Проблема Синьорини - Signorini problem - Wikipedia

В Проблема Синьорини является эластостатики проблема в линейная эластичность: он заключается в нахождении упругое равновесие конфигурация из анизотропный неоднородный упругое тело, отдыхая на жесткий без трения поверхность и при условии только его массовые силы. Название было придумано Гаэтано Фичера почтить своего учителя, Антонио Синьорини: оригинальное название, придуманное им - проблема с неоднозначным граничные условия.

История

Классическая проблема Синьорини: что будет равновесие конфигурация апельсина сферической формы упругое тело отдыхая на синем жесткий без трения самолет ?

Проблема была поставлена Антонио Синьорини во время курса, преподаваемого в Istituto Nazionale di Alta Matematica в 1959 г., позже опубликована в виде статьи (Синьорини 1959 ), расширяя предыдущее краткое изложение, которое он дал в заметке, опубликованной в 1933 году. Синьорини (1959, п. 128) сам называл это проблема с неоднозначным граничные условия,^[1] поскольку есть два альтернативных набора граничные условия решение должен удовлетворить по любому Контактная точка. Постановка проблемы предполагает не только равенства но также неравенство, и это не так априори известно, какое из двух наборов граничных условий выполняется в каждой точке. Синьорини попросил определить, не в хорошо поставленный или нет в физическом смысле, то есть, если его решение существует и уникально или нет: он явно пригласил молодых аналитики изучить проблему.^[2]

Гаэтано Фичера и Мауро Пиконе посещал курс, и Фичера начал исследовать проблему: поскольку он не нашел ссылок на аналогичные проблемы в теории краевые задачи,^[3] он решил подойти к этому, начиная с первые принципы, в частности из виртуальный принцип работы.

Во время исследований Фичеры по проблеме Синьорини начал страдать от серьезных проблем со здоровьем: тем не менее, он хотел узнать ответ на свой вопрос перед смертью. Пиконе, которого связывала крепкая дружба с Синьорини, начал преследовать Фичеру, чтобы найти решение: сам Фичера, который также был связан с Синьорини подобными чувствами, воспринимал последние месяцы 1962 года как тревожные дни.^[4] Наконец, в первые дни января 1963 года Фичера смог дать полное доказательство существования единственного решения проблемы с неоднозначными граничными условиями, которую он назвал «проблемой Синьорини» в честь своего учителя. Объявление о предварительном исследовании, позднее опубликованное как (Fichera 1963 г. ), был написан и передан Синьорини ровно за неделю до его смерти. Синьорини выразил большое удовлетворение, увидев решение своего вопроса.

Через несколько дней во время разговора с его семейный доктор Дамиано Априле, Синьорини сказал ему:^[5]

• "Il mio discepolo Fichera mi ha dato una grande soddisfazione".^[6]
• "Ma Lei ne ha avute tante, Professore, durante la Sua vita",^[7] - ответил доктор Априле, но затем Синьорини ответил снова:
• "Ma questa è la pi grande".^[8] И это были его последние слова.

В соответствии с Человек-муравей (1983, п. 282) решение проблемы Синьорини совпадает с рождением поля вариационные неравенства.

Формальная постановка проблемы

Содержание этого раздела и следующих подразделов точно соответствует обращению с Гаэтано Фичера в Fichera 1963 г., Fichera 1964b а также Fichera 1995: его постановка проблемы отличается от Синьорини в том, что он не рассматривает только несжимаемые тела и отдых в самолете поверхность, как это делает Синьорини.^[9] Проблема состоит в том, чтобы найти вектор смещения от естественная конфигурация ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ из анизотропный неоднородный упругое тело что лежит в подмножество ${\displaystyle A}$ из трех-размерный евклидово пространство чей граница является ${\displaystyle \scriptstyle \partial A}$ и чей интерьер нормальный это вектор ${\displaystyle n}$, отдыхая на жесткий без трения поверхность чей контакт поверхность (или более общий контакт набор ) является ${\displaystyle \Sigma }$ и при условии только его силы тела ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$, и поверхностные силы ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ наносится на свободную (т.е. не контактирующую с остальной поверхностью) поверхность ${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$: набор ${\displaystyle A}$ и контактная поверхность ${\displaystyle \Sigma }$ характеризуют естественную конфигурацию тела и известны априори. Следовательно, тело должно удовлетворять общему уравнения равновесия

