Орбита - Orbit - Wikipedia

В Международная космическая станция орбиты земной шар примерно раз в 92 минуты на высоте около 400 км над уровнем моря.

Два тела разных массы вращающийся вокруг общего барицентр. Относительные размеры и тип орбиты аналогичны орбитам. Плутон –Харон система.

В физика, орбита это гравитационно изогнутый траектория из объект,^[1] например, траектория планета вокруг звезды или естественный спутник вокруг планеты. Обычно орбита относится к регулярно повторяющейся траектории, хотя она также может относиться к неповторяющейся траектории. В близком приближении планеты и спутники следуют эллиптические орбиты, с центр массы находясь на орбите в фокусе эллипса,^[2] как описано Законы движения планет Кеплера.

В большинстве случаев орбитальное движение адекватно аппроксимируется Ньютоновская механика, что объясняет сила тяжести как сила, подчиняющаяся закон обратных квадратов.^[3] Однако, Альберт Эйнштейн с общая теория относительности, который учитывает гравитацию как результат кривизны пространство-время, с орбитами, следующими геодезические, обеспечивает более точный расчет и понимание точной механики орбитального движения.

История

Исторически очевидные движения планет описывались европейскими и арабскими философами с использованием идеи небесные сферы. Эта модель постулировала существование совершенных движущихся сфер или колец, к которым прикреплены звезды и планеты. Предполагалось, что небеса закреплены отдельно от движения сфер, и было создано без какого-либо понимания гравитации. После более точного измерения движения планет теоретические механизмы, такие как деферент и эпициклы были добавлены. Хотя модель была способна достаточно точно предсказывать положение планет на небе, по мере того, как измерения становились более точными, требовалось все больше и больше эпициклов, следовательно, модель становилась все более громоздкой. Изначально геоцентрический, он был изменен Коперник поместить Солнце в центр, чтобы упростить модель. Модель подверглась дальнейшему оспариванию в 16 веке, когда наблюдались кометы, пересекающие сферы.^[4]^[5]

Основы современного понимания орбит были впервые сформулированы Иоганн Кеплер результаты которого суммированы в его трех законах движения планет. Во-первых, он обнаружил, что орбиты планет в нашем Солнечная система эллиптические, а не круговой (или же эпициклический ), как считалось ранее, и что Солнце находится не в центре орбит, а, скорее, в одном фокус.^[6] Во-вторых, он обнаружил, что орбитальная скорость каждой планеты не постоянна, как считалось ранее, а скорее зависит от расстояния планеты от Солнца. В-третьих, Кеплер обнаружил универсальную взаимосвязь между орбитальными свойствами всех планет, вращающихся вокруг Солнца. Для планет кубы их расстояний от Солнца пропорциональны квадратам их орбитальных периодов. Юпитер и Венера, например, около 5,2 и 0,723 соответственно. Австралия удалены от Солнца, их периоды обращения около 11,86 и 0,615 года соответственно. Пропорциональность видна из того факта, что отношение для Юпитера 5,2³/11.86², практически равна Венере 0,723³/0.615², в соответствии с отношениями. Идеализированные орбиты, отвечающие этим правилам, известны как Кеплеровские орбиты.

Линии, очерченные орбитами, на которых преобладает сила тяжести центрального источника, являются конические секции: формы кривых пересечения плоскости и конуса. Параболический (1) и гиперболический (3) орбиты побег орбиты, тогда как эллиптическая и круговая орбиты (2) являются захваченными.

На этом изображении показаны четыре категории траекторий с гравитационная потенциальная яма поля потенциальной энергии центральной массы, показанной черным цветом, и высоты кинетической энергии движущегося тела, показанной красным, простирающейся над ним, коррелируя с изменениями скорости при изменении расстояния согласно законам Кеплера.

Исаак Ньютон продемонстрировал, что законы Кеплера были выведены из его теории гравитация и что в целом орбиты тел, подверженных гравитации, были конические секции (это предполагает, что сила тяжести распространяется мгновенно). Ньютон показал, что для пары тел размеры орбит обратно пропорциональны их размерам. массы, и что эти тела вращаются вокруг своей общей центр массы. Когда одно тело намного массивнее другого (как в случае искусственного спутника, вращающегося вокруг планеты), удобно принимать центр масс как совпадающий с центром более массивного тела.

Затем достижения в механике Ньютона были использованы для изучения вариаций простых предположений, лежащих в основе орбит Кеплера, таких как возмущения, вызываемые другими телами, или влияние сфероидальных, а не сферических тел. Лагранж (1736–1813) разработал новый подход к ньютоновской механике, подчеркивающей энергию больше, чем силу, и добился прогресса в проблема трех тел, открывая Лагранжевые точки. В драматическом оправдании классической механики в 1846 г. Урбен Леверье смог предсказать положение Нептун на основе необъяснимых возмущений на орбите Уран.

Альберт Эйнштейн (1879-1955) в своей статье 1916 года Основы общей теории относительности объяснил, что гравитация была вызвана кривизной пространство-время и удалил предположение Ньютона, что изменения распространяются мгновенно. Это заставило астрономов признать, что Ньютоновская механика не обеспечивали высочайшей точности понимания орбит. В теория относительности, орбиты следуют геодезическим траекториям, которые обычно очень хорошо аппроксимируются предсказаниями Ньютона (кроме случаев, когда есть очень сильные гравитационные поля и очень высокие скорости), но различия измеримы. По сути, все экспериментальные свидетельства, которые могут различать теории, согласуются с теорией относительности с точностью до экспериментальных измерений. Первоначальное подтверждение общей теории относительности состоит в том, что она смогла учесть оставшуюся необъяснимую сумму в прецессия перигелия Меркурия впервые заметил Леверье. Однако решение Ньютона все еще используется для большинства краткосрочных целей, поскольку оно значительно проще в использовании и достаточно точное.

Планетарные орбиты

В пределах планетная система, планеты, карликовые планеты, астероиды и другие малые планеты, кометы, и космический мусор орбита системы барицентр в эллиптические орбиты. Комета в параболический или гиперболический орбита вокруг барицентра не связана гравитацией со звездой и поэтому не считается частью планетной системы звезды. Тела, гравитационно связанные с одной из планет планетной системы, либо естественный или искусственные спутники следуйте по орбитам вокруг барицентра вблизи или внутри этой планеты.

Благодаря взаимному гравитационные возмущения, то эксцентриситет планетных орбит меняются со временем. Меркурий, самая маленькая планета в Солнечной системе, имеет самую эксцентричную орбиту. В настоящее время эпоха, Марс имеет следующий по величине эксцентриситет, в то время как наименьшие эксцентриситеты орбиты видны с Венера и Нептун.

