственный конус задается всеми а такой, что (а,Икс²)> 0. С другой стороны, (а,Икс²) = (L(а)Икс,Икс), так что это равносильно положительности L(а).^[8]

Квадратичное представление

Чтобы показать, что положительный конус C однороден, т.е. имеет транзитивную группу автоморфизмов, обобщение квадратичного действия самосопряженных матриц на самих себя, заданное формулой Икс ↦ YXY должен быть определен. Если Y обратимо и самосопряженно, это отображение обратимо и переносит положительные операторы на положительные.

За а в E, определим эндоморфизм E, называется квадратичное представление, к^[9]

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L\left(a^{2}\right).}}$

Отметим, что для самосопряженных матриц L(Икс)Y = ½(XY + YX), так что Q(Икс)Y = XYX.

Элемент а в E называется обратимый если он обратим в р[а]. Если б обозначает обратное, то спектральное разложение а показывает, что L(а) и L(б) ездить.

Фактически а обратима тогда и только тогда, когда Q(а) обратима. В таком случае

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q\left(a^{-1}\right)=Q(a)^{-1}.}}$

Действительно, если Q(а) обратим, он несет р[а] на себя. С другой стороны, Q(а)1 = а², так

${\displaystyle \displaystyle {\left(Q(a)^{-1}a\right)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1.}}$

Принимая б = а⁻¹ в поляризованном жордановом тождестве дает

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)L\left(a^{-1}\right)=L(a).}}$

Замена а обратное соотношение следует, если L(а) и L(а⁻¹) обратимы. Если нет, то а + ε1 при сколь угодно малом ε, а значит, и в пределе.

• Если а и б обратимы, то также Q(а)б и удовлетворяет обратному тождеству:

  ${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q\left(a^{-1}\right)b^{-1}.}}$

• Квадратичное представление удовлетворяет следующему фундаментальному тождеству:

  ${\displaystyle \displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a).}}$

• В частности, принимая б быть неотрицательными степенями а, по индукции следует, что

  ${\displaystyle \displaystyle {Q\left(a^{m}\right)=Q(a)^{m}.}}$

Эти тождества легко доказать в конечномерной (евклидовой) йордановой алгебре (см. Ниже) или в специальная йорданова алгебра, т.е. йордановой алгебры, определенной ассоциативной алгеброй с единицей.^[10] Они верны в любой йордановой алгебре. Это было предположено Якобсон и доказал в Макдональд (1960): Макдональд показал, что если полиномиальное тождество от трех переменных, линейное по третьей, справедливо в любой специальной йордановой алгебре, то оно верно во всех йордановых алгебрах.^[11]

Фактически для c в А и F(а) функция на А со значениями в конце А, позволятьD_cF(а) - производная при т = 0 из F(а + tc). потом

${\displaystyle \displaystyle {c=D_{c}\left(Q(a)a^{-1}\right)=2\left[(L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac))a^{-1}\right]+Q(a)D_{c}\left(a^{-1}\right)=2c+Q(a)D_{c}\left(a^{-1}\right).}}$

Выражение в квадратных скобках упрощается до c потому что L(а) ездит с L(а⁻¹).

Таким образом

${\displaystyle \displaystyle {D_{c}\left(a^{-1}\right)=-Q(a)^{-1}c.}}$

Применение D_c к L(а⁻¹)Q(а) = L(а) и действуя на б = c⁻¹ дает

${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)b)\left(Q\left(a^{-1}\right)b^{-1}\right)=1.}}$

С другой стороны, L(Q(а)б) обратима на открытом плотном множестве, где Q(а)б также должен быть обратимым с

${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q\left(a^{-1}\right)b^{-1}.}}$

Взяв производную D_c в переменной б в приведенном выше выражении дает

${\displaystyle \displaystyle {-Q(Q(a)b)^{-1}Q(a)c=-Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}c.}}$

Это дает фундаментальное тождество для плотного набора обратимых элементов, поэтому в общем случае следует по непрерывности. Из фундаментального тождества следует, что c = Q(а)б обратим, если а и б обратимы и дает формулу, обратную Q(c). Применяя это к c дает обратное тождество в полной общности.

Наконец, сразу из определений можно проверить, что если ты = 1 − 2е для какого-то идемпотента е, тогда Q(ты) - построенный выше автоморфизм периода 2 для централизаторной алгебры и модуля е.

Однородность положительного конуса

Если а - обратимый оператор и б находится в положительном конусе C, тогда так Q(а)б.

Доказательство этого опирается на элементарные свойства непрерывности собственных значений самосопряженных операторов.^[12]

Позволять Т(т) (α ≤ т ≤ β) - непрерывное семейство самосопряженных операторов на E с Т(α) положительный и Т(β) имеющий отрицательное значение eiegen. Набор S(т)= –Т(т) + M с M > 0 выбрано настолько большим, что S(т) положительна для всех т. Операторная норма ||S(т) || непрерывно. Это меньше чем M за т = α и больше M за т = β. Итак, для некоторого α < s <β, ||S(s) || = M и существует вектор v ≠ 0 такое, что S(s)v = Мв. Особенно Т(s)v = 0, так что Т(s) не обратима.

Предположим, что Икс = Q(а)б не лежит в C. Позволять б(т) = (1 − т) + tb с 0 ≤ т ≤ 1. По выпуклости б(т) лежит в C. Позволять Икс(т) = Q(а)б(т) и Икс(т) = L(Икс(т)). Если Икс(т) обратима для всех т с 0 ≤ т ≤ 1, аргумент собственного значения дает противоречие, поскольку он положителен при т = 0 и имеет отрицательные собственные значения при т = 1. Итак Икс(s) имеет нулевое собственное значение для некоторого s с 0 < s ≤ 1: Икс(s)ш = 0 с ш 0. По свойствам квадратичного представления Икс(т) обратима для всех т. Позволять Y(т) = L(Икс(т)²). Это положительный оператор, поскольку Икс(т)² лежит в C. Позволять Т(т) = Q(Икс(т)) обратимый самосопряженный оператор в силу обратимости Икс(т). С другой стороны, Т(т) = 2Икс(т)² - Y(т). Так (Т(s)ш,ш) <0, поскольку Y(s) положительный и Икс(s)ш = 0. В частности Т(s) имеет отрицательные собственные значения. С другой стороны, оператор Т(0) = Q(а²) = Q(а)² положительный. По аргументу собственного значения Т(т) имеет собственное значение 0 для некоторого т с 0 < т < s, противоречие.

Отсюда следует, что линейные операторы Q(а) с а обратимые, и их обратные, возьмем конус C на себя. В самом деле, обратное Q(а) просто Q(а⁻¹). С Q(а)1 = а², таким образом, существует транзитивная группа симметрий:

C является симметричным конусом.

Евклидова йорданова алгебра симметрического конуса

Строительство

Позволять C - симметричный конус в евклидовом пространстве E. Как и выше, Aut C обозначает замкнутую подгруппу в GL (E) принимая C (или, что то же самое, его замыкание) на себя. Позволять грамм = Aut₀ C быть его компонентом идентичности. K = грамм ∩ O (E). Это максимальная компактная подгруппа группы грамм и стабилизатор точки е в C. Это связано. Группа грамм инвариантен относительно присоединения. Пусть σграмм =(грамм*)⁻¹, автоморфизм периода 2. Таким образом K - подгруппа неподвижных точек в σ. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ быть алгеброй Ли грамм. Таким образом, σ индуцирует инволюцию ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и, следовательно, разложение собственного подпространства ± 1

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}}$

куда ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$, +1 собственное подпространство, является алгеброй Ли K и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ - собственное подпространство −1. Таким образом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$⋅е является аффинным подпространством размерности dim ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. С C = грамм/K открытое подпространство E, следует, что dim E = тусклый ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ и поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$⋅е = E. За а в E позволять L(а) - единственный элемент ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ такой, что L(а)е = а. Определятьа ∘ б = L(а)б. потом E со своей евклидовой структурой, и это билинейное произведение является евклидовой йордановой алгеброй с тождеством 1 = е. Выпуклый конус совпадает C с положительным конусом E.^[13]

Поскольку элементы ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ самосопряжены, L(а)* = L(а). Произведение коммутативно, поскольку [${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$] ⊆ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ уничтожает е, так что ab = L(а)L(б)е = L(б)L(а)е = ба. Осталось проверить тождество Жордана [L(а),L(а²)] = 0.

