ЧШ неравенство - CHSH inequality

Для команды Unix см. чш.

В физика, то ЧШ неравенство может использоваться в доказательстве Теорема Белла, в котором говорится, что определенные последствия запутанность в квантовая механика не может быть воспроизведен локальные теории скрытых переменных. Экспериментальная проверка нарушения неравенств видится как экспериментальное подтверждение что природа не может быть описана местными теории скрытых переменных. ЧШ означает Джон Клаузер, Майкл Хорн, Эбнер Шимони, и Ричард Холт, который описал это в широко цитируемой статье, опубликованной в 1969 г. (Clauser и другие., 1969).^[1] Они вывели неравенство CHSH, которое, как и в случае Джона Белла исходное неравенство (Bell, 1964),^[2] является ограничением на статистику «совпадений» в Белл тестовый эксперимент что обязательно верно, если существуют лежащие в основе локальные скрытые переменные (местный реализм ). С другой стороны, это ограничение может быть нарушено квантовой механикой.

утверждение

Обычная форма неравенства CHSH:

${\displaystyle |S|\leq 2,}$

(1)

где

${\displaystyle S=E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b\right)+E\left(a',b'\right).}$

(2)

а и а′ - настройки извещателя на стороне A, б и б'На стороне B, четыре комбинации тестируются в отдельных подэкспериментах. Условия E(а, б) и т. д. являются квантовые корреляции пар частиц, где квантовая корреляция определяется как математическое ожидание продукта "результатов" эксперимента, то есть среднее статистическое значение А(а)·B(б), где А и B являются отдельными исходами с использованием кодирования +1 для канала «+» и -1 для канала «-». Clauser et al., 1969 г.^[1] вывод был ориентирован на использование «двухканальных» детекторов, и действительно, именно для них он обычно используется, но при их методе единственными возможными результатами были +1 и -1. Чтобы адаптироваться к реальным ситуациям, что в то время означало использование поляризованного света и одноканальных поляризаторов, они должны были интерпретировать «-» как означающее «отсутствие обнаружения в канале« + »», то есть либо «-» или ничего. В оригинальной статье они не обсуждали, как двухканальное неравенство может быть применено в реальных экспериментах с реальными несовершенными детекторами, хотя позже это было доказано (Bell, 1971)^[3] что само неравенство также имеет силу. Однако появление нулевых результатов означает, что уже не так очевидно, как значения E следует оценивать по экспериментальным данным.

Математический аппарат квантовой механики предсказывает максимальное значение S, равное 2.√2 (Связка Цирельсона ),^[4] что больше 2, и поэтому нарушения CHSH предсказываются теорией квантовой механики.

Типичный эксперимент CHSH

Схема "двухканального" теста Белла
Источник S производит пары фотонов, посылаемых в противоположных направлениях. Каждый фотон встречает двухканальный поляризатор, ориентацию которого может задать экспериментатор. Сигналы, появляющиеся из каждого канала, обнаруживаются, а совпадения подсчитываются CM монитора совпадений.

На практике в большинстве реальных экспериментов использовался свет, а не электроны, которые первоначально имел в виду Белл. Интересующее свойство есть в наиболее известных экспериментах (Аспект, 1981-2),^[5][6][7] направление поляризации, хотя можно использовать и другие свойства. На схеме показан типичный оптический эксперимент. Регистрируются совпадения (одновременные обнаружения), результаты классифицируются как «++», «+ -», «- +» или «−−» и накапливаются соответствующие подсчеты.

Проведены четыре отдельных подэксперимента, соответствующие четырем условиям ${\displaystyle E(a,b)}$ в тестовой статистике S (2, над). Настройки а, а′, б и б'Обычно на практике выбираются равными 0, 45 °, 22,5 ° и 67,5 ° соответственно - «углы испытания Белла» - это те углы, для которых квантово-механическая формула дает наибольшее нарушение неравенства.

Для каждого выбранного значения а и б, количество совпадений в каждой категории ${\displaystyle \left\{N_{++},N_{--},N_{+-},N_{-+}\right\}}$ записываются. Экспериментальная оценка для ${\displaystyle E(a,b)}$ затем рассчитывается как:

${\displaystyle E={\frac {N_{++}-N_{+-}-N_{-+}+N_{--}}{N_{++}+N_{+-}+N_{-+}+N_{--}}}}$

(3)

Когда-то все ${\displaystyle E}$были оценены, экспериментальная оценка S (2) можно найти. Если численно больше 2, это нарушает неравенство CHSH, и объявляется, что эксперимент подтвердил предсказание квантовой механики и исключил все теории локальных скрытых переменных.