Когда два объекта вращаются друг вокруг друга, перицентр это точка, в которой два объекта находятся ближе всего друг к другу, а апоапсис это та точка, в которой они самые дальние. (Для конкретных органов используются более конкретные термины. Например, перигей и апогей являются самой низкой и самой высокой частью орбиты вокруг Земли, а перигелий и афелий - самая близкая и самая дальняя точки на орбите вокруг Солнца.)

В случае планет, вращающихся вокруг звезды, масса звезды и всех ее спутников рассчитывается так, чтобы они находились в одной точке, называемой барицентром. Пути всех спутников звезды представляют собой эллиптические орбиты вокруг этого барицентра.^{[сомнительный – обсудить]} Каждый спутник в этой системе будет иметь свою собственную эллиптическую орбиту с барицентром в одной фокусной точке этого эллипса. В любой точке своей орбиты любой спутник будет иметь определенное значение кинетической и потенциальной энергии по отношению к барицентру, и эта энергия является постоянной величиной в каждой точке его орбиты. В результате по мере приближения планеты перицентр, планета будет увеличивать скорость по мере уменьшения ее потенциальной энергии; по мере приближения планеты апоапсис, его скорость будет уменьшаться по мере увеличения его потенциальной энергии.

Понимание орбит

Есть несколько распространенных способов понимания орбит:

Сила, такая как гравитация, тянет объект по кривой траектории, когда он пытается улететь по прямой.
Когда объект притягивается к массивному телу, он падает на него. Однако если этого достаточно тангенциальная скорость он не упадет в тело, а вместо этого будет продолжать бесконечно следовать изогнутой траектории, вызванной этим телом. Затем говорится, что объект вращается вокруг тела.

В качестве иллюстрации орбиты вокруг планеты Пушечное ядро Ньютона модель может оказаться полезной (см. изображение ниже). Это 'мысленный эксперимент ', в котором пушка на вершине высокой горы может стрелять пушечным ядром по горизонтали с любой выбранной начальной скоростью. Влияние воздушного трения на пушечное ядро игнорируется (или, возможно, гора достаточно высока, чтобы пушка находилась над атмосферой Земли, что одно и то же).^[7]

Пушечное ядро Ньютона, иллюстрация того, как объекты могут "падать" по кривой

Конические сечения описывают возможные орбиты (желтые) малых объектов вокруг Земли. Проекция этих орбит на гравитационный потенциал (синий цвет) Земли позволяет определить орбитальную энергию в каждой точке космоса.

Если пушка стреляет шаром с низкой начальной скоростью, траектория шара изгибается вниз и ударяется о землю (A). По мере увеличения скорости стрельбы пушечное ядро ударяется о землю дальше (B) от пушки, потому что, пока мяч все еще падает на землю, земля все больше изгибается от него (см. Первый пункт выше). Все эти движения на самом деле являются "орбитами" в техническом смысле - они описывают часть эллиптической траектории вокруг центра тяжести, - но орбиты прерываются при столкновении с Землей.

Если пушечное ядро стреляет с достаточной скоростью, земля изгибается в сторону от мяча, по крайней мере, на столько же, насколько мяч падает, поэтому мяч никогда не ударяется о землю. Сейчас он находится на орбите, которую можно назвать непрерывной или кругосветной. Для любой конкретной комбинации высоты над центром тяжести и массы планеты существует одна удельная скорость стрельбы (не зависящая от массы шара, которая, как предполагается, очень мала по сравнению с массой Земли), которая дает круговая орбита, как показано на (C).

Когда скорость стрельбы увеличивается сверх этого, создаются непрерывные эллиптические орбиты; один показан в (D). Если первоначальная стрельба происходит над поверхностью Земли, как показано, также будут непрерывные эллиптические орбиты с меньшей скоростью стрельбы; они приблизятся к Земле в точке, находящейся на половине орбиты дальше и прямо напротив точки взрыва, ниже круговой орбиты.

При определенной горизонтальной скорости стрельбы, называемой скорость убегания в зависимости от массы планеты достигается открытая орбита (E), которая имеет параболический путь. На еще большей скорости объект будет следовать за диапазоном гиперболические траектории. В практическом смысле оба этих типа траектории означают, что объект «вырывается» из-под гравитации планеты и «улетает в космос», чтобы никогда не вернуться.

Соотношение скоростей двух движущихся объектов с массой, таким образом, можно рассматривать в четырех практических классах с подтипами:

Нет орбиты
Суборбитальные траектории
- Диапазон прерванных эллиптических траекторий
Орбитальные траектории (или просто "орбиты")
- Диапазон эллиптических траекторий с ближайшей точкой напротив огневой точки
- Круговой путь
- Дальность эллиптических траекторий с ближайшей точкой при стрельбе
Открытые (или уходящие) траектории
- Параболические пути
- Гиперболические пути

Стоит отметить, что орбитальные ракеты сначала запускаются вертикально, чтобы поднять ракету над атмосферой (что вызывает сопротивление трения), а затем медленно наклоняются и завершают запуск ракетного двигателя параллельно атмосфере для достижения орбитальной скорости.

Оказавшись на орбите, их скорость удерживает их на орбите над атмосферой. Если, например, эллиптическая орбита погружается в плотный воздух, объект потеряет скорость и снова войдет в нее (то есть упадет). Иногда космический корабль намеренно перехватывает атмосферу, что обычно называется маневром торможения.

Законы движения Ньютона

Закон тяготения Ньютона и законы движения для задач двух тел

В большинстве случаев релятивистскими эффектами можно пренебречь, и Законы Ньютона дать достаточно точное описание движения. Ускорение тела равно сумме действующих на него сил, деленной на его массу, а гравитационная сила, действующая на тело, пропорциональна произведению масс двух притягивающих тел и убывает обратно пропорционально квадрату расстояние между ними. В этом ньютоновском приближении для системы двухточечных масс или сферических тел, на которые влияет только их взаимное притяжение (называемое проблема двух тел ) их траектории можно точно рассчитать. Если более тяжелое тело намного массивнее меньшего, как в случае спутника или маленькой луны, вращающейся вокруг планеты, или в случае Земли, вращающейся вокруг Солнца, достаточно точно и удобно описать движение в терминах система координат которая сосредоточена на более тяжелом теле, и мы говорим, что более легкое тело вращается вокруг более тяжелого. Для случая, когда массы двух тел сравнимы, точное ньютоновское решение все еще достаточно, и его можно получить, поместив систему координат в центр масс системы.

