Теорема Джеймса - Jamess theorem - Wikipedia

В математика, особенно функциональный анализ, Теорема Джеймса, названный в честь Роберт С. Джеймс, заявляет, что Банахово пространство B является рефлексивный если и только если каждый непрерывный линейный функционал на B достигает своего супремум на закрытом единичный мяч в B.

Более сильная версия теоремы утверждает, что a слабо закрытый подмножество C банахова пространства B является слабо компактный тогда и только тогда, когда каждый линейный непрерывный функционал на B достигает максимума на C.

От гипотезы полноты теоремы отказаться нельзя (Джеймс 1971 ).

Заявления

Космос Икс может быть реальным или сложным банаховым пространством. Его топологический двойник обозначается через ИКС ' . Топологическое двойственное ℝ-банахово пространство, выведенное из Икс при любом ограничении скаляр обозначим ИКС ' _ℝ . (Интересно, только если Икс это космический автомобиль, потому что если Икс является ℝ-пространством, то ИКС ' _ℝ = ИКС' .)

Критерий компактности Джеймса  - Позволять Икс быть банаховым пространством и А слабо замкнутое непустое подмножество Икс . Следующие условия эквивалентны: * А слабо компактно. * Для каждого ж ∈ ИКС ' , существует элемент а из А такой, что ж ( а ) = sup {| F ( Икс ) | ; Икс ∈ А }.* Для любого ж ∈ ИКС ' ℝ , существует элемент а из А такой, что ж ( а ) = sup {| F ( Икс ) | ; Икс ∈ А }.* Для любого ж ∈ ИКС ' ℝ , существует элемент а из А такой, что ж ( а ) = sup { ж ( Икс ); Икс ∈ А }.

Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар слабо компактен, что следует из этого вывода, поскольку норма непрерывной линейной формы является верхней границей ее модуля на этом шаре:

Теорема Джеймса  - Банахово пространство Икс рефлексивно тогда и только тогда, когда для всех ж ∈ ИКС' , существует элемент а из Икс как ║ а ║ ≤ 1 и ж ( а ) = ║ ж ║.

История

Исторически эти предложения доказывались в обратном порядке. В 1957 году Джеймс доказал критерий рефлексивности для сепарабельных банаховых пространств, а в 1964 году - для общих банаховых пространств. Поскольку рефлексивность эквивалентна слабой компактности единичной сферы, Виктор Л. Кли переформулировал это как критерий компактности для единичной сферы в 1962 году и предполагает, что этот критерий характеризует любые слабо компактные величины. Это было фактически доказано Р. К. Джеймсом в 1964 году.

Смотрите также

• Теорема Банаха – Алаоглу
• Теорема Бишопа – Фелпса
• Теорема Эберлейна – Шмулиана
• Лемма Мазура
• Теорема Голдстайна

Рекомендации

• Джеймс, Роберт С. (1957), "Рефлексивность и верхняя грань линейных функционалов", Анна. математики., 66 (1): 159–169, Дои:10.2307/1970122, JSTOR  1970122, МИСТЕР  0090019
• Джеймс, Роберт С. (1964), "Слабо компактные множества", Пер. Амер. Математика. Soc., Американское математическое общество, 113 (1): 129–140, Дои:10.2307/1994094, JSTOR  1994094, МИСТЕР  0165344.
• Джеймс, Роберт С. (1971), "Контрпример для теоремы sup в нормированном пространстве", Israel J. Math., 9 (4): 511–512, Дои:10.1007 / BF02771466.
• Джеймс, Роберт С. (1972), "Рефлексивность и суппорт линейных функционалов", Israel J. Math., 13 (3–4): 289–300, Дои:10.1007 / BF02762803, МИСТЕР  0338742.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств, Тексты для выпускников по математике, 183, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98431-3