В статье CHSH перечислено множество предварительных условий (или «разумных и / или предполагаемых предположений») для вывода упрощенной теоремы и формулы. Например, чтобы метод был действительным, необходимо предположить, что обнаруженные пары являются хорошей выборкой из выпущенных. В реальных экспериментах детекторы никогда не бывают эффективными на 100%, поэтому обнаруживается только выборка излучаемых пар. Тонкое, связанное с этим требование состоит в том, чтобы скрытые переменные не влияли и не определяли вероятность обнаружения таким образом, чтобы это привело к различным выборкам в каждой части эксперимента.

Вывод

Исходный вывод 1969 года здесь не приводится, поскольку его нелегко проследить и предполагает предположение, что все результаты равны +1 или -1, а не нулю. Вывод Белла 1971 года является более общим. Он фактически исходит из «объективной локальной теории», которую позже использовали Клаузер и Хорн (Clauser, 1974).^[8] Предполагается, что любые скрытые переменные, связанные с самими детекторами, независимы с обеих сторон и могут быть усреднены с самого начала. Другой интересный вывод дается в статье Клаузера и Хорна 1974 г., в которой они исходят из неравенства CH74.

Из обоих этих более поздних выводов может показаться, что единственные допущения, действительно необходимые для самого неравенства (в отличие от метода оценки тестовой статистики), заключаются в том, что распределение возможных состояний источника остается постоянным, а детекторы на двух стороны действуют независимо.

Вывод Белла 1971 года

Следующее основано на странице 37 книги Белла. Разговорный и непроизносимый (Белл, 1971),^[3] главное изменение заключается в использовании символа ‘E' вместо 'п’Для ожидаемого значения квантовой корреляции. Это позволяет избежать намеков на то, что квантовая корреляция это сама вероятность.

Мы начинаем со стандартного предположения о независимости двух сторон, что позволяет нам получить совместные вероятности пар результатов путем умножения отдельных вероятностей для любого выбранного значения «скрытой переменной» λ. Предполагается, что λ берется из фиксированного распределения возможных состояний источника, причем вероятность того, что источник находится в состоянии λ для любого конкретного испытания, задается функцией плотности ρ (λ), интеграл от которой по всей скрытой пространство переменных равно 1. Мы предполагаем, что можем написать:

${\displaystyle E(a,b)=\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda }$

где А и B - средние значения результатов. Поскольку возможные значения А и B равны −1, 0 и +1, отсюда следует, что:

${\displaystyle \left|{\underline {A}}\right|\leq 1\quad \left|{\underline {B}}\right|\leq 1}$

(4)

Тогда, если а, а′, б и б′ - альтернативные настройки детекторов,

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{aligned}}}$

Принимая абсолютные значения обеих сторон и применяя неравенство треугольника в правую часть получаем

${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$

Мы используем тот факт, что ${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )}$ и ${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )}$ оба неотрицательны, чтобы переписать правую часть этого как

${\displaystyle \int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b',\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$

К (4), это должно быть меньше или равно

${\displaystyle \int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda }$

которое, учитывая тот факт, что интеграл от ρ (λ) равен 1, равен

${\displaystyle 2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho (\lambda )d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda \right]}$

что равно ${\displaystyle 2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$.

Соединяя это с левой частью, мы имеем:

${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$

что означает, что левая часть меньше или равна обоим ${\displaystyle 2+\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$ и ${\displaystyle 2-\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$. Это:

${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$

откуда получаем

${\displaystyle 2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$

(посредством неравенство треугольника снова), что является неравенством ЧШ.

Вывод из неравенства Клаузера и Хорна 1974 г.

В своей статье 1974 г.^[8] Клаузер и Хорн показывают, что неравенство CHSH может быть получено из неравенства CH74. Как они нам говорят, в двухканальном эксперименте одноканальный тест CH74 все еще применим и обеспечивает четыре набора неравенств, определяющих вероятности п совпадений.

Исходя из неоднородной версии неравенства, можно записать:

${\displaystyle -1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b)+p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0}$

где j и k обозначают «+» или «-», обозначающие рассматриваемые детекторы.