Определение гравитационной потенциальной энергии

Энергия связана с гравитационные поля. Неподвижное тело, находящееся далеко от другого, может совершать внешнюю работу, если оно притягивается к нему, и поэтому имеет гравитационное потенциальная энергия. Поскольку для разделения двух тел против силы тяжести требуется работа, их гравитационная потенциальная энергия увеличивается по мере их разделения и уменьшается по мере приближения друг к другу. Для точечных масс гравитационная энергия уменьшается до нуля по мере приближения к нулевому разделению. Удобно и традиционно приписывать потенциальной энергии нулевое значение, когда они находятся на бесконечном расстоянии друг от друга, и, следовательно, она имеет отрицательное значение (так как она уменьшается от нуля) для меньших конечных расстояний.

Орбитальные энергии и формы орбит

Когда взаимодействуют только два гравитационных тела, их орбиты следуют коническая секция. Орбита может быть открытой (подразумевая, что объект никогда не вернется) или закрытой (возвращение). Что это зависит от общего энергия (кинетический + потенциальная энергия ) системы. В случае открытой орбиты скорость в любом положении орбиты не менее скорость убегания для этого положения, в случае замкнутой орбиты, скорость всегда меньше скорости убегания. Поскольку кинетическая энергия никогда не бывает отрицательной, если принято общее соглашение о принятии потенциальной энергии за ноль при бесконечном разделении, связанные орбиты будут иметь отрицательную полную энергию, параболические траектории будут иметь нулевую полную энергию, а гиперболические орбиты будут иметь положительную полную энергию.

Открытая орбита будет иметь параболическую форму, если она имеет скорость, равную скорости убегания в этой точке траектории, и будет иметь форму гипербола когда его скорость больше, чем скорость убегания. Когда тела со второй или большей скоростью сближения приближаются друг к другу, они на короткое время изгибаются вокруг друг друга во время максимального сближения, а затем разделяются навсегда.

Все замкнутые орбиты имеют форму эллипс. Круговая орбита - это частный случай, когда фокусы эллипса совпадают. Точка, в которой вращающееся тело находится ближе всего к Земле, называется перигей, и называется перицентром (менее правильно, «перифокусом» или «перицентроном»), когда орбита проходит вокруг тела, отличного от Земли. Точка, в которой спутник находится дальше всего от Земли, называется апогей, апоапсис или иногда апифокус или апоцентрон. Линия, проведенная от периапсиса к апоапсису, - это линия апсид. Это большая ось эллипса, линия, проходящая через его самую длинную часть.

Законы Кеплера

Тела, следующие по замкнутым орбитам, повторяют свой путь с определенным временем, называемым периодом. Это движение описывается эмпирическими законами Кеплера, которые математически можно вывести из законов Ньютона. Их можно сформулировать следующим образом:

Орбита планеты вокруг солнце представляет собой эллипс, в котором Солнце находится в одной из центральных точек этого эллипса. [Этот фокус на самом деле барицентр системы Солнце-планета; для простоты это объяснение предполагает, что масса Солнца бесконечно больше, чем масса этой планеты.] Орбита планеты лежит в плоскости, называемой орбитальный самолет. Ближайшая к притягивающему телу точка на орбите - перицентр. Точка, наиболее удаленная от притягивающего тела, называется апоапсисом. Существуют также определенные термины для орбит вокруг определенных тел; вещи, вращающиеся вокруг Солнца, имеют перигелий и афелий, вещи, вращающиеся вокруг Земли, имеют перигей и апогей, и вещи, вращающиеся вокруг Луна есть опасность и Apolune (или же периселен и апоселен соответственно). Орбита вокруг любого звезда не только Солнце, периастр и апастрон.
Когда планета движется по своей орбите, линия от Солнца к планете проходит через постоянную площадь орбитальный самолет в течение заданного периода времени, независимо от того, какую часть своей орбиты планета отслеживает в течение этого периода времени. Это означает, что планета приближается к своему перигелий чем рядом с его афелий, потому что на меньшем расстоянии необходимо провести большую дугу, чтобы покрыть ту же площадь. Этот закон обычно формулируется как «равные площади в равное время».
Для данной орбиты отношение куба ее большая полуось к квадрату его периода постоянна.

Ограничения закона всемирного тяготения Ньютона

Обратите внимание, что при ограниченных орбитах точечной массы или сферического тела с Ньютоновское гравитационное поле закрыты эллипсы, которые точно и бесконечно повторяют один и тот же путь, любые несферические или неньютоновские эффекты (например, вызванные небольшим сжатием земной шар, или релятивистские эффекты, тем самым изменяя поведение гравитационного поля с расстоянием) вызовет отклонение формы орбиты от замкнутой эллипсы характеристика ньютоновского движение двух тел. Двухчастичные решения были опубликованы Ньютоном в Principia в 1687 г. В 1912 г. Карл Фритьоф Сундман разработал сходящийся бесконечный ряд, который решает проблема трех тел; однако он сходится слишком медленно, чтобы быть полезным. За исключением особых случаев, таких как Лагранжевые точки, не известен ни один метод решения уравнений движения для системы с четырьмя и более телами.

Подходы к многотельным проблемам

Вместо точного решения в замкнутой форме, орбиты с множеством тел можно аппроксимировать с произвольно высокой точностью. Эти приближения принимают две формы:

Одна форма берет за основу чистое эллиптическое движение и добавляет возмущение термины для учета гравитационного влияния нескольких тел. Это удобно для расчета положения астрономических тел. Уравнения движения лун, планет и других тел известны с большой точностью и используются для генерации столы за небесная навигация. Тем не менее, есть светские явления с которыми приходится иметь дело постньютоновский методы.

В дифференциальное уравнение форма используется для научных целей или для целей планирования миссии. Согласно законам Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело, будет равна массе тела, умноженной на его ускорение (F = ma). Следовательно, ускорение можно выразить в позициях. Члены возмущения намного проще описать в такой форме. Прогнозирование последующих положений и скоростей по начальным значениям положения и скорости соответствует решению проблема начального значения. Численные методы вычисляют положения и скорости объектов на короткое время в будущем, а затем повторяют вычисление до тошноты. Однако крошечные арифметические ошибки из-за ограниченной точности математических вычислений компьютера являются кумулятивными, что ограничивает точность этого подхода.

При дифференциальном моделировании с большим количеством объектов вычисления выполняются попарно иерархически между центрами масс. По этой схеме были смоделированы галактики, звездные скопления и другие большие скопления объектов.^{[нужна цитата ]}

Ньютоновский анализ орбитального движения

(Смотрите также Орбита Кеплера, уравнение орбиты и Первый закон Кеплера.)

