Матрица Грунского - Grunsky matrix - Wikipedia

В комплексный анализ и геометрическая теория функций, то Матрицы Грунского, или же Грунские операторы, - бесконечные матрицы, введенные в 1939 г. Гельмут Грунский. Матрицы соответствуют либо одному голоморфная функция на единичный диск или пара голоморфных функций на единичном круге и его дополнении. В Неравенства Грунского выражают свойства ограниченности этих матриц, которые в общем случае операторы сжатия или в важных особых случаях унитарные операторы. Как показал Грунский, эти неравенства выполняются тогда и только тогда, когда голоморфная функция имеет вид однозначный. Неравенства эквивалентны неравенствам Голузина, открытым в 1947 году. Неравенства Грунского, грубо говоря, дают информацию о коэффициентах логарифма однолистной функции; более поздние обобщения Милин, начиная с Неравенство Лебедева – Милина, удалось возвести в степень неравенства, чтобы получить неравенства для коэффициентов самой однолистной функции. Матрица Грунского и связанные с ней неравенства были первоначально сформулированы в более общем контексте однолистных функций между областью, ограниченной конечным числом достаточно гладких Кривые Иордании и его дополнение: результаты Грунского, Голузина и Милина обобщаются на этот случай.

Исторически неравенства для диска использовались при доказательстве частных случаев Гипотеза Бибербаха до шестого коэффициента; возведенные в степень неравенства Милина использовались де Бранж в окончательном решении. Подробное изложение этих методов можно найти в Хейман (1994). Операторы Грунского и их Детерминанты Фредгольма также связаны со спектральными свойствами ограниченных областей в комплексная плоскость. У операторов есть другие приложения в конформное отображение, Теория Тейхмюллера и конформная теория поля.

Матрица Грунского

Если ж(z) - голоморфная однолистная функция на единичном круге, нормированная так, что ж(0) = 0 и f ′(0) = 1, функция

${\displaystyle g(z)=f(z^{-1})^{-1}}$

- ненулевая однолистная функция на |z| > 1 с простым полюсом в ∞ с вычетом 1:

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

Та же формула обращения применяется к грамм возвращает ж и устанавливает однозначное соответствие между этими двумя классами функций.

В Матрица Грунского (c_нм) из грамм определяется уравнением

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-g(\zeta )}{z-\zeta }}=-\sum _{m,n>0}c_{nm}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

Это симметричная матрица. Его записи называются Коэффициенты Грунского из грамм.

Обратите внимание, что

${\displaystyle \log {g(z^{-1})-g(\zeta ^{-1}) \over z^{-1}-\zeta ^{-1}}=\log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }-\log {f(z) \over z}-\log {f(\zeta ) \over \zeta },}$

так что коэффициенты могут быть выражены непосредственно через ж. Действительно, если

${\displaystyle \log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 0}d_{mn}z^{n}\zeta ^{n},}$

тогда для м, п > 0

${\displaystyle d_{mn}=c_{mn}}$

и d_0п = d_п0 дан кем-то

${\displaystyle \log {\frac {f(z)}{z}}=\sum _{n>0}d_{0n}z^{n}}$

с

${\displaystyle d_{00}=0.}$

Неравенства Грунского

Если ж - голоморфная функция в единичном круге с матрицей Грунского (c_нм), Неравенства Грунского утверждать, что

${\displaystyle \left|\sum _{1\leq m,n\leq N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{1\leq n\leq N}{\frac {|\lambda _{n}|^{2}}{n}}}$

для любой конечной последовательности комплексных чисел λ₁, ..., λ_N.

Многочлены Фабера

Коэффициенты Грунского нормированной однолистной функции в |z| > 1

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

- многочлены от коэффициентов б_я который может быть вычислен рекурсивно в терминах Полиномы Фабера Φ_п, монический многочлен степени п в зависимости от грамм.