Чтобы получить статистику теста CHSH S (2), достаточно умножить неравенства, для которых j отличается от k на −1 и прибавляем их к неравенствам, для которых j и k одинаковые.

Эксперименты с использованием теста CHSH

Многие тестовые эксперименты Bell, проведенные после Аспекта Во втором эксперименте 1982 г. использовалось неравенство CHSH, слагаемые оценивались с использованием (3) и предполагалась правильная выборка. Сообщалось о некоторых драматических нарушениях неравенства.^[9] Scientific American в своем выпуске за декабрь 2018 г. сообщил о методах значительного улучшения экспериментального применения неравенства CHSH.^[10]

Смотрите также

• Белл тестовые эксперименты
• Корреляция не подразумевает причинно-следственной связи
• Неравенство Леггетта – Гарга
• Квантовая запутанность
• Квантовая механика

использованная литература

1. Дж. Ф. Клаузер; М.А. Хорн; А. Шимони; Р.А. Холт (1969), «Предлагаемый эксперимент для проверки локальных теорий скрытых переменных», Phys. Rev. Lett., 23 (15): 880–4, Bibcode:1969ПхРвЛ..23..880С, Дои:10.1103 / PhysRevLett.23.880
2. J.S. Белл (1964), "О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена", Физика Телосложение Физика, 1 (3): 195–200, Дои:10.1103 / PhysicsPhysiqueFizika.1.195, воспроизведенный как гл. 2 из Дж. С. Белл (1987), Разговорчивый и непроизносимый в квантовой механике, Издательство Кембриджского университета
3. Дж. С. Белл, в Основы квантовой механики, Труды Международной школы физики «Энрико Ферми», Курс XLIX, Б. д'Эспаньа (ред.) (Academic, New York, 1971), стр. 171 и Приложение B. Страницы 171-81 воспроизведены как гл. 4 Дж. С. Белла, Разговорчивый и непроизносимый в квантовой механике (Издательство Кембриджского университета, 1987 г.)
4. Цирельсон, Б.С. (март 1980 г.). «Квантовые обобщения неравенства Белла». Письма по математической физике. 4 (2): 93–100. Bibcode:1980LMaPh ... 4 ... 93C. Дои:10.1007 / BF00417500.
5. Ален Аспект; Филипп Гранжье; Жерар Роджер (1981), "Экспериментальные проверки реалистичных локальных теорий с помощью теоремы Белла", Phys. Rev. Lett., 47 (7): 460–3, Bibcode:1981ПхРвЛ..47..460А, Дои:10.1103 / PhysRevLett.47.460
6. Ален Аспект; Филипп Гранжье; Жерар Роджер (1982), "Экспериментальная реализация геданкенэксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома: новое нарушение неравенств Белла", Phys. Rev. Lett., 49 (2): 91, Bibcode:1982ПхРвЛ..49 ... 91А, Дои:10.1103 / PhysRevLett.49.91
7. Ален Аспект; Жан Далибар; Жерар Роджер (1982), «Экспериментальная проверка неравенств Белла с использованием анализаторов с изменяющимся временем», Phys. Rev. Lett., 49 (25): 1804–7, Bibcode:1982ПхРвЛ..49.1804А, Дои:10.1103 / PhysRevLett.49.1804
8. Дж. Ф. Клаузер; М.А. Хорн (1974), "Экспериментальные следствия объективных локальных теорий", Phys. Ред. D, 10 (2): 526–35, Bibcode:1974ПхРвД..10..526С, Дои:10.1103 / PhysRevD.10.526
9. Hensen, B .; Bernien, H .; Dréau, A.E .; Райзерер, А .; Kalb, N .; Блок, М. С .; Ruitenberg, J .; Vermeulen, R. F. L .; Schouten, R. N .; Abellán, C .; Amaya, W .; Pruneri, V .; Mitchell, M.W .; Markham, M .; Twitchen, D. J .; Elkouss, D .; Wehner, S .; Taminiau, T. H .; Хэнсон, Р. (2015). «Нарушение неравенства Белла без петель с использованием электронных спинов, разделенных расстоянием 1,3 километра». Природа. 526 (7575): 682–686. arXiv:1508.05949. Bibcode:2015Натура.526..682H. Дои:10.1038 / природа15759. PMID  26503041.
10. "Scientific American, том 319, выпуск 6".