Земля движется по эллипсу вокруг Солнца, но в отличие от эллипса, за которым следует маятник или объект, прикрепленный к пружине, Солнце находится в фокусе эллипса, а не в его центре.

Следующий вывод применим к такой эллиптической орбите. Начнем только с Ньютоновский закон всемирного тяготения, гласящий, что ускорение свободного падения по направлению к центральному телу связано с обратным квадрату расстояния между ними, а именно

уравнение 1.

{ displaystyle F_ {2} = - { frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}

где F₂ сила, действующая на массу м₂ вызванный массой гравитационного притяжения м₁ имеет для м₂, г - универсальная гравитационная постоянная, а р это расстояние между двумя центрами масс.

Согласно Второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на м₂ связанные с ускорением этого тела:

уравнение 2.

{ displaystyle F_ {2} = m_ {2} A_ {2}}

где А₂ это ускорение м₂ вызванный силой гравитационного притяжения F₂ из м₁ действующий на м₂.

Комбинируя уравнения 1 и 2:

{ displaystyle - { frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} = m_ {2} A_ {2}}

Решая для ускорения, А₂:

{ displaystyle A_ {2} = { frac {F_ {2}} {m_ {2}}} = - { frac {1} {m_ {2}}} { frac {Gm_ {1} m_ {2 }} {r ^ {2}}} = - { frac { mu} {r ^ {2}}}}

где ${ displaystyle mu ,}$ это стандартный гравитационный параметр, в этом случае ${ displaystyle Gm_ {1}}$ . Понятно, что описываемая система м₂, поэтому индексы можно опустить.

Мы предполагаем, что центральное тело достаточно массивно, чтобы его можно было считать неподвижным, и игнорируем более тонкие эффекты общая теория относительности.

Когда маятник или объект, прикрепленный к пружине, качается по эллипсу, внутреннее ускорение / сила пропорциональны расстоянию. ${ displaystyle A = F / m = -kr.}$ Из-за способа суммирования векторов компонент силы в ${ displaystyle { hat { mathbf {x}}}}$ или в ${ Displaystyle { шляпа { mathbf {y}}}}$ направления также пропорциональны соответствующим компонентам расстояний, ${ displaystyle r '' _ {x} = A_ {x} = - kr_ {x}}$ . Следовательно, весь анализ может быть выполнен отдельно в этих измерениях. Это приводит к гармоническим параболическим уравнениям ${ Displaystyle х = А соз (т)}$ и ${ Displaystyle у = В грех (т)}$ эллипса. Напротив, при уменьшении отношения ${ Displaystyle А = му / г ^ {2}}$ , размеры нельзя разделить.^{[нужна цитата ]}

Местоположение орбитального объекта в текущее время ${ displaystyle t}$ находится в плоскости с помощьюВекторное исчисление в полярные координаты как со стандартным евклидовым базисом, так и с полярным базисом, начало координат которого совпадает с центром силы. ${ displaystyle r}$ расстояние между объектом и центром и ${ displaystyle theta}$ быть углом, на который он повернулся. ${ displaystyle { hat { mathbf {x}}}}$ и ${ Displaystyle { шляпа { mathbf {y}}}}$ быть стандартом Евклидово базы и пусть ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}} = cos ( theta) { hat { mathbf {x}}} + sin ( theta) { hat { mathbf {y}}} }$ и ${ displaystyle { hat { boldsymbol { theta}}} = - sin ( theta) { hat { mathbf {x}}} + cos ( theta) { hat { mathbf {y} }}}$ быть радиальным и поперечным полярный Первый - это единичный вектор, указывающий от центрального тела к текущему положению орбитального объекта, а второй - ортогональный единичный вектор, указывающий в направлении, в котором движущийся объект будет двигаться, если будет вращаться по кругу против часовой стрелки. Тогда вектор к вращающемуся объекту равен

{ displaystyle { hat { mathbf {O}}} = r cos ( theta) { hat { mathbf {x}}} + r sin ( theta) { hat { mathbf {y} }} = г { hat { mathbf {r}}}}

Мы используем ${ displaystyle { dot {r}}}$ и ${ displaystyle { dot { theta}}}$ для обозначения стандартных производных того, как это расстояние и угол меняются с течением времени. Мы берем производную вектора, чтобы увидеть, как он изменяется со временем, вычитая его местоположение во времени. ${ displaystyle t}$ с того времени ${ Displaystyle т + дельта т}$ и деление на ${ displaystyle delta t}$ . Результат - тоже вектор. Поскольку наш базисный вектор ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$ движется по орбите объекта, мы начнем с его дифференциации. ${ displaystyle t}$ к ${ Displaystyle т + дельта т}$ , вектор ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$ сохраняет свое начало в начале координат и вращается из угла ${ displaystyle theta}$ к ${ displaystyle theta + { dot { theta}} delta t}$ который перемещает голову на расстояние ${ displaystyle { dot { theta}} delta t}$ в перпендикулярном направлении ${ displaystyle { hat { boldsymbol { theta}}}}$ давая производную от ${ displaystyle { dot { theta}} { hat { boldsymbol { theta}}}}$ .

{ displaystyle { hat { mathbf {r}}} = cos ( theta) { hat { mathbf {x}}} + sin ( theta) { hat { mathbf {y}}} }

{ displaystyle { frac { delta { hat { mathbf {r}}}} { delta t}} = { dot { mathbf {r}}} = - sin ( theta) { dot { theta}} { hat { mathbf {x}}} + cos ( theta) { dot { theta}} { hat { mathbf {y}}} = { dot { theta} } { hat { boldsymbol { theta}}}}

{ displaystyle { hat { boldsymbol { theta}}} = - sin ( theta) { hat { mathbf {x}}} + cos ( theta) { hat { mathbf {y} }}}

{ displaystyle { frac { delta { hat { boldsymbol { theta}}}} { delta t}} = { dot { boldsymbol { theta}}} = - cos ( theta) { dot { theta}} { hat { mathbf {x}}} - sin ( theta) { dot { theta}} { hat { mathbf {y}}} = - { dot { theta}} { hat { mathbf {r}}}}

Теперь мы можем найти скорость и ускорение нашего орбитального объекта.