Взяв производную в z определяющего соотношения коэффициентов Грунского и умножением на z дает

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-g(\zeta )}}-{\frac {z}{z-\zeta }}=\sum _{m,n>0}mc_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}.}$

Многочлены Фабера определяются соотношением

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-w}}=\sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

Разделив это отношение на z и интеграция между z и ∞ дает

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-w}{z}}=-\sum _{n\geq 1}{1 \over n}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

Это дает рекуррентные соотношения для п > 0

${\displaystyle \Phi _{n}(w)=(w-b_{0})\Phi _{n-1}(w)-nb_{n}-\sum _{0\leq i\leq n-1}b_{n-i}\Phi _{i}(w)}$

с

${\displaystyle \Phi _{0}(w)\equiv 1.}$

Таким образом

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(g(z))\zeta ^{-n}=1+\sum _{n\geq 1}\left(z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}\right)\zeta ^{-n},}$

так что для п ≥ 1

${\displaystyle \Phi _{n}(g(z))=z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}.}$

Последнее свойство однозначно определяет многочлен Фабера грамм.

Теорема площади Милина

Позволять грамм(z) - однолистная функция на |z| > 1 нормализовано, так что

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

и разреши ж(z) - непостоянная голоморфная функция на C.

Если

${\displaystyle f(g(z))=\sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}}$

это расширение Лорана на z > 1, тогда

${\displaystyle \sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}.}$

Доказательство

Если Ω - открытая ограниченная область с гладкой границей ∂Ω и час - дифференцируемая функция на Ω, продолжающаяся до непрерывной функции на замыкании, то по Теорема Стокса применяется к дифференциальная 1-форма ${\displaystyle \omega =h(z)dz,}$

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }h(z)\,dz=\int _{\partial \Omega }\omega =\iint _{\Omega }d\omega =\iint _{\Omega }(i\partial _{x}-\partial _{y})h\,dx\,dy=2i\iint _{\Omega }\partial _{\overline {z}}h\,dx\,dy.}$

За р > 1, пусть Ω_р быть дополнением образа |z|> р под грамм(z), ограниченная область. Тогда по указанному выше тождеству с час = f ′, площадь ж(Ω_р) дан кем-то

${\displaystyle A(r)=\iint _{\Omega _{r}}|f'(z)|^{2}\,dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial \Omega _{r}}{\overline {f(z)}}f'(z)\,dz={1 \over 2i}\int _{|w|=r}{\overline {f(g(w)))}}f'(g(w))g'(w)\,dw.}$

Следовательно

${\displaystyle A(r)=\pi \sum _{n}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.}$

Поскольку площадь неотрицательна

${\displaystyle \sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}r^{-2n}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.}$

Результат следует, если позволить р уменьшиться до 1.

Доказательство Милиным неравенств Грунского

Если

${\displaystyle p(w)=\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}\Phi _{n}(w),}$

тогда

${\displaystyle p(g(z))=\left(\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}z^{n}\right)+\left(\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}c_{nm}z^{-m}\right).}$

Применяя теорему Милина о площади,

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

(Равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда дополнение образа грамм имеет Мера Лебега нуль.)

Так a fortiori

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

Следовательно, симметричная матрица

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {mn}}c_{mn},}$

рассматривается как оператор на C^N со стандартным внутренним продуктом удовлетворяет

${\displaystyle \|Ax\|\leq \|x\|.}$

Так что Неравенство Коши – Шварца

${\displaystyle |(Ax,y)|\leq \|x\|\cdot \|y\|.}$

С

${\displaystyle x_{n}={\frac {\lambda _{n}}{\sqrt {n}}}={\overline {y_{n}}},}$

это дает неравенство Грунского:

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2},}$

Критерий однолистности

Позволять грамм(z) - голоморфная функция на z > 1 с

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

потом грамм однолистно тогда и только тогда, когда коэффициенты Грунского грамм удовлетворяют неравенствам Грунского для всех N.

