Твердое тело Муни – Ривлина - Mooney–Rivlin solid

В механика сплошной среды, а Твердое тело Муни – Ривлина^[1][2] это сверхупругий материал модель, где функция плотности энергии деформации ${\displaystyle W\,}$ это линейная комбинация двух инварианты из левый тензор деформации Коши – Грина ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$. Модель была предложена Мелвин Муни в 1940 г. и выражается через инварианты Рональд Ривлин в 1948 г.

Функция плотности энергии деформации для несжимаемый Материал Муни – Ривлина^[3][4]

${\displaystyle W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+C_{2}({\bar {I}}_{2}-3),\,}$

куда ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ являются эмпирически определенными материальными константами, и ${\displaystyle {\bar {I}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\bar {I}}_{2}}$ первые и вторые инвариантный из ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=(\det {\boldsymbol {B}})^{-1/3}{\boldsymbol {B}}}$ (в унимодулярный компонент ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$^[5]):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1},\quad I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2},\quad I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ это градиент деформации и ${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$. Для несжимаемый материал ${\displaystyle J=1}$.

Вывод

Модель Муни – Ривлина представляет собой частный случай обобщенная модель Ривлина (также называемый полиномиальная гиперупругая модель^[6]) который имеет вид

${\displaystyle W=\sum _{p,q=0}^{N}C_{pq}({\bar {I}}_{1}-3)^{p}~({\bar {I}}_{2}-3)^{q}+\sum _{m=1}^{M}D_{m}~(J-1)^{2m}}$

с ${\displaystyle C_{00}=0}$ куда ${\displaystyle C_{pq}}$ - материальные константы, связанные с искажением отклика и ${\displaystyle D_{m}}$ - материальные константы, связанные с объемным откликом. Для сжимаемый Материал Муни – Ривлина ${\displaystyle N=1,C_{01}=C_{2},C_{11}=0,C_{10}=C_{1},M=1}$ и у нас есть

${\displaystyle W=C_{01}~({\bar {I}}_{2}-3)+C_{10}~({\bar {I}}_{1}-3)+D_{1}~(J-1)^{2}}$

Если ${\displaystyle C_{01}=0}$ получаем неогуковское твердое тело, частный случай Твердое тело Муни – Ривлина.

Для согласованности с линейная эластичность в пределах небольшие штаммы, необходимо, чтобы

${\displaystyle \kappa =2\cdot D_{1}~;~~\mu =2~(C_{01}+C_{10})}$

куда ${\displaystyle \kappa }$ это объемный модуль и ${\displaystyle \mu }$ это модуль сдвига.

Напряжение Коши в терминах инвариантов деформации и тензоров деформации

В Напряжение Коши в сжимаемый гиперупругий материал с эталонной конфигурацией без напряжений определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}}$

Для сжимаемого материала Муни – Ривлина

${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=C_{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}=2D_{1}(J-1)}$

Следовательно, напряжение Коши в сжимаемом материале Муни – Ривлина определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}\left(C_{1}{\bar {I}}_{1}+2C_{2}{\bar {I}}_{2}~\right)\right]{\boldsymbol {I}}}$

После некоторой алгебры можно показать, что давление дан кем-то

${\displaystyle p:=-{\tfrac {1}{3}}\,{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {\partial W}{\partial J}}=-2D_{1}(J-1)\,.}$

Тогда напряжение можно выразить в виде

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[{\cfrac {2}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}$

Приведенное выше уравнение часто записывается с использованием унимодулярного тензора ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}\,{\boldsymbol {B}}}$ :

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[2\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-2~C_{2}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}$

Для несжимаемый Материал Муни – Ривлина с ${\displaystyle J=1}$ там держит ${\displaystyle p=0}$ и ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}={\boldsymbol {B}}}$ . Таким образом

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left(C_{1}+I_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,I_{1}+2C_{2}\,I_{2}\right){\boldsymbol {I}}\,.}$

С ${\displaystyle \det J=1}$ то Теорема Кэли – Гамильтона подразумевает

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-I_{1}~{\boldsymbol {B}}+I_{2}~{\boldsymbol {I}}.}$

Следовательно, напряжение Коши можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p^{*}~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}~{\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}^{-1}}$

куда ${\displaystyle p^{*}:={\tfrac {2}{3}}(C_{1}~I_{1}-C_{2}~I_{2}).\,}$

Напряжение Коши в терминах главных растяжений

Что касается основные участки, разности напряжений Коши для несжимаемый сверхупругий материал

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}}$

Для несжимаемый Материал Муни-Ривлина,

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)+C_{2}(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

Следовательно,

${\displaystyle \lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\lambda _{1}^{2}(\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\lambda _{2}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\lambda _{3}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2})}$

С ${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$. мы можем написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}&=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}\right)~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\\\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}&=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Тогда выражения для разностей напряжений Коши принимают вид

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)}$

Одноосное расширение

Для случая несжимаемого материала Муни – Ривлина при одноосном удлинении ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}$. Тогда настоящий стресс (Напряжение Коши) можно рассчитать как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}-\sigma _{33}&=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda \right)\\\sigma _{22}-\sigma _{33}&=0\end{aligned}}}$