{ Displaystyle { шляпа { mathbf {O}}} = г { шляпа { mathbf {r}}}}

{ displaystyle { dot { mathbf {O}}} = { frac { delta r} { delta t}} { hat { mathbf {r}}} + r { frac { delta { шляпа { mathbf {r}}}} { delta t}} = { dot {r}} { hat { mathbf {r}}} + r [{ dot { theta}} { hat { boldsymbol { theta}}}]}

{ displaystyle { ddot { mathbf {O}}} = [{ ddot {r}} { hat { mathbf {r}}} + { dot {r}} { dot { theta}} { hat { boldsymbol { theta}}}] + [{ dot {r}} { dot { theta}} { hat { boldsymbol { theta}}} + r { ddot { theta }} { hat { boldsymbol { theta}}} - r { dot { theta}} ^ {2} { hat { mathbf {r}}}]}

{ displaystyle = [{ ddot {r}} - r { dot { theta}} ^ {2}] { hat { mathbf {r}}} + [r { ddot { theta}} + 2 { dot {r}} { dot { theta}}] { hat { boldsymbol { theta}}}}

Коэффициенты при ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$ и ${ displaystyle { hat { boldsymbol { theta}}}}$ дают ускорения в радиальном и поперечном направлениях. Как сказано, Ньютон дает это первое из-за силы тяжести ${ displaystyle - mu / r ^ {2}}$ а второй - ноль.

{ displaystyle { ddot {r}} - r { dot { theta}} ^ {2} = - { frac { mu} {r ^ {2}}}}

(1)

{ displaystyle r { ddot { theta}} + 2 { dot {r}} { dot { theta}} = 0}

(2)

Уравнение (2) можно преобразовать, используя интегрирование по частям.

{ displaystyle r { ddot { theta}} + 2 { dot {r}} { dot { theta}} = { frac {1} {r}} { frac {d} {dt}} left (r ^ {2} { dot { theta}} right) = 0}

Мы можем умножить на ${ displaystyle r}$ потому что она не равна нулю, если только орбитальный объект не потерпит крах. Если производная равна нулю, функция будет константой.

{ displaystyle r ^ {2} { dot { theta}} = h}

(3)

что на самом деле является теоретическим доказательством Второй закон Кеплера (Линия, соединяющая планету и Солнце, сметает равные области за равные промежутки времени). Константа интегрирования, час, это угловой момент на единицу массы.

Чтобы получить уравнение для орбиты из уравнения (1), нам нужно исключить время.^[8] (Смотрите также Уравнение Бине.) В полярных координатах это будет выражать расстояние ${ displaystyle r}$ орбитального объекта из центра в зависимости от его угла ${ displaystyle theta}$ . Однако проще ввести вспомогательную переменную ${ displaystyle u = 1 / r}$ и выразить ${ displaystyle u}$ как функция ${ displaystyle theta}$ . Производные ${ displaystyle r}$ относительно времени могут быть переписаны как производные от ${ displaystyle u}$ по углу.

{ displaystyle u = {1 over r}}

{ displaystyle { dot { theta}} = { frac {h} {r ^ {2}}} = hu ^ {2}}

(переделка (3))

{ displaystyle { begin {align} & { frac { delta u} { delta theta}} = { frac { delta} { delta t}} left ({ frac {1} {r }} right) { frac { delta t} { delta theta}} = - { frac { dot {r}} {r ^ {2} { dot { theta}}}} = - { frac { dot {r}} {h}} & { frac { delta ^ {2} u} { delta theta ^ {2}}} = - { frac {1} {h }} { frac { delta { dot {r}}} { delta t}} { frac { delta t} { delta theta}} = - { frac { ddot {r}} { h { dot { theta}}}} = - { frac { ddot {r}} {h ^ {2} u ^ {2}}} { text {или}} { ddot {r}} = - h ^ {2} u ^ {2} { frac { delta ^ {2} u} { delta theta ^ {2}}} end {выравнивается}}}

Вставка их в (1) дает

{ displaystyle { ddot {r}} - r { dot { theta}} ^ {2} = - { frac { mu} {r ^ {2}}}}

{ displaystyle -h ^ {2} u ^ {2} { frac { delta ^ {2} u} { delta theta ^ {2}}} - { frac {1} {u}} (hu ^ {2}) ^ {2} = - mu u ^ {2}}

{ displaystyle { frac { delta ^ {2} u} { delta theta ^ {2}}} + u = { frac { mu} {h ^ {2}}}}

Итак, для гравитационной силы - или, в более общем смысле, для любой закон обратных квадратов силы - правая часть уравнения становится постоянной, и уравнение рассматривается как гармоническое уравнение (вплоть до сдвига начала отсчета зависимой переменной). Решение:

{ displaystyle u ( theta) = { frac { mu} {h ^ {2}}} - A cos ( theta - theta _ {0})}

где А и θ₀ - произвольные константы. Полученное уравнение орбиты объекта является уравнением эллипс в полярной форме относительно одной из фокусных точек. Это переводится в более стандартную форму, если ${ Displaystyle е эквив ч ^ {2} A / mu}$ быть эксцентриситет, позволяя ${ Displaystyle а эквив ч ^ {2} / ( му (1-е ^ {2}))}$ - большая полуось. ${ Displaystyle тета _ {0} эквив 0}$ поэтому длинная ось эллипса проходит вдоль положительной Икс координировать.

{ Displaystyle г ( тета) = { гидроразрыва {а (1-е ^ {2})} {1 + е соз тета}}}

Релятивистское орбитальное движение

Вышеупомянутый классический (Ньютоновский ) анализ орбитальная механика предполагает, что более тонкие эффекты общая теория относительности, такие как перетаскивание кадра и гравитационное замедление времени незначительны. Релятивистские эффекты перестают быть незначительными вблизи очень массивных тел (как в случае прецессия орбиты Меркурия о Солнце), или когда требуется предельная точность (как при расчетах орбитальные элементы и эталонные сигналы времени для GPS спутники.^[9]).

Орбитальные самолеты

До сих пор анализ был двумерным; оказывается, что невозмутимый Орбита является двумерной в плоскости, фиксированной в пространстве, и, таким образом, расширение до трех измерений требует простого поворота двухмерной плоскости на требуемый угол относительно полюсов рассматриваемого планетарного тела.

Вращение, чтобы сделать это в трех измерениях, требует однозначного определения трех чисел; традиционно они выражаются в виде трех углов.

Орбитальный период

Период обращения по орбите - это просто то, сколько времени требуется орбитальному телу, чтобы завершить один оборот.

Определение орбит

Шесть параметров необходимы, чтобы указать Кеплеровская орбита о теле. Например, три числа, определяющие начальное положение тела, и три значения, определяющие его скорость, будут определять уникальную орбиту, которая может быть рассчитана вперед (или назад) во времени. Однако традиционно используемые параметры немного отличаются.