Фактически уже было показано, что условия необходимы. Чтобы убедиться в достаточности, обратите внимание, что

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

имеет смысл, когда |z| и | ζ | велики, поэтому коэффициенты c_млн определены. Если выполняются неравенства Грунского, то легко видеть, что |c_млн| равномерно ограничены, поэтому разложение в левой части сходится при |z| > 1 и | ζ | > 1. Возбуждая обе стороны, это означает, что грамм однозначно.

Пары однолистных функций

Позволять ${\displaystyle F(z)}$ и ${\displaystyle g(\zeta )}$ - однолистные голоморфные функции на |z| <1 и | ζ | > 1, так что их образы не пересекаются в C. Предположим, что эти функции нормированы так, что

${\displaystyle g(\zeta )=\zeta +a_{0}+b_{1}\zeta ^{-1}+b_{2}\zeta ^{-2}+\cdots }$

и

${\displaystyle F(z)=af(z)}$

с а ≠ 0 и

${\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots .}$

В Матрица Грунского (c_млн) этой пары функций определена для всех ненулевых м и п по формулам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {g(\zeta )-g(\eta ) \over \zeta -\eta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}\zeta ^{-m}\eta ^{-n}\\\log {g(\zeta )-f(z) \over \zeta }-\log {g(\zeta ) \over \zeta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,n}z^{m}\zeta ^{-n}\\\log {f(z)-f(w) \over z-w}-\log {f(z) \over z}-\log {f(w) \over w}&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,-n}z^{m}w^{n}\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle c_{m,-n}=c_{-n,m},\qquad m,n\geq 1,}$

так что (c_млн) - симметричная матрица.

В 1972 году американский математик Джеймс Хаммел распространил на эту матрицу неравенства Грунского, доказав, что для любой последовательности комплексных чисел λ_±1, ..., λ_±N

${\displaystyle \left|\sum _{n,m\neq 0}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{|n|}}|\lambda _{n}|^{2}.}$

Доказательство проводится путем вычисления площади изображения дополнения изображений |z| < р <1 меньше F и | ζ | > р > 1 меньше грамм при подходящем полиноме Лорана час(ш).

Позволять ${\displaystyle \phi _{n}}$ и ${\displaystyle \phi _{-n}}$ обозначим полиномы Фабера от грамм и ${\displaystyle f(z^{-1})^{-1}}$ и установить

${\displaystyle h(w)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\Phi _{n}(w)+\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}\Phi _{-n}\left({\frac {a}{w}}\right).}$

Потом:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(F(z))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}z^{-n}+\alpha +\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}z^{n},&&|z|<1,\alpha _{n}=\sum _{m}c_{-n,m}\lambda _{m}\\h(g(\zeta ))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\zeta ^{n}+\beta +\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\zeta ^{-n},&&|\zeta |>1,\beta _{n}=\sum _{m}c_{nm}\lambda _{m}\end{aligned}}}$

Площадь равна

${\displaystyle \int |h'(z)|^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2i}}\int _{C_{1}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz-{\frac {1}{2i}}\int _{C_{2}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz,}$

куда C₁ образ круга | ζ | знак равно р под грамм и C₂ образ круга |z| = р под F.

Следовательно

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\iint |h'|^{2}\,dx\,dy=\left[\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}|\lambda _{-n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\alpha _{n}|^{2}r^{2n}\right]+\left[\sum _{n\geq 1}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\beta _{n}|^{2}R^{-2n}\right].}$

Поскольку площадь положительная, правая часть также должна быть положительной. Сдача р увеличить до 1 и р уменьшиться до 1, следует, что

${\displaystyle \sum _{m\neq 0}|m|\left|\sum _{n\neq 0}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{m\neq 0}{1 \over |m|}|\lambda _{m}|^{2}}$

с равенством тогда и только тогда, когда дополнение изображений имеет Мера Лебега нуль.

Как и в случае с одной функцией грамм, отсюда следует требуемое неравенство.