В ассоциатор дан кем-то [а,б,c] = [L(а),L(c)]б. С [L(а),L(c)] лежит в${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ следует, что [[L(а),L(c)],L(б)] = L([а,б,c]). Заставляя обе стороны действовать c дает

${\displaystyle \displaystyle {[a,b^{2},c]=2[a,b,c]b.}}$

С другой стороны,

${\displaystyle \displaystyle {([b^{2},a,b],c)=(b^{2}(ba)-b(b^{2}a),c)=-(b^{2},[a,b,c])}}$

и аналогично

${\displaystyle \displaystyle {([b^{2},a,b],c)=(b,[a,b^{2},c]).}}$

Объединение этих выражений дает

${\displaystyle \displaystyle {([b^{2},a,b],c)=0,}}$

откуда следует тождество Жордана.

Наконец, положительный конус E совпадает с C. Это зависит от того, что в любой евклидовой йордановой алгебре E

${\displaystyle \displaystyle {Q(e^{a})=e^{2L(a)}.}}$

Фактически Q(е^а) - положительный оператор,Q(е^та) является однопараметрической группой положительных операторов: это следует по непрерывности для рациональных т, где он является следствием поведения властей. Таким образом, он имеет вид exp tX для некоторого самосопряженного оператора Икс. Взяв производную в 0, получаем Икс = 2L(а).

Следовательно, положительный конус задается всеми элементами

${\displaystyle \displaystyle {e^{2a}=Q(e^{a})1=e^{2L(a)}1=e^{X}\cdot 1,}}$

с Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Таким образом, положительный конус E лежит внутри C. Поскольку оба они самодуальны, они должны совпадать.

Группы автоморфизмов и форма следа

Позволять C положительный конус в простой евклидовой йордановой алгебре E. Aut C - замкнутая подгруппа в GL (E) принимая C (или его закрытие) на себя. Позволять грамм = Aut₀ C быть тождественным компонентом Aut C и разреши K - замкнутая подгруппа в грамм фиксация 1. Из теоретико-групповых свойств конусов, K связная компактная подгруппа в грамм и равняется единичной компоненте компактной группы Ли Aut E. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ - алгебры Ли грамм и K. грамм замкнут относительно присоединения и K - подгруппа неподвижных точек автоморфизма периода 2 σ (грамм) = (грамм*)⁻¹. Таким образом K = грамм ∩ ТАК (E). Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ - собственное подпространство σ.

• ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ состоит из производных E которые являются кососопряженными для внутреннего продукта, определенного формой трассировки.
• [[L(а),L(c)],L(б)] = L([а,б,c]).
• Если а и б находятся в E, тогда D = [L(а),L(б)] является производным от E, так что лежит в ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$. Эти выводы охватывают ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$.
• Если а в C, тогда Q(а) лежит в грамм.
• C - связная компонента открытого множества обратимых элементов E содержащий 1. Он состоит из экспонент элементов E а экспоненциальное отображение дает диффеоморфизм E на C.
• Карта а ↦ L(а) дает изоморфизм E на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ и е^L(а) = Q(е^а/2). Это пространство таких экспонент совпадает с п положительные самосопряженные элементы в грамм.
• За грамм в грамм и а в E, Q(грамм(а)) = грамм Q(а) грамм*.

Картановское разложение

• грамм = п ⋅ K = K ⋅ п и разложение грамм = pk соответствует полярное разложение в GL (E).
• Если (е_я) - жорданов фрейм в E, то подпространство ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ охватывает L(е_я) максимально абелева в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. А = exp ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ - абелева подгруппа операторов Q(а) куда а = Σ λ_я е_я с λ_я > 0. А закрыт в п и поэтому грамм. Если б = Σ μ_я е_я с μ_я > 0, то Q(ab)=Q(а)Q(б).
• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ и п являются союзом K переводы ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ и А.

Разложение Ивасавы для конуса

Если E имеет разложение Пирса относительно шкалы Жордана (е_я)

${\displaystyle \displaystyle {E=\bigoplus _{i\leq j}E_{ij},}}$

тогда ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ диагонализуется этим разложением с L(а) действующий как (α_я + α_j) / 2 на E_ij, куда а = ∑ α_я е_я.

Определите закрытую подгруппу S из грамм к

${\displaystyle \displaystyle {S=\{g\in G|gE_{ij}\subseteq \bigoplus _{(p,q)\geq (i,j)}E_{pq}\},}}$

где упорядочение по парам п ≤ q является лексикографический. S содержит группу А, поскольку он действует как скаляр на E_ij. Если N замкнутая подгруппа в S такой, что nx = Икс по модулю ⊕_{(п,q) > (я,j)} E_pq, тогда S = AN = NA, а полупрямой продукт с А нормализация N. Более того, грамм имеет следующие Разложение Ивасавы:

${\displaystyle \displaystyle {G=KAN.}}$

За я ≠ j позволять

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}_{ij}=\{X\in {\mathfrak {g}}:[L(a),X]={1 \over 2}(\alpha _{i}-\alpha _{j})X,\,\,\,\mathrm {for} \,\,\,a=\sum \alpha _{i}e_{i}\}.}}$

Тогда алгебра Ли N является

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {n}}=\bigoplus _{i<j}{\mathfrak {g}}_{ij},\,\,\,\,{\mathfrak {g}}_{ij}=\{L(a)+2[L(a),L(e_{i})]:a\in E_{ij}\}.}}$

Принимая упорядоченные ортонормированные базисы E_ij дает основу E, используя лексикографический порядок пар (я,j). Группа N является нижним унитреугольником, а его алгебра Ли нижнетреугольной. В частности, экспоненциальное отображение - это полиномиальное отображение ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ на N, с полиномом, обратным логарифмом.

Комплексификация евклидовой йордановой алгебры

Определение комплексификации

Позволять E - евклидова йорданова алгебра. Комплексификация E_C = E ⊕ iE имеет естественную операцию сопряжения (а + ib)* = а − ib и естественный сложный внутренний продукт и норма. Продукт Jordan на E распространяется билинейно на E_C, так что (а + ib)(c + я бы) = (ac − bd) + я(объявление + до н.э). Если умножение определяется как L(а)б = ab то аксиома Жордана

${\displaystyle \displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0}}$

все еще выполняется аналитическим продолжением. Действительно, указанное выше тождество выполняется, когда а заменяется на а + tb за т настоящий; и поскольку левая часть является многочленом со значениями в End E_C исчезновение по-настоящему т, он также исчезает т сложный. Аналитическое продолжение также показывает, что все формулы, включающие степенную ассоциативность для одного элемента а в E, включая формулы рекурсии для L(а^м), также удерживайте E_C. Поскольку для б в E, L(б) по-прежнему самосопряжен на E_C, сопряженное отношение L(а*) = L(а) * выполняется для а в E_C. Аналогично симметричная билинейная форма β (а,б) = (а,б*) удовлетворяет β (ab,c) = β (б,ac). Если внутренний продукт происходит из формы следа, то β (а,б) = Tr L(ab).

За а в E_C, квадратичное представление, как и раньше, определяется формулой Q(а)=2L(а)² − L(а²). При аналитическом продолжении фундаментальное тождество остается в силе:

${\displaystyle \displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),\,\,\,Q(a^{m})=Q(a)^{m}\,\,(m\geq 0).}}$

Элемент а в E называется обратимый если он обратим в C[а]. Ассоциативность мощности показывает, что L(а) и L(а⁻¹) ездить. Более того, а⁻¹ обратима с обратным а.

Как в E, а обратима тогда и только тогда, когда Q(а) обратима. В таком случае

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q(a^{-1})=Q(a)^{-1}.}}$

Действительно, что касается E, если Q(а) обратим, он несет C[а] на себя, а Q(а)1 = а², так

${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)^{-1}a)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1,}}$

так а обратимо. И наоборот, если а обратима, принимая б = а⁻² в фундаментальном тождестве показывает, что Q(а) обратима. Замена а к а⁻¹ и б к а затем показывает, что его обратное Q(а⁻¹). Наконец, если а и б обратимы, то также c = Q(а)б и удовлетворяет обратному тождеству:

${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}}$

Обратимость c следует из основной формулы, которая дает Q(c) = Q(а)Q(б)Q(а). Следовательно

${\displaystyle \displaystyle {c^{-1}=Q(c)^{-1}c=Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}b=Q(a)^{-1}b^{-1}.}}$

Формула

${\displaystyle \displaystyle {Q(e^{a})=e^{2L(a)}}}$

также следует из аналитического продолжения.