Традиционно используемый набор орбитальных элементов называется набором Кеплеровские элементы, после Иоганна Кеплера и его законов. Кеплеровских элементов шесть:

В принципе, если известны элементы орбиты тела, его положение может быть вычислено вперед и назад неограниченно во времени. Однако на практике орбиты нарушаются или возмущенный, другими силами, кроме простой гравитации, от предполагаемого точечного источника (см. следующий раздел), и, таким образом, элементы орбиты меняются со временем.

Орбитальные возмущения

Орбитальное возмущение - это когда сила или импульс, который намного меньше общей силы или среднего импульса основного гравитирующего тела и который является внешним по отношению к двум вращающимся телам, вызывает ускорение, которое со временем изменяет параметры орбиты.

Радиальные, продольные и поперечные возмущения

Небольшой радиальный импульс, поданный телу на орбите, изменяет эксцентриситет, но не орбитальный период (в первую очередь). А продвигать или ретроградный импульс (т. е. импульс, приложенный вдоль орбитального движения) изменяет как эксцентриситет, так и орбитальный период. Примечательно, что прогрессивный импульс на перицентр поднимает высоту на апоапсис, и наоборот, и ретроградный импульс делает обратное. Поперечный импульс (вне плоскости орбиты) вызывает вращение орбитальный самолет без изменения период или эксцентриситет. Во всех случаях замкнутая орбита все равно будет пересекать точку возмущения.

Орбитальный распад

Если орбита вращается вокруг планетарного тела со значительной атмосферой, его орбита может распадаться из-за тянуть. Особенно на каждом перицентр, объект испытывает атмосферное сопротивление, теряя энергию. Каждый раз орбита становится менее эксцентричной (более круговой), потому что объект теряет кинетическую энергию именно тогда, когда эта энергия максимальна. Это похоже на эффект замедления маятника в его самой низкой точке; высшая точка качания маятника становится ниже. С каждым последующим замедлением все больше и больше орбиты попадает под влияние атмосферы, и эффект становится более выраженным. В конце концов, эффект становится настолько большим, что максимальной кинетической энергии недостаточно, чтобы вернуться на орбиту за пределы эффекта атмосферного сопротивления. Когда это происходит, тело быстро движется по спирали вниз и пересекает центральное тело.

Границы атмосферы сильно различаются. Во время солнечный максимум, атмосфера Земли вызывает сопротивление на сотню километров больше, чем во время солнечного минимума.

Некоторые спутники с длинными проводящими тросами также могут испытывать орбитальный распад из-за электромагнитного сопротивления со стороны Магнитное поле Земли. Когда провод разрезает магнитное поле, он действует как генератор, перемещая электроны от одного конца к другому. Орбитальная энергия преобразуется в проводе в тепло.

На орбиты можно искусственно влиять с помощью ракетных двигателей, которые изменяют кинетическую энергию тела в какой-то момент на его пути. Это преобразование химической или электрической энергии в кинетическую энергию. Таким образом можно облегчить изменение формы или ориентации орбиты.

Другой метод искусственного воздействия на орбиту - использование солнечные паруса или магнитные паруса. Эти формы движения не требуют никакого топлива или энергии, кроме энергии Солнца, и поэтому могут использоваться бесконечно. Видеть статит для одного такого предлагаемого использования.

Орбитальный распад может происходить из-за приливные силы для объектов ниже синхронная орбита для тела, которое они вращаются. Гравитация орбитального объекта увеличивается приливные выпуклости в первичной части, и поскольку ниже синхронной орбиты орбитальный объект движется быстрее, чем поверхность тела, выпуклости отстают от него на небольшой угол. Гравитация выпуклостей немного отклоняется от оси основного спутника и, таким образом, имеет компонент вдоль движения спутника. Ближняя выпуклость замедляет объект больше, чем дальняя выпуклость ускоряет его, и в результате орбита затухает. И наоборот, сила тяжести спутника на выступах применяется крутящий момент на первичном и ускоряет его вращение. Искусственные спутники слишком малы, чтобы оказывать заметное приливное воздействие на планеты, по которым они вращаются, но несколько лун в Солнечной системе подвергаются орбитальному распаду по этому механизму. Самая сокровенная луна Марса Фобос является ярким примером, и ожидается, что он либо столкнется с поверхностью Марса, либо распадется на кольцо в течение 50 миллионов лет.

Орбиты могут распадаться из-за испускания гравитационные волны. Этот механизм чрезвычайно слаб для большинства звездных объектов и становится значимым только в тех случаях, когда есть комбинация экстремальной массы и экстремального ускорения, например, с черные дыры или нейтронные звезды которые вращаются близко друг к другу.

Сплющенность

Стандартный анализ движущихся по орбите тел предполагает, что все тела состоят из однородных сфер или, в более общем смысле, из концентрических оболочек, каждая из которых имеет одинаковую плотность. Можно показать, что такие тела гравитационно эквивалентны точечным источникам.

Однако в реальном мире многие тела вращаются, и это вводит сжатие и искажает гравитационное поле, и дает квадруполь момент к гравитационному полю, который существенен на расстояниях, сопоставимых с радиусом тела. В общем случае гравитационный потенциал вращающегося тела, такого как, например, планета, обычно расширяется по мультиполям, учитывая отклонения его от сферической симметрии. С точки зрения динамики спутников особую важность имеют так называемые коэффициенты четной зональной гармоники или даже зональные характеристики, поскольку они вызывают вековые орбитальные возмущения, которые накапливаются во времени, превышающем период обращения.^[10]^[11]^[12] Они действительно зависят от ориентации оси симметрии тела в пространстве, влияя, в общем, на всю орбиту, за исключением большой полуоси.

Множественные гравитирующие тела

Воздействие других гравитирующих тел может быть значительным. Например, орбита Луны Невозможно точно описать без учета действия гравитации Солнца, а также Земли. Одним из приблизительных результатов является то, что тела обычно имеют достаточно стабильные орбиты вокруг более тяжелой планеты или луны, несмотря на эти возмущения, при условии, что они вращаются по орбите в пределах более тяжелого тела. Сфера холма.

Когда имеется более двух гравитирующих тел, это называется проблема н-тела. Большинство проблем с телом не имеют закрытая форма решения, хотя были сформулированы некоторые частные случаи.

