Теорема мерсера - Mercers theorem - Wikipedia

В математика, конкретно функциональный анализ, Теорема Мерсера является представлением симметричной положительно определенный функция на квадрате как сумма сходящейся последовательности функций произведения. Эта теорема, изложенная в (Мерсер 1909 ), является одним из самых заметных результатов работы Джеймс Мерсер (1883–1932). Это важный теоретический инструмент в теории интегральные уравнения; он используется в Гильбертово пространство теория случайные процессы, например Теорема Карунена – Лоэва; и он также используется для характеристики симметричного положительного полуопределенного ядро.^[1]

Вступление

Чтобы объяснить Мерсер теорема сначала рассмотрим важный частный случай; видеть ниже для более общей формулировки. ядров этом контексте является симметричной непрерывной функцией

${\displaystyle K:[a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

где симметричный означает, что K(Икс, s) = K(s, Икс).

K как говорят неотрицательно определенный (или же положительно полуопределенный ) если и только если

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}K(x_{i},x_{j})c_{i}c_{j}\geq 0}$

для всех конечных последовательностей точек Икс₁, ..., Икс_п из [а, б] и все варианты действительных чисел c₁, ..., c_п (ср. положительно определенное ядро ).

Связано с K это линейный оператор (более конкретно Интегральный оператор Гильберта – Шмидта ) на функциях, определяемых интегралом

${\displaystyle [T_{K}\varphi ](x)=\int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds.}$

По техническим соображениям мы предполагаем ${\displaystyle \varphi }$ может распространяться через пространство L²[а, б] (видеть Lp пространство ) интегрируемых с квадратом вещественных функций. Т_K является линейным оператором, мы можем говорить о собственные значения и собственные функции из Т_K.

Теорема. Предполагать K - непрерывное симметричное неотрицательно определенное ядро. Тогда есть ортонормированный базис {е_я}_я из L²[а, б] состоящий из собственных функций Т_K такая, что соответствующая последовательность собственных значений {λ_я}_я неотрицательно. Собственные функции, соответствующие ненулевым собственным значениям, непрерывны на [а, б] и K имеет представление

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

где сходимость абсолютная и равномерная.

Подробности

Теперь мы объясним более подробно структуру доказательства теоремы Мерсера, в частности, как оно относится к спектральная теория компактных операторов.

• Карта K → Т_K инъективно.
• Т_K является неотрицательным симметричным компактным оператором на L²[а,б]; более того K(Икс, Икс) ≥ 0.

Чтобы показать компактность, покажите, что изображение единичный мяч из L²[а,б] под Т_K равностепенный и применить Теорема Асколи, чтобы показать, что образ единичного шара относительно компактен в C ([а,б]) с единая норма и a fortiori в L²[а,б].

Теперь примените спектральная теорема для компактных операторов в гильбертпространствах к Т_K чтобы показать существование ортонормального базиса {е_я}_я изL²[а,б]

${\displaystyle \lambda _{i}e_{i}(t)=[T_{K}e_{i}](t)=\int _{a}^{b}K(t,s)e_{i}(s)\,ds.}$

Если λ_я ≠ 0 собственный вектор (собственная функция ) е_я считается непрерывным на [а,б]. Сейчас же

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}|e_{i}(t)e_{i}(s)|\leq \sup _{x\in [a,b]}|K(x,x)|,}$

что показывает, что последовательность

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}e_{i}(t)e_{i}(s)}$

сходится абсолютно и равномерно к ядру K₀ который, как легко видеть, определяет тот же оператор, что и ядро K. Следовательно K=K₀ откуда следует теорема Мерсера.

Наконец, чтобы показать неотрицательность собственных значений, можно написать ${\displaystyle \lambda \langle f,f\rangle =\langle f,T_{K}f\rangle }$ и выражая правую часть в виде интеграла, хорошо аппроксимируемого его суммами Римана, которые неотрицательны в силу положительной определенности K, подразумевая ${\displaystyle \lambda \langle f,f\rangle \geq 0}$, подразумевая ${\displaystyle \lambda \geq 0}$.

След

Немедленно следующее:

Теорема. Предполагать K - непрерывное симметричное неотрицательно определенное ядро; Т_K имеет последовательность неотрицательных собственных значений {λ_я}_я. потом

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

Это показывает, что оператор Т_K это класс трассировки оператор и

${\displaystyle \operatorname {trace} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt.}$

Обобщения

Сама теорема Мерсера является обобщением результата, что любая симметричный положительно-полуопределенная матрица это Матрица грамиана набора векторов.

Первое обобщение^{[нужна цитата ]} заменяет интервал [а, б] с любым компактное хаусдорфово пространство и мера Лебега на [а, б] заменяется конечной счетно-аддитивной мерой μ на Борелевская алгебра из Икс чья поддержка Икс. Это означает, что μ (U)> 0 для любого непустого открытого подмножества U из Икс.