Комплексификация группы автоморфизмов

Aut E_C это комплексирование of the compact Lie group Aut E в GL (E_C). This follows because the Lie algebras of Aut E_C and Aut E consist of derivations of the complex and real Jordan algebras E_C и E. Under the isomorphism identifying End E_C with the complexification of End E, the complex derivations is identified with the complexification of the real derivations.^[14]

Структурные группы

The Jordan operator L(а) are symmetric with respect to the trace form, so that L(а)^т = L(а) за а в E_C. The automorphism groups of E и E_C consist of invertible real and complex linear operators грамм такой, что L(га) = gL(а)грамм⁻¹ и g1 = 1. Aut E_C is the complexification of Aut E. Since an automorphism грамм сохраняет форму следа, грамм⁻¹ = грамм^т.

В structure groups из E и E_C consist of invertible real and complex linear operators грамм такой, что

${\displaystyle \displaystyle {Q(ga)=gQ(a)g^{t}.}}$

They form groups Γ(E) and Γ(E_C) with Γ(E) ⊂ Γ(E_C).

• Структурная группа закрыта при переносе грамм ↦ грамм^т и примыкает грамм ↦ грамм*.
• Структурная группа содержит группу автоморфизмов. Группу автоморфизмов можно отождествить со стабилизатором единицы в структурной группе.
• Если а is invertible, Q(а) лежит в структурной группе.
• Если грамм находится в структурной группе и а is invertible, га также обратимо с (га)⁻¹ = (грамм^т)⁻¹а⁻¹.
• Если E is simple, Γ(E) = Aut C × {±1}, Γ(E) ∩ O(E) = Aut E × {±1} and the identity component of Γ(E) acts transitively on C.
• Γ (E_C) is the complexification of Γ(E), which has Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$.
• Структурная группа Γ (E_C) действует транзитивно на множестве обратимых элементов в E_C.
• Каждый грамм в Γ (E_C) имеет вид грамм = час Q(а) с час автоморфизм и а обратимый.

В унитарная структурная группа Γ_ты(E_C) - подгруппа группы Γ (E_C) consisting of unitary operators, so that Γ_ты(E_C) = Γ (E_C) ∩ U (E_C).

• Стабилизатор 1 в Γ_ты(E_C) является Aut E.
• Каждый грамм в Γ_ты(E_C) имеет вид грамм = час Q(ты) с час в Aut E и ты обратимый в E_C с ты* = ты⁻¹.
• Γ (E_C) - комплексификация Γ_ты(E_C), which has Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}}$.
• Набор S обратимых элементов ты такой, что ты* = ты⁻¹ можно эквивалентно охарактеризовать как ты для которого L(ты) - нормальный оператор с уу* = 1 или как те ты of the form exp я для некоторых а в E. Особенно S подключен.
• Компонента идентичности Γ_ты(E_C) acts transitively on S
• грамм в GL (E_C) is in the unitary structure group if and only if gS = S
• Given a Jordan frame (е_я) и v в E_C, есть оператор ты в компоненте единицы графа Γ_ты(E_C) такие, что УФ = ∑ α_я е_я с α_я ≥ 0. Если v обратима, то α_я > 0.

Given a frame (е_я) in a Euclidean Jordan algebra E, то restricted Weyl group can be identified with the group of operators on ⊕ р е_я arising from elements in the identity component of Γ_ты(E_C) that leave ⊕ р е_я инвариантный.

Спектральная норма

Позволять E be a Euclidean Jordan algebra with the inner product given by the trace form. Позволять (е_я) be a fixed Jordan frame in E. For given а в E_C выберите ты in Γ_ты(E_C) такие, чтоua = ∑ α_я е_я с α_я ≥ 0. Then the спектральная норма ||а|| = max α_я is independent of all choices. It is a norm on E_C с

${\displaystyle \displaystyle {\|a^{*}\|=\|a\|,\,\,\,\|\{a,a^{*},a\}\|=\|a\|^{3}.}}$

In addition ||а||² дается норма оператора из Q(а) on the inner product space E_C. The fundamental identity for the quadratic representation implies that ||Q(а)б|| ≤ ||а||²||б||. The spectral norm of an element а определяется в терминах C[а] so depends only on а and not the particular Euclidean Jordan algebra in which it is calculated.^[15]

The compact set S это набор крайние точки of the closed unit ball ||Икс|| ≤ 1. Each ты в S has norm one. Более того, если ты = е^я и v = е^ib, then ||УФ|| ≤ 1. Indeed, by the Cohn–Shirshov theorem the unital Jordan subalgebra of E создано а и б is special. The inequality is easy to establish in non-exceptional simple Euclidean Jordan algebras, since each such Jordan algebra and its complexification can be realized as a subalgebra of some H_п(р) and its complexification ЧАС_п(C) ⊂ M_п(C). The spectral norm in ЧАС_п(C) is the usual operator norm. In that case, for unitary matrices U и V в M_п(C), clearly ||½(УФ + VU) || ≤ 1. The inequality therefore follows in any special Euclidean Jordan algebra and hence in general.^[16]

On the other hand, by the Теорема Крейна – Мильмана, the closed unit ball is the (closed) convex span из S.^[17] It follows that ||L(ты) || = 1, in the operator norm corresponding to either the inner product norm or spectral norm. Hence ||L(а)|| ≤ ||а|| для всех а, so that the spectral norm satisfies

${\displaystyle \displaystyle {\|ab\|\leq \|a\|\cdot \|b\|.}}$

Следует, что E_C это Jordan C* algebra.^[18]

Complex simple Jordan algebras

The complexification of a simple Euclidean Jordan algebra is a simple complex Jordan algebra which is also отделяемый, i.e. its trace form is non-degenerate. Conversely, using the existence of a реальная форма of the Lie algebra of the structure group, it can be shown that every complex separable simple Jordan algebra is the complexification of a simple Euclidean Jordan algebra.^[19]

To verify that the complexification of a simple Euclidean Jordan algebra E has no ideals, note that if F is an ideal in E^C then so too is F^⊥, the orthogonal complement for the trace norm. As in the real case, J = F^⊥ ∩ F must equal (0). For the associativity property of the trace form shows that F^⊥ is an ideal and that ab = 0, если а и б роды J. Следовательно J это идеал. Но если z в J, L(z) берет E_C в J и J into (0). Hence Tr L(z) = 0. Since J is an ideal and the trace form degenerate, this forces z = 0. It follows that E_C = F ⊕ F^⊥. Если п is the corresponding projection onto F, it commutes with the operators L(а) и F^⊥ = (я − п)E_C. is also an ideal and E = F ⊕ F^⊥. Кроме того, если е = п(1), then п = L(е). In fact for а в E

${\displaystyle \displaystyle {ea=ae=L(a)P(1)=P(L(a)1)=P(a),}}$

так что еа = а за а в F and 0 for а в F^⊥. Особенно е и 1 - е ортогональны центральный idempotents with L(е) = п и L(1 − е) = я − п.

So simplicity follows from the fact that the center of E_C is the complexification of the center of E.

Symmetry groups of bounded domain and tube domain

According to the "elementary approach" to bounded symmetric space of Koecher,^[20] Hermitian symmetric spaces of noncompact type can be realized in the complexification of a Euclidean Jordan algebra E as either the open unit ball for the spectral norm, a bounded domain, or as the open tube domain Т = E + IC, куда C is the positive open cone in E. In the simplest case where E = р, усложнение E просто C, the bounded domain corresponds to the open unit disk and the tube domain to the upper half plane. Both these spaces have transitive groups of biholomorphisms given by Möbius transformations, corresponding to matrices in СУ (1,1) или же SL (2,р). They both lie in the Riemann sphere C ∪ {∞}, the standard one-point compactification of C. Moreover, the symmetry groups are all particular cases of Möbius transformations corresponding to matrices in SL (2,C). This complex Lie group and its maximal compact subgroup SU (2) act transitively on the Riemann sphere. The groups are also algebraic. They have distinguished generating subgroups and have an explicit description in terms of generators and relations. Moreover, the Cayley transform gives an explicit Möbius transformation from the open disk onto the upper half plane. All these features generalize to arbitrary Euclidean Jordan algebras.^[21] The compactification and complex Lie group are described in the next section and correspond to the dual Hermitian symmetric space of compact type. In this section only the symmetries of and between the bounded domain and tube domain are described.