(1)     ${\displaystyle \qquad {\frac {\partial \sigma _{ik}}{\partial x_{k}}}-f_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3}$

написано с использованием Обозначения Эйнштейна как и все в дальнейшем развитии, обычная граничные условия на ${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$

(2)     ${\displaystyle \qquad \sigma _{ik}n_{k}-g_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3}$

и следующие два набора граничные условия на ${\displaystyle \Sigma }$, куда ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}})}$ это Тензор напряжений Коши. Очевидно, что телесные силы и поверхностные силы не могут быть заданы произвольным образом, но они должны удовлетворять условию, чтобы тело достигло равновесной конфигурации: это условие будет выведено и проанализировано в следующем развитии.

Неоднозначные граничные условия

Если ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})}$ есть ли касательный вектор к контакт набор ${\displaystyle \Sigma }$, то неоднозначное граничное условие в каждом точка этого множества выражаются следующими двумя системами неравенство

(3)     ${\displaystyle \quad {\begin{cases}u_{i}n_{i}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&\geq 0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$     или же     (4)     ${\displaystyle {\begin{cases}u_{i}n_{i}&>0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$

Разберем их значение:

• Каждый набор условий состоит из трех связи, равенства или же неравенство, а все вторые члены являются нулевая функция.
• В количество первый член каждого первого отношения пропорциональный к норма из компонент из вектор смещения направлен вдоль нормальный вектор ${\displaystyle n}$.
• Величины при первом члене каждого второго отношения пропорциональны норме составляющей вектор напряжения направлен вдоль нормальный вектор ${\displaystyle n}$,
• Величины в первом члене каждого третьего отношения пропорциональны норме компоненты вектора напряженности вдоль любого вектор ${\displaystyle \tau }$ касательная в данном точка к контакт набор ${\displaystyle \Sigma }$.
• Величины в первом члене каждого из трех соотношений равны положительный если у них то же самое смысл из вектор они есть пропорциональный к, пока они отрицательный если нет, значит константы пропорциональности соответственно ${\displaystyle \scriptstyle +1}$ и ${\displaystyle \scriptstyle -1}$.

Зная эти факты, набор условий (3) относится к точки из граница тела, которое не Оставь контакт набор ${\displaystyle \Sigma }$ в равновесная конфигурация, поскольку согласно первому связь, то вектор смещения ${\displaystyle u}$ не имеет составные части направлен как нормальный вектор ${\displaystyle n}$, а согласно второму соотношению вектор напряжения может иметь компонент направлен как нормальный вектор ${\displaystyle n}$ и имея то же самое смысл. Аналогичным образом набор условий (4) применяется к точкам границы тела, которые покинуть установленной в равновесной конфигурации, поскольку вектор смещения ${\displaystyle u}$ имеет компонент направлен как нормальный вектор ${\displaystyle n}$, в то время как вектор напряжения не имеет компонентов направлен как нормальный вектор ${\displaystyle n}$. Для обоих наборов условий вектор натяжения не имеет касательной компоненты к контакт набор, согласно гипотеза что тело опирается на жесткий без трения поверхность.

Каждая система выражает одностороннее принуждение, в том смысле, что они выражают физическую невозможность упругое тело проникнуть в поверхность, где он упирается: неоднозначность не только в неизвестных величинах, ненуль количества должны удовлетворять контакт множество, но также и то, что априори неизвестно, удовлетворяет ли точка, принадлежащая этому множеству, системе граничных условий (3) или же (4). Множество точек, где (3) удовлетворен называется область поддержки упругого тела на ${\displaystyle \Sigma }$, а его дополнять уважение к ${\displaystyle \Sigma }$ называется область разделения.