Унитарность

Матрица

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {|mn|}}\cdot c_{mn}}$

единственной функции грамм или пара функций F, грамм унитарен тогда и только тогда, когда дополнение образа грамм или объединение образов F и грамм имеет нулевую меру Лебега. Итак, грубо говоря, в случае одной функции изображение представляет собой область щели в комплексной плоскости; а в случае двух функций две области разделены замкнутой жордановой кривой.

Фактически бесконечная матрица А действуя на Гильбертово пространство суммируемых с квадратом последовательностей удовлетворяет

${\displaystyle A^{*}A=I,}$

Но если J обозначает комплексное сопряжение последовательности, то

${\displaystyle JAJ=A^{*},\quad JA^{*}J=A}$

поскольку А симметрично. Следовательно

${\displaystyle AA^{*}=JA^{*}AJ=I}$

так что А унитарен.

Эквивалентные формы неравенств Грунского

Неравенства Голузина

Если грамм(z) - нормированная однолистная функция от |z| > 1, z₁, ..., z_N различные точки с |z_п| > 1 и α₁, ..., α_N - комплексные числа, неравенства Голузина, доказанные в 1947 году российским математиком Геннадием Михайловичем Голузиным (1906-1953), утверждают, что

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\log {g(z_{m})-g(z_{n}) \over z_{m}-z_{n}}\right|^{2}\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}\log {1 \over 1-(z_{m}{\overline {z_{n}}})^{-1}}.}$

Чтобы вывести их из неравенств Грунского, пусть

${\displaystyle \lambda _{k}=\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{-k}.}$

за k > 0.

Наоборот, неравенства Грунского следуют из неравенств Голузина, если взять

${\displaystyle \alpha _{m}={1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}z_{n}^{m}.}$

куда

${\displaystyle z_{n}=re^{2\pi in \over N}}$

с р > 1, стремясь к ∞.

Неравенства Бергмана – Шиффера.

Бергман и Шиффер (1951) дал другой вывод неравенств Грунского, используя воспроизводящие ядра и сингулярные интегральные операторы в геометрическая теория функций; более свежий подход можно найти в Баранов и Хеденмальм (2008).

Позволять ж(z) - нормированная однолистная функция от |z| <1, пусть z₁, ..., z_N быть различными точками с |z_п| <1 и пусть α₁, ..., α_N быть комплексными числами. Неравенства Бергмана-Шиффера утверждают, что

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\left[{\frac {f'(z_{m})f'(z_{n})}{(f(z_{m})-f(z_{n}))^{2}}}-{\frac {1}{(z_{m}-z_{n})^{2}}}\right]\right|\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}{\frac {1}{(1-z_{m}{\overline {z_{n}}})^{2}}}.}$

Чтобы вывести эти неравенства из неравенств Грунского, положим

${\displaystyle \lambda _{k}=k\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{k}.}$

за k > 0.

Наоборот, неравенства Грунского следуют из неравенств Бергмана-Шиффера, если взять

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\lambda _{n}z_{n}^{m}.}$

куда

${\displaystyle z_{n}=re^{\frac {2\pi in}{N}}}$

с р <1, стремясь к 0.

Приложения

Смотрите также: Теорема Грунского

Неравенства Грунского влекут множество неравенств для однолистных функций. Они также использовались Шиффером и Чарзински в 1960 году, чтобы дать совершенно элементарное доказательство того, что Гипотеза Бибербаха для четвертого коэффициента; гораздо более сложное доказательство было ранее найдено Шиффером и Гарабедяном в 1955 году.В 1968 году Педерсен и Одзава независимо друг от друга использовали неравенства Грунского для доказательства гипотезы для шестого коэффициента.^[1][2]

В доказательстве Шиффера и Чарзинского, если

${\displaystyle f(x)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+\cdots }$

нормированная однолистная функция в |z| <1, то

${\displaystyle g(z)=f(z^{2})^{-1/2}=z+b_{1}z^{-1}+b_{3}z^{-3}+\cdots }$

- нечетная однолистная функция в |z| > 1.