Jordan frames provide one of the main Jordan algebraic techniques to describe the symmetry groups. Each Jordan frame gives rise to a product of copies of р и C. The symmetry groups of the corresponding open domains and the compactification—polydisks and polyspheres—can be deduced from the case of the unit disk, the upper halfplane and Riemann sphere. All these symmetries extend to the larger Jordan algebra and its compactification. The analysis can also be reduced to this case because all points in the complex algebra (or its compactification) lie in an image of the polydisk (or polysphere) under the unitary structure group.

Определения

Позволять E be a Euclidean Jordan algebra with complexification А = E_C = E + iE.

The unit ball or disk D в А is just the convex bounded open set of elementsа such the ||а|| < 1, i.e. the unit ball for the spectral norm.

The tube domain Т в А is the unbounded convex open set Т = E + IC, куда C is the open positive cone in E.

Преобразования Мебиуса

Группа SL (2,C) действует Преобразования Мебиуса на Сфера Римана C ∪ {∞}, одноточечная компактификация из C. Если грамм в SL (2,C) задается матрицей

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},}}$

тогда

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=(\alpha z+\beta )(\gamma z+\delta )^{-1}.}}$

Similarly the group SL(2,р) acts by Möbius transformations on the circle р ∪ {∞}, the one-point compactification of р.

Позволять k = р или же C. Then SL(2,k) is generated by the three subgroups of lower and upper unitriangular matrices, L и U ', and the diagonal matrices D. Он также генерируется нижними (или верхними) унитреугольными матрицами, диагональными матрицами и матрицей

${\displaystyle \displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}}$

Матрица J соответствует преобразованию Мёбиуса j(z) = −z⁻¹ и может быть написано

${\displaystyle \displaystyle {J={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}.}}$

The Möbius transformations fixing ∞ are just the upper triangular matrices B = UD = DU. Если грамм не фиксирует ∞, он переводит ∞ в конечную точку а. Но потом грамм can be composed with an upper unitriangular matrix to send а до 0, а затем с J отправить 0 до бесконечности. This argument gives the one of the simplest examples of the Разложение Брюа:

${\displaystyle \displaystyle {\mathbf {SL} (2,k)=\mathbf {B} \cup \mathbf {B} \cdot J\cdot \mathbf {B} ,}}$

двойное разложение смежных классов SL (2,k). На самом деле объединение не пересекается и может быть записано более точно как

${\displaystyle \displaystyle {\mathbf {SL} (2,k)=\mathbf {B} \cup \mathbf {B} \cdot J\cdot \mathbf {U} ,}}$

где продукт, входящий во второй член, является прямым.

Теперь позвольте

${\displaystyle \displaystyle {T(\beta )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}.}}$

потом

${\displaystyle \displaystyle {{\begin{pmatrix}\alpha &0\\0&\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}=JT(\alpha ^{-1})JT(\alpha )JT(\alpha ^{-1}).}}$

Следует SL (2,k) порождается группой операторов Т(β) и J при соблюдении следующих отношений:

• β ↦ Т(β) аддитивный гомоморфизм
• α ↦ D(α) = JT(α⁻¹)JT(α)JT(α⁻¹) является мультипликативным гомоморфизмом
• D(−1) = J
• D(α)Т(β)D(α)⁻¹ = Т(α²β)
• JD(α)J⁻¹ = D(α)⁻¹

Последнее соотношение следует из определения D(α). Генератор и отношения, приведенные выше, на самом деле представляют собой представление SL (2,k). Действительно, рассмотрим свободную группу Φ, порожденную J и Т(β) с J порядка 4 и его центральной площади. Состоит из всех продуктовТ(β₁)JT(β₂)JT(β₃)J ... Т(β_м)J за м ≥ 0. Существует естественный гомоморфизм Φ на SL (2,k). Его ядро ​​содержит нормальную подгруппу Δ, порожденную указанными выше соотношениями. Таким образом, существует естественный гомоморфизм Φ / ∆ на SL (2,k). Чтобы показать его инъективность, достаточно показать, что разложение Брюа имеет место и в Φ / Δ. Достаточно доказать первую версию, поскольку более точная версия следует из коммутационных соотношений между J иD(α). Набор B ∪ B J B инвариантен относительно обращения, содержит операторы Т(β) и J, поэтому достаточно показать, что он инвариантен относительно умножения. По построению он инвариантен относительно умножения на B. Он инвариантен относительно умножения на J из-за определяющего уравнения для D(α).^[22]

В частности, центр SL (2,k) состоит из скалярных матриц ±я и это единственная нетривиальная нормальная подгруппа группы SL (2,k), так что PSL (2,k) = SL (2,k)/{±я} является просто.^[23] Фактически, если K нормальная подгруппа, то из разложения Брюа следует, что B - максимальная подгруппа, так что либо K содержится в B или жеКБ = SL (2,k). В первом случае K фиксирует одну точку и, следовательно, каждую точку k ∪ {∞}, поэтому лежит в центре. Во втором случае коммутаторная подгруппа из SL (2,k) - это вся группа, так как это группа, порожденная нижними и верхними унитреугольными матрицами, а четвертое соотношение показывает, что все такие матрицы являются коммутаторами, поскольку [Т(β),D(α)] = Т(β - α²β). Письмо J = kb с k в K и б в B, следует, что L = k U k⁻¹. С U и L сгенерировать всю группу, SL (2,k) = KU. Но потом SL (2,k)/K ≅ U/U ∩ K. Правая часть здесь абелева, а левая часть представляет собой собственную коммутаторную подгруппу. Следовательно, это должна быть тривиальная группа и K = SL (2,k).

Учитывая элемент а в комплексной йордановой алгебре А = E_C, унитальная йорданова подалгебра C[а] ассоциативно и коммутативно. Умножение на а определяет оператор на C[а] который имеет спектр, а именно набор комплексных собственных значений. Если п(т) - комплексный многочлен, то п(а) определяется в C[а]. Он обратим в А тогда и только тогда, когда он обратим вC[а], что происходит именно тогда, когда п не исчезает на спектре а. Это позволяет рациональные функции из а быть определенным всякий раз, когда функция определена на спектре а. Если F и грамм являются рациональными функциями с грамм и F∘грамм определено на а, тогдаF определяется на грамм(а) и F(грамм(а)) = (F∘грамм)(а). Это, в частности, относится к комплексным преобразованиям Мёбиуса, которые могут быть определены какграмм(а) = (αа + β1) (γа + δ1)⁻¹. Они ушли C[а] инвариантен и, если он определен, выполняется закон состава группы. (В следующем разделе мы определим комплексные преобразования Мёбиуса на компактификации А.)^[24]

Учитывая примитивный идемпотент е в E с разложением Пирса

${\displaystyle \displaystyle {E=E_{1}(e)\oplus E_{1/2}(e)\oplus E_{0}(e),\,\,\,\,A=A_{1}(e)\oplus A_{1/2}(e)\oplus A_{0}(e).}}$

действие SL (2,C) преобразованиями Мёбиуса на E₁(е) = C е может быть расширен до действия на А так что действие оставляет неизменными компоненты А_я(е) и, в частности, действует тривиально на E₀(е).^[25] Если п₀ это проекция на А₀(е), действие задается формулой

${\displaystyle \displaystyle {g(ze\oplus x_{1/2}\oplus x_{0})={\alpha z+\beta \over \gamma z+\delta }\cdot e\oplus (\gamma z+\delta )^{-1}x_{1/2}\oplus x_{0}-(\gamma z+\delta )^{-1}P_{0}(x_{1/2}^{2}).}}$

Для жордановой системы примитивных идемпотентов е₁, ..., е_м, действия SL (2,C) связаны с различными е_я коммутируют, таким образом давая действие SL (2,C)^м. Диагональная копия SL (2,C) снова дает действие преобразований Мёбиуса на А.

Преобразование Кэли

Смотрите также: Преобразование Кэли

Преобразование Мёбиуса, определенное формулой

${\displaystyle \displaystyle {C(z)=i{1+z \over 1-z}=-i+{2i \over 1-z}}}$

называется Преобразование Кэли. Его обратное дается

${\displaystyle \displaystyle {P(w)={w-i \over w+i}=1-{2i \over w+i}.}}$

Обратное преобразование Кэли переносит реальную прямую на окружность без точки 1. Он несет верхнюю полуплоскость на единичный диск, а нижнюю полуплоскость - на дополнение замкнутого единичного диска. В теория операторов отображение Т ↦ п(Т) принимает самосопряженные операторы Т на унитарные операторы U не содержащие 1 в своем спектре. Для матриц это следует потому, что унитарные и самосопряженные матрицы могут быть диагонализованы, а их собственные значения лежат на единичной окружности или вещественной прямой. В этом конечномерном случае преобразование Кэли и обратное к нему устанавливают биекцию между матрицами операторной нормы меньше единицы и операторами с мнимой частью положительным оператором. Это особый случай для А = M_п(C) результата йордановой алгебры, объясняемого ниже, который утверждает, что преобразование Кэли и его обратное устанавливают взаимно однозначное соответствие между ограниченной областью D и трубчатая область Т.