Приведенная выше формулировка Общее так как Тензор напряжений Коши то есть конститутивное уравнение из упругое тело не было явным: это также верно, если гипотеза из линейная эластичность или те из нелинейная упругость. Однако, как станет ясно из следующих событий, проблема по сути своей нелинейный, следовательно предполагая тензор линейных напряжений не упрощает проблему.

Форма тензора напряжений в формулировке Синьорини и Фичеры

Форма, принятая Синьорини и Fichera для упругая потенциальная энергия следующий (как и в предыдущих разработках, Обозначения Эйнштейна принято)

${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$

куда

• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\right)}$ это тензор упругости
• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$ это тензор бесконечно малых деформаций

В Тензор напряжений Коши поэтому имеет следующий вид

(5)     ${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad {\text{for }}i,k=1,2,3}$

и это линейный по компонентам тензора бесконечно малых деформаций; однако это не однородный ни изотропный.

Решение проблемы

Что касается раздела, посвященного формальной постановке проблемы Синьорини, содержание этого раздела и включенных в него подразделов строго следуют трактовке Гаэтано Фичера в Fichera 1963 г., Fichera 1964b, Fichera 1972 г. а также Fichera 1995: очевидно, что изложение акцентирует внимание на основных этапах доказательства существования и единственности решения задачи. (1), (2), (3), (4) и (5), а не технические детали.

Потенциальная энергия

Первый шаг анализа Fichera, а также первый шаг анализа Антонио Синьорини в Синьорини 1959 это анализ потенциальная энергия, т.е. следующие функциональный

(6)      ${\displaystyle I({\boldsymbol {u}})=\int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma }$

куда ${\displaystyle u}$ принадлежит к набор из допустимые смещения ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$ то есть набор векторы смещения удовлетворяющий системе граничные условия (3) или же (4). Значение каждого из трех терминов следующее

• первая - общая упругая потенциальная энергия из упругое тело
• второй - общий потенциальная энергия из-за силы тела, например сила гравитации
• третья - потенциальная энергия за счет поверхностные силы, например силы осуществляется атмосферное давление

Синьорини (1959, pp. 129–133) удалось доказать, что допустимое смещение ${\displaystyle u}$ который свести к минимуму интеграл ${\displaystyle I(u)}$ является решением задачи с неоднозначными граничными условиями (1), (2), (3), (4) и (5)при условии, что это ${\displaystyle C^{1}}$ функция поддержанный на закрытие ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$ из набора ${\displaystyle A}$: тем не мение Гаэтано Фичера дал класс контрпримеры в (Fichera 1964b, pp. 619–620), показывающий, что в общем случае допустимые смещения не гладкие функции этого класса. Поэтому Fichera старается минимизировать функциональный (6) в более широком функциональное пространство: при этом он сначала вычисляет первая вариация (или же функциональная производная ) данного функционала в район искомого минимально допустимого перемещения ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$, а затем требует, чтобы оно было больше или равно нуль

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I({\boldsymbol {u}}+t{\boldsymbol {v}})\right\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Определение следующих функционалов

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

и

${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

предыдущий неравенство это можно записать как

(7)      ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Это неравенство вариационное неравенство для проблемы Синьорини.

Смотрите также

• Линейная эластичность
• Вариационное неравенство

Примечания

1. Итальянский: Problema con ambigue condizioni al contorno.
2. Как указано в (Синьорини 1959, п. 129).
3. Видеть (Fichera 1995, п. 49).
4. Эта драматическая ситуация описана Fichera (1995 г., п. 51) сам.
5. Fichera (1995 г., п. 53) сообщает об эпизоде ​​после воспоминаний Мауро Пиконе: см. запись "Антонио Синьорини "для получения дополнительной информации.
6. Английский: Моя ученица Фичера доставила мне большое удовольствие.
7. Английский: Но у вас было много, профессор, за вашу жизнь.
8. Английский: Но это самый большой.
9. Видеть Синьорини 1959, п. 127) за оригинальный подход.