Световое излучение и звездный ветер

Особенно для небольших кузовов, легких и звездный ветер может вызвать значительные возмущения отношение и направление движения тела, и со временем может быть значительным. Из планетных тел движение астероиды особенно подвержен влиянию в течение больших периодов, когда астероиды вращаются относительно Солнца.

Странные орбиты

Математики обнаружили, что в принципе возможно иметь несколько тел на неэллиптических орбитах, которые периодически повторяются, хотя большинство таких орбит нестабильно относительно небольших возмущений массы, положения или скорости. Однако были выявлены некоторые особые стабильные случаи, в том числе плоская восьмерка, занятая три движущихся тела. Дальнейшие исследования показали, что неплоские орбиты также возможны, в том числе орбиты с участием 12 масс, движущихся по 4 примерно круглым, взаимосвязанным орбитам. топологически эквивалентны ребрам кубооктаэдр.^[13]

Обнаружение таких орбит, естественным образом встречающихся во Вселенной, считается крайне маловероятным из-за маловероятности того, что требуемые условия возникают случайно.^[13]

Астродинамика

Орбитальная механика или астродинамика это применение баллистика и небесная механика к практическим проблемам движения ракеты и другие космический корабль. Движение этих объектов обычно рассчитывается из Законы движения Ньютона и Закон всемирного тяготения Ньютона. Это основная дисциплина в разработке и управлении космическими полетами. В небесной механике более широко рассматривается орбитальная динамика систем под влиянием сила тяжести, включая космические корабли и естественные астрономические тела, такие как звездные системы, планеты, луны, и кометы. Орбитальная механика фокусируется на космических аппаратах траектории, в том числе орбитальные маневры, изменения плоскости орбиты и межпланетные перелеты, и используется разработчиками миссий для прогнозирования результатов пропульсивные маневры. Общая теория относительности является более точной теорией, чем законы Ньютона для вычисления орбит, и иногда требуется для большей точности или в ситуациях с высокой гравитацией (например, орбиты, близкие к Солнцу).

Орбиты Земли

Сравнение геостационарной околоземной орбиты с GPS, ГЛОНАСС, Галилео и Компас (средняя околоземная орбита) система спутниковой навигации орбиты с Международная космическая станция, Космический телескоп Хаббла и Созвездие Иридиум орбиты, а номинальный размер земной шар.^[а] В Луна Его орбита примерно в 9 раз больше (по радиусу и длине), чем геостационарная орбита.^[b]

Низкая околоземная орбита (ЛЕО): Геоцентрические орбиты с высотами до 2000 км (0–1,240 миль ).^[14]
Средняя околоземная орбита (MEO): Геоцентрические орбиты высотой от 2000 км (1,240 миль ) чуть ниже геостационарная орбита в 35 786 км (22 236 миль). Также известен как промежуточная круговая орбита. Это «чаще всего на 20 200 километров (12 600 миль) или 20 650 километров (12830 миль) с периодом обращения 12 часов».^[15]
Обе геостационарная орбита (GSO) и геостационарная орбита (GEO) - это орбиты вокруг Земли, соответствующие орбитам Земли. звездное вращение период. Все геостационарные и геостационарные орбиты имеют большая полуось 42 164 км (26 199 миль).^[16] Все геостационарные орбиты также являются геостационарными, но не все геостационарные орбиты являются геостационарными. Геостационарная орбита находится точно над экватором, тогда как геостационарная орбита может качаться на север и юг, чтобы покрыть большую часть поверхности Земли. Оба совершают один полный оборот вокруг Земли за звездные сутки (относительно звезд, а не Солнца).
Высокая околоземная орбита: Геоцентрические орбиты выше высоты геостационарная орбита 35,786 км (22,240 миль ).^[15]

Масштабирование под действием силы тяжести

В гравитационная постоянная г был рассчитан как:

(6.6742 ± 0.001) × 10⁻¹¹ (кг / м³)⁻¹s⁻².

Таким образом, постоянная имеет размерную плотность⁻¹ время⁻². Это соответствует следующим свойствам.

Масштабирование расстояний (включая размеры тел, при сохранении плотности) дает аналогичный орбиты без масштабирования времени: если, например, расстояния уменьшаются вдвое, массы делятся на 8, гравитационные силы на 16 и гравитационные ускорения на 2. Следовательно, скорости уменьшаются вдвое, а периоды орбиты и другое время перемещения, связанное с гравитацией, остается прежним. Например, когда объект падает с башни, время, необходимое для падения на землю, остается таким же, как и для масштабной модели башни на масштабной модели Земли.

Масштабирование расстояний при сохранении одинаковых масс (в случае точечных масс или путем корректировки плотности) дает схожие орбиты; если расстояния умножаются на 4, силы тяжести и ускорения делятся на 16, скорости уменьшаются вдвое, а периоды обращения умножаются на 8.

Когда все плотности умножаются на 4, орбиты остаются одинаковыми; гравитационные силы умножаются на 16, а ускорения на 4, скорости удваиваются, а периоды обращения уменьшаются вдвое.

Когда все плотности умножаются на 4, а все размеры уменьшаются вдвое, орбиты становятся похожими; массы делятся на 2, гравитационные силы те же, гравитационные ускорения удваиваются. Следовательно, скорости одинаковы, а периоды обращения уменьшены вдвое.

Во всех этих случаях масштабирование. если плотности умножить на 4, времена уменьшатся вдвое; если скорости удваиваются, силы умножаются на 16.

Эти свойства показаны в формуле (полученной из формула для периода обращения )

{ displaystyle GT ^ {2} rho = 3 pi left ({ frac {a} {r}} right) ^ {3},}

для эллиптической орбиты с большая полуось а, малого тела вокруг сферического тела с радиусом р и средняя плотность ρ, где Т орбитальный период. Смотрите также Третий закон Кеплера.

Патенты

Применение определенных орбит или орбитальных маневров для конкретных полезных целей было предметом патентов.^[17]

Приливная блокировка

Некоторые тела приливно связаны с другими телами, что означает, что одна сторона небесного тела постоянно обращена к своему объекту-хозяину. Так обстоит дело с Землей.Луна и система Плутон-Харон.

Смотрите также

Эфемериды представляет собой совокупность положений естественных астрономических объектов, а также искусственных спутников в небе в заданное время или время.
Свободный дрифт
Розетка Клемперер
Список орбит
Молния орбита
Определение орбиты
Орбитальный космический полет
Перифокальная система координат
Полярные орбиты
Радиальная траектория
Розетта (орбита)
VSOP (планеты)

Примечания

^ Орбитальные периоды и скорости вычисляются с использованием соотношений 4 $π$ ²р³ = Т²GM и V²р = GM, где р = радиус орбиты в метрах, Т = период обращения в секундах, V = орбитальная скорость в м / с, г = гравитационная постоянная ≈ 6,673×10⁻¹¹ Нм²/кг², M = масса Земли ≈ 5,98×10²⁴ кг.
^ Примерно в 8,6 раз, когда Луна находится ближе всего (363 104 км ÷ 42 164 км), до 9,6 раз, когда Луна самая дальняя (405 696 км ÷ 42 164 км).