Объединение Теорема площади Гронуолла за ж с неравенствами Грунского для первого минора 2 x 2 матрицы Грунского грамм приводит к оценке |а₄| в терминах простой функции а₂ и свободный комплексный параметр. Свободный параметр можно выбрать так, чтобы граница стала функцией половины модуля а₂ и затем можно напрямую проверить, что эта функция не больше 4 в диапазоне [0,1].

Как показал Милин, неравенства Грунского можно возвести в степень. В простейшем случае пишут

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{n\geq 1}a_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}.}$

с а_п(ш) голоморфных по |ш| < 1.

Неравенства Грунского с λ_п = ш^п подразумевают, что

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}n|a_{n}(w)|^{2}\leq -\log(1-|w|^{2}).}$

С другой стороны, если

${\displaystyle \sum _{m\geq 0}b_{m}t^{m}=\exp \sum _{n\geq 1}a_{n}t^{n}}$

как формальный степенной ряд, то первый из Неравенства Лебедева – Милина (1965) утверждает, что^[3][4]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}|^{2}\leq \exp \sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2}.}$

Эквивалентно неравенство утверждает, что если грамм(z) - многочлен с грамм(0) = 0, тогда

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|e^{g}|^{2}\,d\theta \leq e^{A},}$

куда А это площадь грамм(D),

Для доказательства неравенства заметим, что коэффициенты определяются по рекурсивной формуле

${\displaystyle b_{n}={1 \over n}\sum _{m=1}^{n}ma_{m}b_{n-m}}$

так что Неравенство Коши – Шварца

${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq {1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}|b_{n-m}|^{2}.}$

Количество c_п получается путем наложения здесь равенства:

${\displaystyle c_{n}={1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}c_{n-m}}$

удовлетворить ${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq c_{n}}$ и, следовательно, меняя шаги,

${\displaystyle \sum |b_{n}|^{2}\leq \sum c_{n}=\exp \sum _{m\geq 1}m|a_{m}|^{2}.}$

В частности, определяя б_п(ш) тождеством

${\displaystyle \sum b_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}=\exp \sum a_{m}(\zeta ^{-1})z^{-m}={g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta },}$

следующее неравенство должно выполняться для |ш| < 1

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}(w)|^{2}\leq (1-|w|^{2})^{-1}.}$

Преобразование берлинга

Основная статья: Сингулярные интегральные операторы типа свертки

В Преобразование берлинга (также называемый Преобразование Берлинга-Альфорса и Преобразование Гильберта в комплексной плоскости) представляет собой один из наиболее прямых методов доказательства неравенств Грунского, следуя Бергман и Шиффер (1951) и Баранов и Хеденмальм (2008).

Преобразование Берлинга определено на L²(C) как операцию умножения на ${\displaystyle z/{\overline {z}}}$ на Преобразования Фурье. Таким образом, он определяет унитарный оператор. Его также можно определить непосредственно как интеграл главного значения^[5]

${\displaystyle (Th)(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}-{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{h(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy.}$

Для любой ограниченной открытой области Ω в C он определяет ограниченный оператор Т_Ω из конъюгата Пространство Бергмана из Ω на пространство Бергмана Ω: квадратная интегрируемая голоморфная функция продолжается до 0 вне Ω, чтобы получить функцию в L²(C) которому Т применяется, и результат ограничен на Ω, где он голоморфен. Если ж - голоморфное однолистное отображение из единичного круга D на Ω, то пространство Бергмана Ω и сопряженное с ним пространство можно отождествить с пространством D и Т_Ω становится сингулярным интегральным оператором с ядром

${\displaystyle K_{f}(z,w)={\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}.}$

Он определяет сокращение. С другой стороны, можно проверить, что Т_D = 0 путем вычисления непосредственно по степеням ${\displaystyle {\overline {z}}^{n}}$ используя теорему Стокса, чтобы перенести интеграл на границу.