В случае матриц биекция следует из резольвантных формул.^[26] Фактически, если мнимая часть Т положительно, то Т + я обратима, поскольку

${\displaystyle \displaystyle {\|(T+iI)x\|^{2}=\|(T-iI)x\|^{2}+4(\mathrm {Im} (T)x,x).}}$

В частности, установка у = (Т + я)Икс,

${\displaystyle \displaystyle {\|y\|^{2}=\|P(T)y\|^{2}+4(\mathrm {Im} (T)x,x).}}$

Эквивалентно

${\displaystyle \displaystyle {I-P(T)^{*}P(T)=4(T^{*}-iI)^{-1}[\mathrm {Im} \,T](T+iI)^{-1}}}$

- положительный оператор, так что ||п(Т) || <1. Наоборот, если ||U|| <1 тогда я− U обратима и

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Im} \,C(U)=(2i)^{-1}[C(U)-C(U)^{*}]=(1-U^{*})^{-1}[I-U^{*}U](I-U)^{-1}.}}$

Поскольку преобразование Кэли и обратное к нему коммутируют с транспонированием, они также устанавливают биекцию для симметричных матриц. Это соответствует йордановой алгебре симметричных комплексных матриц, комплексификации ЧАС_п(р).

В А = E_C Вышеупомянутые тождества резольвантов принимают следующий вид:^[27]

${\displaystyle \displaystyle {Q(1-u^{*})Q(C(u)+C(u^{*}))Q(1-u)=-4B(u^{*},u)}}$

и эквивалентно

${\displaystyle \displaystyle {4Q(\mathrm {Im} \,a)=Q(a^{*}-i)B(P(a)^{*},P(a))Q(a+i),}}$

где оператор Бергмана B(Икс,у) определяется B(Икс,у) = я − 2р(Икс,у) + Q(Икс)Q(у) с р(Икс,у) = [L(Икс),L(у)] + L(ху). Обратные здесь хорошо определены. Фактически в одном направлении 1 − ты обратима при ||ты|| <1: это следует либо из того факта, что норма удовлетворяет ||ab|| ≤ ||а|| ||б||; или используя тождество резольванта и обратимость B(ты*,ты) (Смотри ниже). В обратном направлении, если мнимая часть а в C затем мнимая часть L(а) положительно определен, так что а обратимо. Этот аргумент можно применить к а + я, так что он тоже обратимый.

Чтобы установить соответствие, достаточно проверить его при E это просто. В этом случае из связности Т и D и потому что:

* За Икс в E, Q(Икс) является положительным оператором тогда и только тогда, когда Икс или же −Икс лежит в C

• B(а*,а) является положительным оператором тогда и только тогда, когда а или его обратная (если обратимая) лежит в D

Первый критерий следует из того, что собственные значения Q(Икс) точно λ_яλ_j если собственные значения Икс находятся λ_я. Итак λ_я либо все положительные, либо все отрицательные. Второй критерий следует из того, что еслиа = ты ∑ α_я е_я = ux с α_я ≥ 0 и ты в Γ_ты(E_C), тогда B(а*,а) = ты*Q(1 − Икс²)ты имеет собственные значения (1 - α_я²) (1 - α_j²). Итак α_я либо все меньше единицы, либо все больше единицы.

Резольвантное тождество является следствием следующего тождества для а и б обратимый

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)Q(a^{-1}+b^{-1})Q(b)=Q(a+b).}}$

Фактически в этом случае соотношения для квадратичной йордановой алгебры подразумевать

${\displaystyle \displaystyle {R(a,b)=2Q(a)Q(a^{-1},b)=2Q(a,b^{-1})Q(b)}}$

так что

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)=Q(a)Q(a^{-1}-b)=Q(b^{-1}-a)Q(b).}}$

Равенство двух последних слагаемых влечет тождество, заменяя б к −б⁻¹.

Теперь установите а = 1 − Икс и б = 1 − у. Резольвантная идентичность является частным случаем более следующей более общей идентичности:

${\displaystyle \displaystyle {Q(1-x)Q(C(x)+C(y))Q(1-y)=-4B(x,y).}}$

Фактически

${\displaystyle \displaystyle {C(x)+C(y)=-2i(1-a^{-1}-b^{-1}),}}$

так что идентичность эквивалентна

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)Q(1-a^{-1}-b^{-1})Q(b)=B(1-a,1-b).}}$

Использование указанного выше идентификатора вместе с Q(c)L(c⁻¹) = L(c), левая часть равна Q(а)Q(б) + Q(а + б) − 2L(а)Q(б) − 2Q(а)L(б). Правая часть равна 2L(а)L(б) + 2L(б)L(а) − 2L(ab) − 2L(а)Q(б) − 2Q(а)L(б) + Q(а)Q(б) + Q(а) + Q(б). Они равны по формуле ½[Q(а + б) − Q(а) − Q(б)] = L(а)L(б) + L(б)L(а) − L(ab).

Группа автоморфизмов ограниченной области

Преобразования Мёбиуса в СУ (1,1) несут ограниченную область D на себя.

Если а лежит в ограниченной области D, тогда а − 1 обратимо. С D инвариантна относительно умножения на скаляры по модулю ≤ 1, отсюда следует, чтоа - λ обратима при | λ | ≥ 1. Следовательно, при ||а|| ≤ 1, а - λ обратима при | λ | > 1. Отсюда следует, что преобразование Мёбиуса га определено для ||а|| ≤ 1 и грамм в СУ (1,1). Где определено, это инъективно. Он голоморфен на D. Посредством принцип максимального модуля, чтобы показать, что грамм карты D на D достаточно показать это карты S на себя. В этом случае грамм и его обратное сохранение D так должно быть сюръективно. Если ты = е^ix с Икс = ∑ ξ_яе_я в E, тогда гу лежит в ⊕ C е_я. Это коммутативная ассоциативная алгебра, и спектральная норма является нормой супремума. С ты = ∑ ς_яе_я с | ς_я| = 1, то гу = ∑ грамм(ς_я)е_я где |грамм(ς_я) | = 1. Итак гу лежит в S.

Унитарная структурная группа E_C несет D на себя.

Это прямое следствие определения спектральной нормы.

Группа преобразований СУ (1,1)^м соответствующий жордановой шкале несет D на себя.

Это уже известно для преобразований Мёбиуса, т. Е. Диагонали в СУ (1,1)^м. Для диагональных матриц в фиксированной компоненте в СУ (1,1)^м потому что они соответствуют преобразованиям в унитарной структурной группе. Сопряжение преобразованием Мебиуса эквивалентно сопряжению матрицей в этом компоненте. Поскольку единственная нетривиальная нормальная подгруппа группы СУ (1,1) является его центром, каждая матрица фиксированного компонента несет D на себя.

D это ограниченная симметричная область.

Учитывая элемент в D преобразование компонента идентичности унитарной структурной группы переносит его в элемент в ⊕ C е_я с нормой супремума меньше 1. Преобразование в СУ (1,1)^м переводит его на ноль. Таким образом, существует транзитивная группа биголоморфных преобразований D. Симметрия z ↦ −z является биголоморфным преобразованием Мёбиуса, фиксирующим только 0.

Биголоморфные отображения D на себя, которые фиксируют начало координат, задаются унитарной структурной группой.

Если ж является биголоморфным отображением D с ж(0) = 0 и производная я при 0, тогда ж должно быть личность.^[28] Если не, ж имеет расширение ряда Тейлора ж(z) = z + ж_k + ж_{k + 1}(z) + ⋅⋅⋅ с ж_я однородный по степени яи ж_k ≠ 0. Но потом ж^п(z) = z + п ж_k(z). Позволять ψ быть функционалом в А* нормы один. Тогда для фиксированного z в D, голоморфные функции комплексного переменного ш данный час_п(ш) = ψ (ж^п(wz)) должен иметь модуль меньше 1 для |ш| <1. Автор Неравенство Коши, коэффициенты при ш^k должна быть равномерно ограничена независимо от п, что невозможно, если ж_k ≠ 0.