Простое напряжение

Сравнение экспериментальных результатов (точки) и прогнозов для Закон Гука (1, синяя линия), неогуковское твердое тело (2, красная линия) и твердотельные модели Муни – Ривлина (3, зеленая линия)

В случае простого натяжения ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$. Тогда мы можем написать

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(2C_{1}+{\cfrac {2C_{2}}{\lambda }}\right)\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)}$

В альтернативных обозначениях, где напряжение Коши записывается как ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ и растяжка как ${\displaystyle \alpha }$, мы можем написать

${\displaystyle T_{11}=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha ^{2}-\alpha ^{-1}\right)}$

и инженерное напряжение (сила на единицу контрольной площади) для несжимаемого материала Муни-Ривлина при простом растяжении может быть рассчитана с помощью${\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=T_{11}\alpha _{2}\alpha _{3}={\cfrac {T_{11}}{\alpha }}}$. Следовательно

${\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha -\alpha ^{-2}\right)}$

Если мы определим

${\displaystyle T_{11}^{*}:={\cfrac {T_{11}^{\mathrm {eng} }}{\alpha -\alpha ^{-2}}}~;~~\beta :={\cfrac {1}{\alpha }}}$

тогда

${\displaystyle T_{11}^{*}=2C_{1}+2C_{2}\beta ~.}$

Наклон ${\displaystyle T_{11}^{*}}$ против ${\displaystyle \beta }$ линия дает значение ${\displaystyle C_{2}}$ в то время как перехват с ${\displaystyle T_{11}^{*}}$ ось дает значение ${\displaystyle C_{1}}$. Твердотельная модель Муни – Ривлина обычно лучше соответствует экспериментальным данным, чем Неогукевское твердое тело есть, но требует дополнительной эмпирической константы.

Равноосное натяжение

В случае равноосного растяжения основные растяжения равны ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda }$. Если к тому же материал несжимаемый, то ${\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}}$. Следовательно, различия напряжений Коши могут быть выражены как

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda ^{4}\right)}$

Уравнения для равноосного растяжения эквивалентны уравнениям для одноосного сжатия.

Чистый сдвиг

Чистой деформации сдвига можно добиться, применяя растяжки формы ^[7]

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

Следовательно, разность напряжений Коши для чистого сдвига может быть выражена как

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda ^{2}-1)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)-2C_{2}(\lambda ^{2}-1)}$

Следовательно

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=2(C_{1}+C_{2})\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

Для чистой сдвиговой деформации

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~;~~I_{2}={\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}={\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+\lambda ^{2}+1}$

Следовательно ${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$.

Простой сдвиг

Градиент деформации для простой сдвиговой деформации имеет вид^[7]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$ являются опорными ортонормированными базисными векторами в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением

${\displaystyle \gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

В матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши-Грина могут быть выражены как

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&-\gamma &0\\-\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Напряжение Коши определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})+2C_{1}\gamma ^{2}&2(C_{1}+C_{2})\gamma &0\\2(C_{1}+C_{2})\gamma &-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})-2C_{2}\gamma ^{2}&0\\0&0&-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})\end{bmatrix}}}$

Для обеспечения линейной эластичности четко ${\displaystyle \mu =2(C_{1}+C_{2})}$ куда ${\displaystyle \mu }$ - модуль сдвига.

Резинка

Упругий отклик резиноподобных материалов часто моделируется на основе модели Муни – Ривлина. Константы ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ определяются путем подгонки прогнозируемого напряжения из приведенных выше уравнений к экспериментальным данным. Рекомендуемые испытания: одноосное растяжение, равноосное сжатие, равноосное растяжение, одноосное сжатие, а также сдвиг, плоское растяжение и плоское сжатие. Двухпараметрическая модель Муни – Ривлина обычно действительна для деформаций менее 100%.

^[8]

Примечания и ссылки

1. Муни, М., 1940, Теория большой упругой деформации, Журнал прикладной физики, 11 (9), стр. 582–592.
2. Ривлин, Р. С., 1948 г., Большие упругие деформации изотропных материалов. IV. Дальнейшее развитие общей теории, Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 241 (835), стр. 379–397.
3. Буланже П. и Хейс М. А., 2001, "Волны конечной амплитуды в материалах Муни – Ривлина и Адамара", в Темы конечной эластичности, изд. M. A Hayes и G. Soccomandi, Международный центр механических наук.
4. К. В. Макоско, 1994, Реология: принципы, измерения и приложения, Издательство ВЧ, ISBN  1-56081-579-5.
5. Унимодулярность в данном контексте означает ${\displaystyle \det {\bar {\boldsymbol {B}}}=1}$.
6. Бауэр, Аллан (2009). Прикладная механика твердого тела. CRC Press. ISBN  1-4398-0247-5. Получено 2018-04-19.
7. Огден, Р. В., 1984, Нелинейные упругие деформации, Дувр
8. Хамза, Мухсин; Алван, Хасан (2010). «Гипеупругое конститутивное моделирование резины и резиноподобных материалов при конечной деформации». Eng. & Tech. Журнал. 28 (13): 2560–2575.

Смотрите также

• Гиперупругий материал
• Теория конечных деформаций
• Механика сплошной среды
• Функция плотности энергии деформации
• Указания по применению экспериментального определения констант Муни-Ривлина