Отсюда следует, что оператор с ядром

${\displaystyle {f'(z)f'(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}={\partial ^{2} \over \partial z\partial w}\log {f(z)-f(w) \over z-w}=-\sum _{m,n\geq 1}mnc_{mn}z^{m-1}w^{n-1}}$

действует как сжатие на сопряженном пространстве Бергмана D. Следовательно, если

${\displaystyle p(z)=\lambda _{1}+\lambda _{2}{\overline {z}}+\lambda _{3}{\overline {z}}^{2}+\cdots +\lambda _{N}{\overline {z}}^{N-1},}$

тогда

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}=\|(T_{f}-T_{z})p\|^{2}=\|T_{f}p\|^{2}\leq \|p\|^{2}=\sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

Оператор Грунского и определитель Фредгольма

Смотрите также: Определитель Фредгольма

Если Ω - ограниченная область в C с гладкой границей оператор Т_Ω можно рассматривать как ограниченную антилинейную сжимающий оператор в пространстве Бергмана ЧАС = А²(Ω). Он задается формулой

${\displaystyle (T_{\Omega }u)(z)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{{\overline {u(z)}} \over (z-w)^{2}}\,\,dx\,dy}$

за ты в гильбертовом пространстве ЧАС= А²(Ω). Т_Ω называется Грунский оператор из Ω (или ж). Его реализация на D с использованием однолистной функции ж отображение D на Ω и тот факт, что Т_D = 0 показывает, что он задается ограничением ядра

${\displaystyle {\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}-{\frac {1}{(z-w)^{2}}},}$

и поэтому Оператор Гильберта – Шмидта.

Антилинейный оператор Т = Т_Ω удовлетворяет соотношению самосопряженности

${\displaystyle (Tu,v)=(Tv,u)}$

за ты, v в ЧАС.

Таким образом А = Т² - компактный самонастраивающийся линейный оператор на ЧАС с

${\displaystyle (Au,u)=(Tu,Tu)=\|Tu\|^{2}\geq 0,}$

так что А положительный оператор. По спектральной теореме для компактных самосопряженных операторов существует ортонормированный базис ты_п из ЧАС состоящий из собственных векторов А:

${\displaystyle Au_{n}=\mu _{n}u_{n},}$

где μ_п неотрицательна в силу положительности А. Следовательно

${\displaystyle \mu _{n}=\lambda _{n}^{2}}$

с λ_п ≥ 0. Поскольку Т ездит с А, он оставляет неизменными свои собственные подпространства. Отношение положительности показывает, что оно действует тривиально на собственном нулевом подпространстве. Все остальные ненулевые собственные подпространства конечномерны и взаимно ортогональны. Таким образом, для каждого собственного подпространства можно выбрать ортонормированный базис так, чтобы:

${\displaystyle Tu_{n}=\lambda _{n}u_{n}.}$

(Обратите внимание, что ${\displaystyle T(iu_{n})=-\lambda _{n}iu_{n}}$ по антилинейности Т.)

Ненулевое λ_п (или иногда их обратные) называются Собственные значения Фредгольма из Ω:

${\displaystyle 0\leq \lambda _{n}\leq \|T\|\leq 1.}$

Если Ω - ограниченная область, не являющаяся кругом, Альфорс показал, что

${\displaystyle \|T_{\Omega }\|<1.}$

В Определитель Фредгольма для области Ω определяется как^[6][7]

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=\det(I-T_{\Omega }^{2})=\prod (1-\lambda _{n}^{2}).}$

Обратите внимание, что это имеет смысл, потому что А = Т² это оператор класса трассировки.