Если грамм является биголоморфным отображением D на себя, просто фиксируя 0, тогда, если час(z) = е^яα zотображение ж = грамм ∘ час ∘ грамм⁻¹ ∘ час^−α исправляет 0 и имеет производную я там. Следовательно, это карта идентичности. Так грамм(е^яα z) = е^яαграмм(z) для любого α. Из этого следует грамм является линейным отображением. Поскольку он отображает D на себя он отображает замыкание на себя. В частности, он должен отображать границу Шилова S на себя. Это заставляет грамм быть в унитарной структурной группе.

Группа грамм_D биголоморфных автоморфизмов D порождается унитарной структурной группой K_D и преобразования Мёбиуса, связанные с жордановым репером. Если А_D обозначает подгруппу таких преобразований Мёбиуса, фиксирующих ±1, то справедлива формула разложения Картана: грамм_D = K_D А_D K_D.

Орбита 0 под А_D это множество всех точек ∑ α_я е_я с −1 <α_я < 1. Орбита этих точек относительно унитарной структурной группы - это все D. Разложение Картана следует потому, что K_D является стабилизатором 0 в грамм_D.

Центр грамм_D тривиально.

Фактически, единственная точка, фиксированная (тождественным компонентом) K_D в D равно 0. Из единственности следует, что центр из грамм_D должен зафиксировать 0. Отсюда следует, что центр грамм_D лежит в K_D. Центр K_D изоморфна круговой группе: поворот на θ соответствует умножению на е^яθ на D так лежит в СУ (1,1) / {± 1}. Поскольку эта группа имеет тривиальный центр, центр группы грамм_D тривиально.^[29]

K_D - максимальная компактная подгруппа в грамм_D.

Фактически любая более крупная компактная подгруппа пересекалась бы А_D нетривиально и нет нетривиальных компактных подгрупп.

Обратите внимание, что грамм_D является группой Ли (см. ниже), так что указанные выше три утверждения верны с грамм_D и K_D заменены их компонентами идентичности, то есть подгруппами, порожденными их однопараметрическими куб-группами. Единственность максимальной компактной подгруппы с точностью до сопряженности следует из общий аргумент или может быть выведен для классических областей непосредственно с помощью Закон инерции Сильвестра следующий Сугиура (1982).^[30] Для примера эрмитовых матриц над C, это сводится к доказательству того, что U (п) × U (п) с точностью до сопряженности единственная максимальная компактная подгруппа в U (п,п). Фактически, если W = C^п ⊕ (0), тогда U (п) × U (п) является подгруппой U (п,п) сохранение W. Ограничение эрмитовой формы, заданное внутренним произведением на W минус внутренний продукт на (0) ⊕ C^п.С другой стороны, если K компактная подгруппа в U (п,п), Существует K-инвариантный внутренний продукт на C^2п полученный усреднением любого скалярного произведения по мере Хаара на K. Эрмитова форма соответствует ортогональному разложению на два подпространства размерности п оба инвариантны относительно K с формой положительно определенного на одном и отрицательно определенного на другом. По закону инерции Сильвестра, учитывая два подпространства размерности п на которой эрмитова форма положительно определена, одна переносится на другую элементом U (п,п). Следовательно, есть элемент грамм из U (п,п) такое, что положительно определенное подпространство задается формулой гВт. Так гкг⁻¹ листья W инвариант и гкг⁻¹ ⊆ U (п) × U (п).

Похожий аргумент с кватернионы заменяя комплексные числа, показывает единственность для симплектической группы, которая соответствует эрмитовым матрицам над р. Это также можно увидеть более непосредственно, используя сложные конструкции. Сложная структура - это обратимый оператор J с J² = −я сохраняя симплектическую форму B и такой, что -B(Jx,у) - настоящий внутренний продукт. Симплектическая группа действует транзитивно на комплексных структурах сопряжением. Более того, подгруппа, коммутирующая с J естественно отождествляется с унитарной группой для соответствующего комплексного внутреннего пространства продукта. Единственность следует из доказательства того, что любая компактная подгруппа K ездит с некоторой сложной структурой J. Фактически, усредняя по мере Хаара, существует K-инвариантный внутренний продукт на нижележащем пространстве. Симплектическая форма дает обратимый кососопряженный оператор Т добираясь до K. Оператор S = −Т² положительный, поэтому имеет единственный положительный квадратный корень, который коммутирует с K. Так J = S^−1/2Т, фаза Т, имеет квадрат -я и ездит с K.

Группа автоморфизмов трубчатой ​​области

Существует Картановское разложение за грамм_Т соответствует действию на трубку Т = E + IC:

${\displaystyle \displaystyle {G_{T}=K_{T}A_{T}K_{T}.}}$

• K_Т стабилизатор я в IC ⊂ Т, поэтому максимальная компактная подгруппа в грамм_Т. Под преобразованием Кэли, K_Т соответствует K_D, стабилизатор 0 в ограниченной симметричной области, где он действует линейно. С грамм_Т полупросто, каждое максимальная компактная подгруппа сопряжен с K_Т.
• Центр грамм_Т или же грамм_D тривиально. Фактически единственная точка, зафиксированная K_D в D равен 0. Единственность означает, что центр из грамм_D должен зафиксировать 0. Отсюда следует, что центр грамм_D лежит в K_D а значит, центр грамм_Т лежит в K_Т. Центр K_D изоморфна круговой группе: поворот на θ соответствует умножению на е^яθ на D. В преобразовании Кэли это соответствует Преобразование Мёбиуса z ↦ (cz + s)(−sz + c)⁻¹ куда c = cos θ / 2 и s = грех θ / 2. (В частности, когда θ = π, это дает симметрию j(z) = −z⁻¹.) Фактически все преобразования Мёбиуса z ↦ (αz + β) (- γz + δ)⁻¹ с αδ - βγ = 1 лежат в грамм_Т. Поскольку PSL (2,р) имеет тривиальный центр, центр грамм_Т тривиально.^[31]
• А_Т задается линейными операторами Q(а) с а = ∑ α_я е_я с α_я > 0.

Фактически разложение Картана для грамм_Т следует из разложения для грамм_D. Данный z в D, есть элемент ты в K_D, компонент идентичности Γ_ты(E_C), так что z = ты ∑ α_jе_j с α_j ≥ 0. Поскольку ||z|| <1, следует, что α_j < 1. Принимая преобразование Кэли z, следует, что каждый ш в Т можно написать ш = k∘ C ∑ α_jе_j, с C преобразование Кэли и k в K_Т. СC ∑ α_яе_я = ∑ β_jе_j я сβ_j = (1 + α_j) (1 - α_j)⁻¹, смысл ш имеет форму ш =ка(я) с а в А. Следовательно грамм_Т = K_ТА_ТK_Т.

3-градуированные алгебры Ли

Разложение Ивасавы

Существует Разложение Ивасавы за грамм_Т соответствует действию на трубку Т = E + IC:^[32]

${\displaystyle \displaystyle {G_{T}=K_{T}A_{T}N_{T}.}}$

• K_Т стабилизатор я в IC ⊂ Т.
• А_Т задается линейными операторами Q(а) куда а = ∑ α_я е_я с α_я > 0.
• N_Т является нижней унитреугольной группой на E_C. Это полупрямое произведение унипотентной треугольной группы N появляется в разложении Ивасавы грамм (группа симметрии C) и N₀ = E, группа переводов Икс ↦ Икс + б.

Группа S = AN действует на E линейно и сопряжение на N₀ воспроизводит это действие. Поскольку группа S действует просто транзитивно на C, следует, что AN_Т=S⋅N₀ действует просто транзитивно на Т = E + IC. Позволять ЧАС_Т быть группой биголоморфизмы трубки Т. Преобразование Кэли показывает, что она изоморфна группе ЧАС_D биголоморфизмов ограниченной области D. С AN_Т действует просто транзитивно на трубке Т пока K_Т исправления IC, они имеют тривиальное пересечение.

Данный грамм в ЧАС_Т, брать s в AN_Т такой, что грамм⁻¹(я)=s⁻¹(я). тогда GS⁻¹ исправления я и поэтому лежит в K_Т. Следовательно ЧАС_Т = K_Т ⋅А⋅N_Т. Итак, продукт - это группа.

