Формула номера класса - Class number formula

В теория чисел, то формула номера класса связывает много важных инвариантов числовое поле к особой ценности его Дзета-функция Дедекинда.

Общая формулировка формулы числа классов

Начнем со следующих данных:

• K числовое поле.
• [K : Q] = п = р₁ + 2р₂, куда р₁ обозначает количество настоящие вложения из K, и 2р₂ количество комплексных вложений K.
• ζ_K(s) это Дзета-функция Дедекинда из K.
• час_K это номер класса, количество элементов в группа идеального класса из K.
• Рег_K это регулятор из K.
• ш_K это количество корни единства содержалась в K.
• D_K это дискриминант из расширение K/Q.

Потом:

Теорема (формула числа классов). ζ_K(s) сходится абсолютно за Re (s) > 1 и распространяется на мероморфный функция определены для всего комплекса s только с одним простой полюс в s = 1, с остатком

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$

Это самая общая «формула числа классов». В частных случаях, например, когда K это циклотомическое расширение из Q, существуют более точные формулы для числа классов.

Доказательство

Идею доказательства формулы числа классов легче всего увидеть, когда K = Q(я). В этом случае кольцо целых чисел в K это Гауссовские целые числа.

Элементарная манипуляция показывает, что остаток дзета-функции Дедекинда в s = 1 - среднее значение коэффициентов Серия Дирихле представление дзета-функции Дедекинда. В п-й коэффициент ряда Дирихле - это, по сути, количество представлений п как сумму двух квадратов неотрицательных целых чисел. Таким образом, можно вычислить остаток дзета-функции Дедекинда при s = 1, вычислив среднее количество представлений. Как в статье о Проблема круга Гаусса, можно вычислить это, аппроксимировав количество точек решетки внутри четверти круга с центром в начале координат, заключив, что остаток равен одной четверти числа пи.

Доказательство, когда K поле произвольных мнимых квадратичных чисел очень похоже.^[1]

В общем случае по Теорема Дирихле о единицах, группа единиц в кольце целых чисел K бесконечно. Тем не менее, можно свести вычисление вычета к задаче подсчета точек решетки, используя классическую теорию вещественных и комплексных вложений.^[2] и аппроксимируем количество узлов решетки в области ее объемом, чтобы завершить доказательство.

Формула числа классов Дирихле

Питер Густав Лежен Дирихле опубликовал доказательство формулы числа классов для квадратичные поля в 1839 г., но это было изложено на языке квадратичные формы а не классы идеалы. Похоже, что Гаусс уже знал эту формулу в 1801 году.^[3]

Это изложение следует Давенпорт.^[4]

Позволять d быть основной дискриминант, и писать h (d) для числа классов эквивалентности квадратичных форм с дискриминантом d. Позволять ${\displaystyle \chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)}$ быть Символ Кронекера. потом ${\displaystyle \chi }$ это Dirichlet персонаж. Написать ${\displaystyle L(s,\chi )}$ для Дирихле L-серия на основе ${\displaystyle \chi }$. За d> 0, позволять t> 0, u> 0 быть решением Уравнение Пелла ${\displaystyle t^{2}-du^{2}=4}$ для которого ты самый маленький, и напишите

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).}$

(Тогда ε либо основная единица из действительное квадратичное поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ или квадрат основной единицы.) d <0, напишите ш для числа автоморфизмов квадратичных форм дискриминанта d; то есть,

${\displaystyle w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}}$

Затем Дирихле показал, что

${\displaystyle h(d)={\begin{cases}{\dfrac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi ),&d<0;\\{\dfrac {\sqrt {d}}{\ln \epsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}}}$

Это частный случай теоремы 1 выше: для квадратичное поле K, дзета-функция Дедекинда просто ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(s,\chi )}$, а остаток равен ${\displaystyle L(1,\chi )}$. Дирихле также показал, что L-серии можно записать в конечной форме, которая дает конечный вид для номера класса. Предполагать ${\displaystyle \chi }$ является примитивный с премьер дирижер ${\displaystyle q}$. потом

${\displaystyle L(1,\chi )={\begin{cases}-{\dfrac {\pi }{q^{3/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}m\left({\dfrac {m}{q}}\right),&q\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{q^{1/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}\left({\dfrac {m}{q}}\right)\ln 2\sin {\dfrac {m\pi }{q}},&q\equiv 1\mod 4.\end{cases}}}$

Расширения Галуа рациональных чисел

Если K это Расширение Галуа из Q, теория Артина L-функции относится к ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$. Он имеет один фактор Дзета-функция Римана, у которого есть полюс вычета один, а фактор регулярен в s = 1. Это означает, что правую часть формулы числа классов можно приравнять к левой части

Π L(1, ρ)^{dim ρ}

где ρ пробегает классы неприводимого нетривиального комплекса линейные представления Гал (K/Q) размерности dim (ρ). То есть согласно стандартной декомпозиции регулярное представительство.

Абелевы расширения рациональных чисел

Так обстоит дело с описанным выше, с Гал (K/Q) абелева группа, в котором все ρ можно заменить на Персонажи Дирихле (через теория поля классов ) для некоторого модуля ж называется дирижер. Поэтому все L(1) значения встречаются для L-функции Дирихле, для которого существует классическая формула с использованием логарифмов.

Посредством Теорема Кронекера – Вебера., все значения, необходимые для формула аналитического числа классов возникают уже тогда, когда рассматриваются круговые поля. В этом случае возможна другая формулировка, как показано Куммер. В регулятор, вычисление объема в «логарифмическом пространстве», деленное на логарифмы единиц кругового поля, может быть сопоставлено с величинами из L(1) распознаваемые как логарифмы циклотомические единицы. Приводятся формулы, согласно которым номер класса определяется индексом циклотомических единиц во всей группе единиц.

В Теория Ивасавы, эти идеи далее комбинируются с Теорема Штикельбергера.

Примечания

1. https://www.math.umass.edu/~weston/oldpapers/cnf.pdf
2. http://planetmath.org/realandcomplexembeddings
3. "Знал ли Гаусс формулу числа классов Дирихле в 1801 году?". MathOverflow. 10 октября 2012 г.
4. Давенпорт, Гарольд (2000). Монтгомери, Хью Л. (ред.). Теория мультипликативных чисел. Тексты для выпускников по математике. 74 (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 43–53. ISBN  978-0-387-95097-6. Получено 2009-05-26.

Рекомендации

• В. Наркевич (1990). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е изд.). Springer-Verlag /Польские научные издательства PWN. стр.324–355. ISBN  3-540-51250-0.

Эта статья включает материал из формулы номера класса по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.