Шиффер и Хоули (1962) показал, что если ${\displaystyle 0\in \Omega }$ и ж исправляет 0, затем^[8][9]

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=-{\frac {1}{12\pi }}\left[\|\partial _{z}\log f'\|_{D}^{2}+\|\partial _{z}\log g'\|_{D^{c}}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {f(z)}{z}}\right\|_{D}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {g(z)}{z}}\right\|_{D^{c}}^{2}\right].}$

Здесь нормы лежат в пространствах Бергмана D и его дополнение D^c и грамм это однозначная карта из D^c на Ω^c фиксация ∞.

Аналогичная формула применима в случае пары однолистных функций (см. Ниже).

Сингулярные интегральные операторы на замкнутой кривой

Смотрите также: Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых

Пусть Ω - ограниченная односвязная область в C с гладкой границей C = ∂Ω. Таким образом, существует однолистное голоморфное отображение ж с единичного диска D на Ω до гладкого отображения между границами S¹ и C.

Примечания

1. Дюрен 1983, стр. 131–133
2. Koepf 2007
3. Дюрен 1983, стр. 143–144
4. Помимо элементарного доказательства этого результата, представленного здесь, в литературе есть еще несколько аналитических доказательств. Никольский (2002 г., п. 220), следуя де Бранж, отмечает, что это следствие стандартных неравенств, связанных с воспроизводящие ядра. Видом (1988) заметил, что это было непосредственным следствием Формула предела Сегё (1951). Действительно, если ж является действительным тригонометрическим полиномом на окружности, заданной как удвоенная действительная часть многочлена грамм(z), равной нулю в 0 на единичном круге, предельная формула Сегё утверждает, что определители Теплица е^ж увеличить до е^А куда А это площадь грамм(D). Первый определитель по определению является просто постоянным членом в е^ж = |е^грамм|².
5. Альфорс 1966
6. Шиффер 1959, п. 261
7. Шиффер и Хоули, 1962 г., п. 246
8. Шиффер и Хоули, 1962 г., стр. 245–246
9. Тахтаджан и Тео 2006