Структура группы Ли

В результате Анри Картан, ЧАС_D группа Ли. Оригинальное доказательство Картана представлено в Нарасимхан (1971). Это также можно вывести из того факта, что D завершено для Метрика Бергмана, для которых изометрии образуют группу Ли; к Теорема Монтеля, группа биголоморфизмов является замкнутой подгруппой.^[33]

Который ЧАС_Т является группой Ли, которую можно увидеть непосредственно в этом случае. Фактически существует конечномерная 3-градуированная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$ векторных полей с инволюцией σ. Форма Киллинга отрицательно определена на +1 собственном подпространстве σ и положительно определена на собственном подпространстве −1. Как группа ЧАС_Т нормализует ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$ поскольку две подгруппы K_Т и AN_Т делать. Собственное подпространство +1 соответствует алгебре Ли K_Т. Аналогично алгебры Ли линейной группы AN а аффинная группа N₀ роды ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$. Поскольку группа грамм_Т имеет тривиальный центр, отображение в GL (${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$) инъективно. С K_Т компактно, его образ в GL (${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$) компактно. Поскольку алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$ совместим с AN_Т, образ AN_Т закрыто. Следовательно, изображение продукта закрыто, так как изображение K_Т компактный. Поскольку это замкнутая подгруппа, отсюда следует, что ЧАС_Т группа Ли.

Обобщения

Евклидовы йордановы алгебры могут использоваться для построения эрмитовых симметрических пространств трубчатого типа. Остальные эрмитовы симметрические пространства являются областями Зигеля второго рода. Их можно построить с помощью евклидова Иорданские тройные системы, обобщение евклидовых йордановых алгебр. Фактически для евклидовой йордановой алгебры E позволять

${\displaystyle \displaystyle {L(a,b)=2([L(a),L(b)]+L(ab)).}}$

потом L(а,б) дает билинейное отображение в End E такой, что

${\displaystyle \displaystyle {L(a,b)^{*}=L(b,a)},\,\,\,L(a,b)c=L(c,b)a}$

и

${\displaystyle \displaystyle {[L(a,b),L(c,d)]=L(L(a,b)c,d)-L(c,L(b,a)d).}}$

Любая такая билинейная система называется Евклидова тройная система Иордана. По определению операторы L(а,б) образуют подалгебру Ли в End E.

В Конструкция Кантора – Кехера – Титса. дает однозначное соответствие между системами йордановых троек и 3-градуированными алгебрами Ли

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1},}}$

удовлетворение

${\displaystyle \displaystyle {[{\mathfrak {g}}_{p},{\mathfrak {g}}_{q}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{p+q}}}$

и снабжен инволютивным автоморфизмом σ, обращающим градуировку. В этом случае

${\displaystyle \displaystyle {L(a,b)=\mathrm {ad} \,[a,\sigma (b)]}}$

определяет систему троек Жордана на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}$. В случае евклидовых йордановых алгебр или систем троек конструкцию Кантора – Кохера – Титса можно отождествить с алгеброй Ли группы Ли всех гомоморфных автоморфизмов соответствующих ограниченная симметричная область.Алгебра Ли строится следующим образом: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ быть подалгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ конца E порожденная L (а,б) и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm 1}}$ быть копиями E. Скобка Ли задается формулой

${\displaystyle \displaystyle {[(a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2})]=(T_{1}a_{2}-T_{2}a_{1},[T_{1},T_{2}]+L(a_{1},b_{2})-L(a_{2},b_{1}),T_{2}^{*}b_{1}-T_{1}^{*}b_{2})}}$

и инволюция

${\displaystyle \displaystyle {\sigma (a,T,b)=(b,-T^{*},a).}}$

В Форма убийства дан кем-то

${\displaystyle \displaystyle {B((a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2}))=(a_{1},b_{2})+(b_{1},a_{2})+\beta (T_{1},T_{2}),}}$

где β (Т₁,Т₂) - симметричная билинейная форма, определяемая формулой

${\displaystyle \displaystyle {\beta (L(a,b),L(c,d))=(L(a,b)c,d)=(L(c,d)a,b).}}$

Эти формулы, первоначально полученные для йордановых алгебр, одинаково хорошо работают и для систем йордановых троек.^[34]Счет в Кехер (1969) развивает теорию ограниченные симметричные области начиная с точки зрения 3-градуированных алгебр Ли. Для заданного конечномерного векторного пространства E, Кохер рассматривает конечномерные алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ векторных полей на E с полиномиальными коэффициентами степени ≤ 2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}$ состоит из постоянных векторных полей ∂_я и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ должен содержать Оператор Эйлера ЧАС = ∑ Икс_я⋅∂_я как центральный элемент. Требование существования инволюции σ приводит непосредственно к структуре жордановой тройки на V как указано выше. Как и для всех тройных структур Жордана, фиксация c в E, операторы L_c(а) = L(а,c) дайте E структура йордановой алгебры, определяемая е. Операторы L(а,б) сами происходят из структуры йордановой алгебры, как указано выше, тогда и только тогда, когда существуют дополнительные операторы E_± в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm 1}}$ так что ЧАС, E_± дать копию ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$. Соответствующий элемент группы Вейля реализует инволюцию σ. Этот случай соответствует случаю евклидовых йордановых алгебр.

Остальные случаи равномерно строятся Кохером с использованием инволюций простых евклидовых йордановых алгебр.^[35] Позволять E - простая евклидова йорданова алгебра, а τ - автоморфизм йордановой алгебры E периода 2. Таким образом E = E₊₁ ⊕ E₋₁ имеет разложение в собственное подпространство для τ с E₊₁ йордановой подалгеброй и E₋₁ модуль. Более того, произведение двух элементов в E₋₁ лежит в E₊₁. За а, б, c в E₋₁, набор

${\displaystyle \displaystyle {L_{0}(a,b)c=L(a,b)c}}$

и (а,б) = Tr L(ab). потом F = E₋₁ простая евклидова система троек Жордана, полученная ограничением тройной системы на E к F. Кехер показывает явные инволюции простых евклидовых йордановых алгебр непосредственно (см. Ниже). Эти системы йордановых троек соответствуют неприводимым эрмитовым симметрическим пространствам, задаваемым областями Зигеля второго рода. В листинге Картана их компактные двойники суть SU (п + q) / S (U (п) × U (q)) с п ≠ q (AIII), SO (2п) / U (п) с п нечетное (DIII) и E₆/ SO (10) × U (1) (EIII).

Примеры

• F это пространство п к q матрицы над р с п ≠ q. В этом случае L(а,б)c= ab^тc + cb^та с внутренним продуктом (а,б) = Tr ab^т. Это конструкция Кехера для инволюции на E = ЧАС_{п + q}(р), заданный сопряжением диагональной матрицей с п бигональные записи равны 1 и q до -1.
• F - пространство вещественных кососимметричных м к м матрицы. В этом случае L(а,б)c = abc + cba с внутренним продуктом (а,б) = −Tr ab. После удаления множителя √ (-1) эта конструкция Кохера применяется к комплексному сопряжению на E = ЧАС_п(C).
• F представляет собой прямую сумму двух копий чисел Кэли, рассматриваемых как матрицы 1 на 2. Эта система троек получается конструкцией Кохера для канонической инволюции, определяемой любым минимальным идемпотентом в E = ЧАС₃(О).

Классификация евклидовых систем троек Иордана была достигнута путем обобщения методов Джордана, фон Неймана и Вигнера, но доказательства более сложны.^[36] Априорные дифференциально-геометрические методы Кобаяши и Нагано (1964), вызывая 3-градуированную алгебру Ли, и Лоос (1971), Лоос (1985) привести к более быстрой классификации.