Недавнее обобщение^{[нужна цитата ]} заменяет эти условия следующими: множество Икс это исчисляемый первым топологическое пространство с борелевской (полной) мерой μ. Икс является носителем μ и для всех Икс в Икс, есть открытый набор U содержащий Икс и имеющий конечную меру. Тогда, по сути, имеет место тот же результат:

Теорема. Предполагать K является непрерывным симметричным положительно определенным ядром на Икс. Если функция κ равна L¹_μ(Икс), где κ (x) = K (x, x), для всех Икс в Икс, то есть ортонормированный набор {е_я}_я из L²_μ(Икс) состоящий из собственных функций Т_K такая, что соответствующая последовательность собственных значений {λ_я}_я неотрицательно. Собственные функции, соответствующие ненулевым собственным значениям, непрерывны на Икс и K имеет представление

${\displaystyle K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)}$

где сходимость абсолютна и равномерна на компактных подмножествах Икс.

Следующее обобщение^{[нужна цитата ]} имеет дело с представлениями измеримый ядра.

Позволять (Икс, M, μ) - пространство с σ-конечной мерой. An L² (или квадратично-интегрируемое) ядро ​​на Икс это функция

${\displaystyle K\in L_{\mu \otimes \mu }^{2}(X\times X).}$

L² ядра определяют ограниченный оператор Т_K по формуле

${\displaystyle \langle T_{K}\varphi ,\psi \rangle =\int _{X\times X}K(y,x)\varphi (y)\psi (x)\,d[\mu \otimes \mu ](y,x).}$

Т_K компактный оператор (на самом деле это даже Оператор Гильберта – Шмидта ). Если ядро K симметрично, по спектральная теорема, Т_K имеет ортонормированный базис собственных векторов. Те собственные векторы, которые соответствуют ненулевым собственным значениям, могут быть расположены в последовательности {е_я}_я (независимо от отделимости).

Теорема. Если K является симметричным положительно определенным ядром на (Икс, M, μ), то

${\displaystyle K(y,x)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\lambda _{i}e_{i}(y)e_{i}(x)}$

где сходимость в L² норма. Обратите внимание, что когда непрерывность ядра не предполагается, расширение больше не сходится равномерно.

Состояние Мерсера

В математика, а настоящий -ценный функция К (х, у) как говорят, выполняет Состояние Мерсера если для всех квадратично интегрируемые функции грамм(Икс) надо

${\displaystyle \iint g(x)K(x,y)g(y)\,dx\,dy\geq 0.}$

Дискретный аналог

Это аналогично определению положительно-полуопределенная матрица. Это матрица ${\displaystyle K}$ измерения ${\displaystyle N}$, что удовлетворяет для всех векторов ${\displaystyle g}$, недвижимость

${\displaystyle (g,Kg)=g^{T}{\cdot }Kg=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\,g_{i}\,K_{ij}\,g_{j}\geq 0}$.

Примеры

Положительная постоянная функция

${\displaystyle K(x,y)=c\,}$

удовлетворяет условию Мерсера, так как тогда интеграл принимает вид Теорема Фубини

${\displaystyle \iint g(x)\,c\,g(y)\,dxdy=c\int \!g(x)\,dx\int \!g(y)\,dy=c\left(\int \!g(x)\,dx\right)^{2}}$

что действительно неотрицательный.

Смотрите также

• Уловка ядра
• Теорема о представителях
• Спектральная теория
• Состояние Мерсера

Примечания

1. http://www.cs.berkeley.edu/~bartlett/courses/281b-sp08/7.pdf

Рекомендации

• Адриан Заанен, Линейный анализ, North Holland Publishing Co., 1960 г.,
• Феррейра, Дж. К., Менегатто, В. А., Собственные значения интегральных операторов, определяемые гладкими положительно определенными ядрами, Интегральное уравнение и теория операторов, 64 (2009), вып. 1, 61–81. (Дает обобщение теоремы Мерсера для метрических пространств. Результат легко адаптируется к первым счетным топологическим пространствам)
• Конрад Йоргенс, Линейные интегральные операторы, Питман, Бостон, 1982,
• Ричард Курант и Дэвид Гильберт, Методы математической физики, том 1, Interscience 1953,
• Роберт Эш, Теория информации, Dover Publications, 1990 г.,
• Мерсер, Дж. (1909), "Функции положительного и отрицательного типа и их связь с теорией интегральных уравнений", Философские труды Королевского общества А, 209 (441–458): 415–446, Дои:10.1098 / рста.1909.0016,
• «Теорема Мерсера», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Х. Кёниг, Распределение собственных значений компактных операторов, Birkhäuser Verlag, 1986. (Дает обобщение теоремы Мерсера для конечных мер μ.)