дальнейшее чтение

Колокольчик; Моррисон и Вольф (1987). Исследование Вселенной (пятое изд.). Издательство колледжа Сондерс.
Линтон, Кристофер (2004). От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-45379-0.
Фрэнк Свец; Джон Фовел; Бенгт Йоханссон; Виктор Кац; Отто Беккен (1995). Учитесь у мастеров. MAA. ISBN 978-0-88385-703-8.
Андреа Милани и Джованни Ф. Гронки. Теория определения орбиты (Издательство Кембриджского университета; 378 страниц; 2010). Обсуждаются новые алгоритмы определения орбит как естественных, так и искусственных небесных тел.

внешняя ссылка

CalcTool: Калькулятор орбитального периода планеты. Имеет широкий выбор агрегатов. Требуется JavaScript.
Java-моделирование орбитального движения. Требуется Java.
Страница NOAA о данных о воздействии на климат включает (расчетные) данные об изменениях орбиты Земли за последние 50 миллионов лет и за ближайшие 20 миллионов лет
Он-лайн орбитальный плоттер. Требуется JavaScript.
Орбитальная механика (Ракетно-космическая техника)
Орбитальное моделирование Варади, Гил и Runnegar (2003) предоставляют другой, несколько иной ряд для эксцентриситета земной орбиты, а также ряд для наклонения орбиты. Орбиты других планет также были рассчитаны Ф. Варади; Б. Руннегар; М. Гил (2003). «Последовательные уточнения в долгосрочной интеграции планетных орбит». Астрофизический журнал. 592 (1): 620–630. Bibcode:2003ApJ ... 592..620В. Дои:10.1086/375560., но только данные об эксцентриситете Земли и Меркурия доступны в Интернете.
Понять орбиты с помощью прямых манипуляций. Требуется JavaScript и Macromedia
Меррифилд, Майкл. «Орбиты (включая первую пилотируемую орбиту)». Шестьдесят символов. Брэди Харан для Ноттингемский университет.
Симулятор планетарной орбиты Astronoo

[14] Орбитальные периоды и скорости вычисляются с использованием соотношений 4 $π$ ²р³ = Т²GM и V²р = GM, где р = радиус орбиты в метрах, Т = период обращения в секундах, V = орбитальная скорость в м / с, г = гравитационная постоянная ≈ 6,673×10⁻¹¹ Нм²/кг², M = масса Земли ≈ 5,98×10²⁴ кг.

[15] Примерно в 8,6 раз, когда Луна находится ближе всего (363 104 км ÷ 42 164 км), до 9,6 раз, когда Луна самая дальняя (405 696 км ÷ 42 164 км).

[1] орбита (астрономия) - Британская онлайн-энциклопедия

[2] The Space Place :: Что такое барицентр

[3] Кун, Коперниканская революция, стр. 238, 246–252

[4] Британская энциклопедия, 1968, т. 2, стр. 645

[5] М Каспар, Кеплер (1959, Абеляр-Шуман), стр.131–140; Койре, Астрономическая революция: Коперник, Кеплер, Борелли (1973, Methuen), стр. 277–279.

[Kepler's_Laws_of_Planetary_Motion-6] Джонс, Эндрю. "Законы движения планет Кеплера". about.com. Получено 1 июня 2008.

[7] Видеть страницы с 6 по 8 в "Трактате о системе мира" Ньютона (написано в 1685 г., переведено на английский в 1728 г., см. «Начала» Ньютона - предварительная версия ), за первоначальную версию этого мысленного эксперимента с «пушечным ядром».

[8] Фитцпатрик, Ричард (2 февраля 2006 г.). «Планетарные орбиты». Классическая механика - вводный курс. Техасский университет в Остине. В архиве из оригинала от 3 марта 2001 г.

[9] Погге, Ричард В .; "Реальная теория относительности: система навигации GPS". Проверено 25 января 2008 года.

[10] Иорио, Л. (2011). «Возмущенные движения звезд вокруг вращающейся черной дыры в Sgr A * для общей ориентации ее оси вращения». Физический обзор D. 84 (12): 124001. arXiv:1107.2916. Bibcode:2011ПхРвД..84л4001И. Дои:10.1103 / PhysRevD.84.124001. S2CID 118305813.

[11] Рензетти, Г. (2013). «Прецессии орбиты спутников, вызванные октуполярным моментом массы несферического тела, произвольно ориентированного в пространстве». Журнал астрофизики и астрономии. 34 (4): 341–348. Bibcode:2013JApA ... 34..341R. Дои:10.1007 / s12036-013-9186-4. S2CID 120030309.

[12] Рензетти, Г. (2014). «Прецессии орбиты спутников, вызванные первым нечетным зональным мультиполем J3 несферического тела, произвольно ориентированного в пространстве». Астрофизика и космическая наука. 352 (2): 493–496. Bibcode:2014Ap и SS.352..493R. Дои:10.1007 / s10509-014-1915-х. S2CID 119537102.

[Peterson-13] а ^б Петерсон, Иварс (23 сентября 2013 г.). "Странные орбиты". Новости науки.

[16] «Стандарт безопасности НАСА 1740.14, Руководящие принципы и процедуры оценки для ограничения орбитального мусора» (PDF). Управление безопасности и обеспечения выполнения миссий. 1 августа 1995 г. Архивировано с оригинал (PDF) 15 февраля 2013 г., страницы 37-38 (6-1,6-2); рисунок 6-1.

[nasa_orbit_definition-17] а ^б "Орбита: определение". Руководство автора дополнительных описаний, 2013 г.. Главный справочник глобальных изменений Национального управления по аэронавтике и исследованию космического пространства (НАСА). Архивировано из оригинал 11 мая 2013 г.. Получено 29 апреля 2013.

[18] Валладо, Дэвид А. (2007). Основы астродинамики и приложений. Хоторн, Калифорния: Microcosm Press. п. 31.

[19] Феррейра, Бекки (19 февраля 2015). "Как спутниковые компании патентуют свои орбиты". Материнская плата. Vice News. Получено 20 сентября 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[а]

[b]

[14]

[15]

[16]

[17]