Примечания

1. Эта статья использует в качестве основных источников Иордания, фон Нейман и Вигнер (1934), Кехер (1999) и Фараут и Кораньи (1994), приняв терминологию и некоторые упрощения из последней.
2. Фараут и Кораньи 1994, стр. 2–4
3. Для доказательства эквивалентности см .:
   • Кехер 1999, п. 118, теорема 12
   • Фараут и Кораньи 1994, стр. 42,153–154
4. Видеть:
   • Фройденталь 1985
   • Постников 1986
   • Фараут и Кораньи 1994
   • Спрингер и Велдкамп 2000
5. Видеть:
   • Фройденталь 1985
   • Якобсон 1968
   • Жевлаков и др. 1982 г.
   • Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984
   • Спрингер и Велдкамп 2000, стр. 117–141
6. Видеть:
   • Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984, стр. 58–59
   • Фараут и Кораньи 1994, стр. 74–75
   • Якобсон 1968
   • Клерк 1992, стр. 49–52
7. Клерк 1992, стр. 49–52
8. Фараут и Кораньи 1994, стр. 46–49
9. Фараут и Кораньи 1994, стр. 32–35
10. Видеть:
    • Кехер 1999, стр. 72–76
    • Фараут и Кораньи 1994, стр. 32–34
11. Видеть:
    • Якобсон 1968, стр. 40–47,52
    • Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984, стр. 36–44
12. Видеть:
    • Кехер 1999, п. 111
    • Ханче-Ольсен и Стёрмер 1984, п. 83
    • Фараут и Кораньи 1994, п. 48
13. Фараут и Кораньи 1994, стр. 49–50
14. Фараут и Кораньи 1994, стр. 145–146
15. Лоос 1977, п. 3,15–3,16
16. Райт 1977, стр. 296–297
17. Видеть Фараут и Кораньи (1994, pp. 73,202–203) и Рудин (1973 С. 270–273). В силу конечномерности каждая точка выпуклой оболочки S выпуклая комбинация п +1 балл, где п = 2 тускл. E. Итак, выпуклый промежуток S уже компактен и равен замкнутому единичному шару.
18. Райт 1977, стр. 296–297
19. Фараут и Кораньи 1994, стр. 154–158
20. Видеть:
    • Кехер 1999
    • Кехер 1969
21. Видеть:
    • Лоос 1977
    • Фараут и Кораньи 1994
22. Lang 1985, стр. 209–210
23. Бурбаки 1981, стр. 30–32
24. Видеть:
    • Кехер 1999
    • Фараут и Кораньи 1994, стр. 150–153
25. Лоос 1977, стр. 9.4–9.5
26. Фолланд 1989, стр. 203–204
27. Видеть:
    • Кехер 1999
    • Фараут и Кораньи 1994, стр. 200–201
28. Фараут и Кораньи 1994, стр. 204–205
29. Фараут и Кораньи 1994, п. 208
30. Обратите внимание, что элементарный аргумент в Игуса (1972 г., п. 23) цитируется в Фолланд (1989) неполный.
31. Фараут и Кораньи 1994, п. 208
32. Фараут и Кораньи 1994, п. 334
33. Видеть:
    • Картан 1935
    • Хелгасон 1978
    • Кобаяси и Номидзу 1963
    • Фараут и Кораньи 1994
34. Видеть:
    • Кехер 1967
    • Кехер 1968
    • Кехер 1969
    • Фараут и Кораньи 1994, стр. 218–219
35. Кехер 1969, п. 85
36. Видеть:
    • Лоос 1977
    • Neher 1979
    • Neher 1980
    • Neher 1981
    • Neher 1987

Рекомендации

• Альберт, А.А. (1934), "Об одной алгебре квантовой механики", Анналы математики, 35 (1): 65–73, Дои:10.2307/1968118, JSTOR  1968118
• Бурбаки, Н. (1981), Groupes et algèbres de Lie (Chapitres 4,5 et 6), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN  978-2225760761
• Картан, Анри (1935), Sur les groupes de transformations analytiques, Actualités scientifiques et Industrielles, Германн
• Клерк, Дж. (1992), "Représentation d'une algèbre de Jordan, полиномы инвариантов и гармоник Штифеля", J. Reine Angew. Математика., 1992 (423): 47–71, Дои:10.1515 / crll.1992.423.47
• Faraut, J .; Кораньи, А. (1994), Анализ на симметричных конусах, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN  978-0198534778
• Фолланд, Г. Б. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве, Анналы математических исследований, 122, Издательство Принстонского университета, ISBN  9780691085289
• Фройденталь, Ганс (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
• Фройденталь, Ганс (1985), "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Геом. Dedicata, 19: 7–63, Дои:10.1007 / bf00233101 (перепечатка статьи 1951 г.)
• Ханче-Ольсен, Харальд; Стёрмер, Эрлинг (1984), Йордановы операторные алгебры, Монографии и исследования по математике, 21, Питман, ISBN  978-0273086192
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия ， группы Ли и симметричные пространства, Academic Press, Нью-Йорк, ISBN  978-0-12-338460-7
• Игуса, Дж. (1972), Тета-функции, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 194, Springer-Verlag
• Якобсон, Н. (1968), Строение и представления йордановых алгебр, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 39, Американское математическое общество
• Jordan, P .; von Neumann, J .; Вигнер, Э. (1934), "Об одном алгебраическом обобщении квантово-механического формализма", Анналы математики, 35 (1): 29–64, Дои:10.2307/1968117, JSTOR  1968117
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии. я, Wiley Interscience, ISBN  978-0-470-49648-0
• Кобаяси, Шошичи; Нагано, Тадаши (1964), "О фильтрованных алгебрах Ли и геометрических структурах. I.", J. Math. Мех., 13: 875–907
• Кочер, М. (1967), "Вложение йордановых алгебр в алгебры Ли. I", Амер. J. Math., 89 (3): 787–816, Дои:10.2307/2373242, JSTOR  2373242
• Кохер, М. (1968), "Вложение йордановых алгебр в алгебры Ли. II", Амер. J. Math., 90 (2): 476–510, Дои:10.2307/2373540, JSTOR  2373540
• Кехер, М. (1969), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям, Конспект лекций, Университет Райса
• Кехер, М. (1999), Миннесотские заметки о йордановых алгебрах и их приложениях, Конспект лекций по математике, 1710, Спрингер, ISBN  978-3540663607
• Кехер, М. (1971), «Йордановы алгебры и дифференциальная геометрия» (PDF), Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), Том I, Готье-Виллар, стр. 279–283.
• Ланг, С. (1985), SL₂(Р), Тексты для выпускников по математике, 105, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96198-9
• Лоос, Оттмар (1975), Иорданские пары, Конспект лекций по математике, 460, Springer-Verlag
• Лоос, Оттмар (1971), "Структурная теория жордановых пар", Бык. Амер. Математика. Soc., 80: 67–71, Дои:10.1090 / s0002-9904-1974-13355-0
• Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметрические области и жордановы пары (PDF), Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, архив из оригинал (PDF) на 2016-03-03
• Лоос, Оттмар (1985), "Charakterisierung simrischer R-Räume durch ihre Einheitsgitter", Математика. Z., 189 (2): 211–226, Дои:10.1007 / bf01175045
• Макдональд, И. Г. (1960), «Йордановы алгебры с тремя образующими», Proc. Лондонская математика. Soc., 10: 395–408, Дои:10.1112 / плмс / с3-10.1.395
• Нарасимхан, Рагхаван (1971), Несколько сложных переменных, Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета, ISBN  978-0-226-56817-1
• Неер, Эрхард (1979), "Cartan-Involutionen von halbeinfachen reellen Jordan-Tripelsystemen", Математика. Z., 169 (3): 271–292, Дои:10.1007 / bf01214841
• Нехер, Эрхард (1980), "Классификация по специальным характеристикам Jordan-Tripelsysteme", Manuscripta Math., 31 (1–3): 197–215, Дои:10.1007 / bf01303274
• Неер, Эрхард (1981), "Классификация катушек Ausnahme-Jordan-Tripelsysteme", J. Reine Angew. Математика., 1981 (322): 145–169, Дои:10.1515 / crll.1981.322.145
• Неер, Эрхард (1987), Жордановы тройные системы сеточным подходом, Конспект лекций по математике, 1280, Springer-Verlag, ISBN  978-3540183624
• Постников, М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V, Мир
• Рудин, Вальтер (1973). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  9780070542259.
• Спрингер, Т.А.; Велдкамп, Ф. Д. (2000), Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы, Springer-Verlag, ISBN  978-3540663379, первоначально конспекты лекций из курса, данного в Геттингенский университет в 1962 г.
• Сугиура, Мицуо (1982), "Сопряженность максимальных компактных подгрупп для ортогональных, унитарных и унитарных симплектических групп", Sci. Документы Колледжа, генеральный ред. Univ. Токио, 32: 101–108
• Райт, Дж. Д. М. (1977), "Йордановы C ∗ -алгебры", Michigan Math. Дж., 24 (3): 291–302, Дои:10.1307 / mmj / 1029001946
• Жевлаков, К. А .; Слинко, А. М .; Шестаков, И. П .; Ширшов А.И. (1982), Кольца, которые почти ассоциативны, Чистая и прикладная математика, 104, Academic Press, ISBN  978-0127798509