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1952), "Замечания об интегральном уравнении Неймана-Пуанкаре", Pacific J. Math., 2 (3): 271–280, Дои:10.2140 / pjm.1952.2.271
• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции о квазиконформных отображениях, Ван Ностранд
• Альфорс, Ларс В. (2010), Конформные инварианты. Разделы геометрической теории функций. Перепечатка оригинала 1973 года. С предисловием Питера Дюрена, Ф. В. Геринга и Брэда Осгуда., AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-5270-5
• Астала, Кари; Иванец, Тадеуш; Мартин, Гавен (2009), Эллиптические уравнения в частных производных и квазиконформные отображения на плоскости, Принстонский математический ряд, 48, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-13777-3
• Баранов, А .; Хеденмальм, Х. (2008), "Граничные свойства функций Грина на плоскости", Duke Math. Дж., 145: 1–24, arXiv:математика / 0608493, Дои:10.1215/00127094-2008-044
• Белл, С. Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение, Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  978-0-8493-8270-3
• Белл, С. Р. (2016), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение, Исследования в области высшей математики (2-е изд.), CRC Press, ISBN  9781498727211
• Бергман, С .; Шиффер, М. (1951), "Ядерные функции и конформное отображение", Compositio Mathematica, 8: 205–249
• Дурен, П. Л. (1983), Унивалентные функции, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90795-6
• Гахов, Ф. Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года, Dover Publications, ISBN  978-0-486-66275-6
• Гарнетт, Дж. Б. (2007), Ограниченные аналитические функции, Тексты для выпускников по математике, 236, Спрингер, ISBN  978-0-387-33621-3
• Голузин, Г. М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного, Переводы математических монографий, 26, Американское математическое общество
• Гонг, Шэн (1999), Гипотеза Бибербаха, Исследования AMS / IP по высшей математике, 12, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0655-5
• Гриншпан, А. З. (1999), «Гипотеза Бибербаха и функционалы Милина», Американский математический ежемесячник, 106 (3): 203–214, Дои:10.2307/2589676, JSTOR  2589676, МИСТЕР  1682341
• Гриншпан, Аркадий З. (2002), "Логарифмическая геометрия, возведение в степень и границы коэффициентов в теории однолистных функций и неперекрывающихся областей", в Kuhnau, Reiner (ed.), Теория геометрических функций, Справочник по комплексному анализу, Том 1, Амстердам: Северная Голландия, стр. 273–332, ISBN  978-0-444-82845-3, МИСТЕР  1966197, Zbl  1083.30017.
• Грунский, Гельмут (1939), "Koeffizientenbedingungen für schlicht abbildende meromorphe Funktionen", Mathematische Zeitschrift, 45 (1): 29–61, Дои:10.1007 / BF01580272, ISSN  0025-5874
• Грунский, Гельмут (1978), Лекции по теории функций в многосвязных областях, Studia Mathematica, 4, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN  978-3-525-40142-2
• Хейман, В. К. (1994), "Теорема Де Бранжа", Многовалентные функции, Кембриджские трактаты по математике, 110 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  0521460263
• Хавинсон, Д .; Путинар, М .; Шапиро, Х.С. (2007), "Вариационная проблема Пуанкаре в теории потенциала", Arch. Рацион. Мех. Анальный., 185 (1): 143–184, Bibcode:2007ArRMA.185..143K, CiteSeerX  10.1.1.569.7145, Дои:10.1007 / s00205-006-0045-1
• Кёпф, В. (2007), «Гипотеза Бибербаха, функции де Бранжа и Вайнштейна и неравенство Аски-Гаспера» (PDF), Рамануджанский журнал, 13 (1–3): 103–129, Дои:10.1007 / s11139-006-0244-2
• Милин, И. М. (1977), Однолистные функции и ортонормированные системы, Переводы математических монографий, 49, Американское математическое общество
• Неретин, Ю. А. (1996), Категории симметрий и бесконечномерные группы, Монографии Лондонского математического общества, 16, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-851186-1
• Никольский, Н. К. (2002), Операторы, функции и системы: легкое чтение, Vol. 1. Харди, Ханкель и Теплиц, Математические обзоры и монографии, 92, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1083-5
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой о квадратичных дифференциалах Герда Йенсена, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht
• Шиффер, М. (1948), «Многочлены Фабера в теории однолистных функций», Бык. Амер. Математика. Soc., 54: 503–517
• Шиффер, М. (1957), "Собственные значения Фредгольма плоских областей", Pacific J. Math., 7 (2): 1187–1225, Дои:10.2140 / pjm.1957.7.1187
• Шиффер М. (1959), "Собственные значения Фредгольма многосвязных областей", Pacific J. Math., 9: 211–269, Дои:10.2140 / pjm.1959.9.211
• Schiffer, M .; Хоули, Н. С. (1962), "Связи и конформное отображение", Acta Math., 107 (3–4): 175–274, Дои:10.1007 / bf02545790
• Шиффер, М. (1981), "Собственные значения Фредгольма и матрицы Грунского", Анна. Полон. Математика., 39: 149–164, Дои:10.4064 / ap-39-1-149-164
• Шур, И. (1945), «О многочленах Фабера», Амер. J. Math., 67: 33–41
• Шапиро, Х.С. (1992), Функция Шварца и ее обобщение на высшие измерения, Конспект лекций по математическим наукам в Университете Арканзаса, 9, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-57127-8
• Тахтаджан, Леон А.; Тео, Ли-Пэн (2006), "Метрика Вейля – Петерссона на универсальном пространстве Тейхмюллера", Mem. Амер. Математика. Soc., 183
• Видом, Х. (1988), "О неравенстве Осгуда, Филлипса и Сарнака", Proc. Амер. Математика. Soc., 102 (3): 773–774, Дои:10.1090 / s0002-9939-1988-0929019-3