Теорема Эйленберга – Ганеа - Eilenberg–Ganea theorem

В математика, особенно в гомологическая алгебра и алгебраическая топология, то Теорема Эйленберга – Ганеа состояния для каждой конечно порожденной группы грамм с определенными условиями на его когомологическая размерность (а именно ${\displaystyle 3\leq \operatorname {cd} (G)\leq n}$) можно построить асферический CW комплекс Икс измерения п чей фундаментальная группа являетсяграмм. Теорема названа в честь польского математика. Сэмюэл Эйленберг и румынский математик Тюдор Ганеа. Теорема была впервые опубликована в небольшой статье в 1957 г. Анналы математики.^[1]

Определения

Групповые когомологии: Позволять ${\displaystyle G}$ быть группой и пусть ${\displaystyle X=K(G,1)}$ быть соответствующим Пространство Эйленберга-Маклейна. Тогда мы имеем следующую особую цепной комплекс который является бесплатное разрешение из ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ над групповое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ (куда ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ это тривиальный ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-модуль):

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\delta _{n}+1}}C_{n}(E){\xrightarrow {\delta _{n}}}C_{n-1}(E)\rightarrow \cdots \rightarrow C_{1}(E){\xrightarrow {\delta _{1}}}C_{0}(E){\xrightarrow {\varepsilon }}Z\rightarrow 0,}$

куда ${\displaystyle E}$ универсальная обложка ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle C_{k}(E)}$ это свободная абелева группа порожденный сингулярным ${\displaystyle k}$-цепи на ${\displaystyle E}$. В групповые когомологии группы ${\displaystyle G}$ с коэффициентом в ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-модуль ${\displaystyle M}$ когомологии этого цепной комплекс с коэффициентами в ${\displaystyle M}$, и обозначается ${\displaystyle H^{*}(G,M)}$.

Когомологическая размерность: Группа ${\displaystyle G}$ имеет когомологическую размерность ${\displaystyle n}$ с коэффициентами в ${\displaystyle Z}$ (обозначается ${\displaystyle \operatorname {cd} _{Z}(G)}$) если

${\displaystyle n=\sup\{k:{\text{There exists a }}Z[G]{\text{ module }}M{\text{ with }}H^{k}(G,M)\neq 0\}.}$

Факт: Если ${\displaystyle G}$ имеет проективное разрешение длины не более ${\displaystyle n}$, т.е. ${\displaystyle Z}$ как тривиальный ${\displaystyle Z[G]}$ модуль имеет проективную резольвенту длины не более ${\displaystyle n}$ если и только если ${\displaystyle H_{Z}^{i}(G,M)=0}$ для всех ${\displaystyle Z}$-модули ${\displaystyle M}$ и для всех ${\displaystyle i>n}$.^{[нужна цитата ]}

Следовательно, у нас есть альтернативное определение когомологической размерности следующим образом:

Когомологическая размерность G с коэффициентом в Z - наименьшее n (возможно, бесконечное) такое, что G имеет проективную резольвенту длины п, т.е. Z имеет проективное разрешение длины п как тривиальный Z[грамм] модуль.

Теорема Эйленберга-Ганея

Позволять ${\displaystyle G}$ конечно определенная группа и ${\displaystyle n\geq 3}$ быть целым числом. Предположим, что когомологическая размерность из ${\displaystyle G}$ с коэффициентами в ${\displaystyle Z}$ самое большее ${\displaystyle n}$, т.е. ${\displaystyle \operatorname {cd} _{Z}(G)\leq n}$. Тогда существует ${\displaystyle n}$-размерный асферический CW комплекс ${\displaystyle X}$ так что фундаментальная группа из ${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle G}$, т.е. ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$.

Converse

Обратное к этой теореме является следствием клеточная гомология, и тот факт, что каждый свободный модуль проективен.

Теорема: Позволять Икс быть асферическим п-мерный комплекс CW с π₁(Икс) = грамм, затем cd_Z(грамм) ≤ п.

Связанные результаты и предположения

За п = 1 результат является одним из следствий Теорема Столлингса о концах групп.^[2]

Теорема: Каждая конечно порожденная группа когомологической размерности единица свободна.

За ${\displaystyle n=2}$ заявление известно как Гипотеза Эйленберга – Ганеа.

Гипотеза Эйленберга-Ганея: Если группа грамм имеет когомологическую размерность 2, то существует двумерный асферический комплекс CW Икс с ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$.

Известно, что данная группа грамм с CD_Z(грамм) = 2 существует 3-мерный асферический CW комплекс Икс с π₁(Икс) = грамм.

Смотрите также

• Гипотеза Эйленберга – Ганеа
• Групповые когомологии
• Когомологическое измерение
• Теорема Столлингса о концах групп

Рекомендации

1. **Эйленберг, Самуэль; Ганея, Тюдор (1957). «О категории абстрактных групп Люстерника – Шнирельмана». Анналы математики. 2-я сер. 65 (3): 517–518. Дои:10.2307/1970062. МИСТЕР  0085510.
2. * Джон Р. Столлингс, «О группах без кручения с бесконечным числом концов», Анналы математики 88 (1968), 312–334. МИСТЕР0228573

• Бествина, Младен; Брэди, Ноэль (1997). «Теория Морса и свойства конечности групп». Inventiones Mathematicae. 129 (3): 445–470. Дои:10.1007 / s002220050168. МИСТЕР  1465330..
• Кеннет С. Браун, Когомологии групп, Исправленное перепечатание оригинала 1982 г., Тексты для выпускников по математике, 87, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1994. МИСТЕР1324339. ISBN  0-387-90688-6