Рекомендации

Исторические ссылки

• Человек-муравей, Стюарт (1983), «Влияние эластичности в анализе: современные разработки», Бюллетень Американского математического общества, 9 (3): 267–291, Дои:10.1090 / S0273-0979-1983-15185-6, МИСТЕР  0714990, Zbl  0533.73001.
• Дюва, Жорж (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus" (PDF), Actes du Congrès International des mathématiciens, 1970 г., ICM Proceedings, Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Том 3, Париж: Готье-Виллар, стр. 71–78. Краткий исследовательский обзор с описанием области.
• Фичера, Гаэтано (1972), «Краевые задачи теории упругости с односторонними ограничениями», в Флюгге, Зигфрид; Трусделл, Клиффорд А. (ред.), Festkörpermechanik / Механика твердого тела, Handbuch der Physik (Энциклопедия физики), VIa / 2 (издание в мягкой обложке 1984 г.), Берлин–Гейдельберг -Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 391–424, ISBN  0-387-13161-2, Zbl  0277.73001. Статья в энциклопедии о задачах с односторонними ограничениями (класс краевые задачи проблема Синьорини принадлежит) он писал для Handbuch der Physik по приглашению Клиффорд Трусделл.
• Фичера, Гаэтано (1995), "La nascita della teoria delle Disquazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro Scientifico italo-spagnolo. Рома, 21 октября 1993 г., Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 114, Рома: Accademia Nazionale dei Lincei, стр. 47–53. Рождение теории вариационных неравенств вспомнили тридцать лет спустя (Английский перевод названия) - историческая статья, описывающая начало теории вариационных неравенств с точки зрения ее основателя.
• Фичера, Гаэтано (2002), Opere storiche биография, разглашающий (на итальянском), Неаполь: Джаннини, стр. 491. "Исторические, биографические, разоблачающие произведения"в английском переводе: сборник почти всех работ Гаэтано Фичеры в области история математики и научное разглашение.
• Фичера, Гаэтано (2004), Opere scelte, Firenze: Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), pp. XXIX + 432 (vol. 1), pp. VI + 570 (vol. 2), pp. VI + 583 (vol. 3), заархивировано оригинал на 2009-12-28, ISBN  88-7083-811-0 (том 1), ISBN  88-7083-812-9 (т. 2), ISBN  88-7083-813-7 (т. 3). Гаэтано Фичера "Избранные работы": три тома, в которых собраны его наиболее важные математические работы, с биографическим очерком Ольга Александровна Олейник.
• Синьорини, Антонио (1991), Opere scelte, Firenze: Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), стр. XXXI + 695, архивировано с оригинал на 2009-12-28. "Избранные работы"Антонио Синьорини: сборник его наиболее важных работ с введением и комментарием Джузеппе Гриоли.

Исследовательские работы

• Фичера, Гаэтано (1963), "Sul проблема эластостатика Синьорини с неоднозначными условиями аль конторно", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 (на итальянском языке), 34 (2): 138–142, Zbl  0128.18305. "Об упругостатической задаче Синьорини с неоднозначными граничными условиями"(Английский перевод названия) - это небольшая исследовательская записка, объявляющая и описывающая решение проблемы Синьорини.
• Фичера, Гаэтано (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unaterali: il проблема синьорини кон ambigue condizioni al contorno", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 (на итальянском языке), 7 (2): 91–140, Zbl  0146.21204. "Задачи упругости с односторонними ограничениями: задача Синьорини с неоднозначными граничными условиями"(Английский перевод названия) - первая статья, в которой аа существование и теорема единственности для проблемы Синьорини доказано.
• Фичера, Гаэтано (1964b), «Задачи упругости с односторонними ограничениями: задача Синьорини с неоднозначными граничными условиями», Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963, Рим: Edizioni Cremonese, стр. 613–679.. Английский перевод предыдущей статьи.
• Синьорини, Антонио (1959), «Вопросы нелинейной и полулинейной упругости», Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni, 5 (на итальянском языке), 18: 95–139, Zbl  0091.38006.

• Петросян, Аршак; Шахголиан, Хенрик; Уральцева, Нина (2012), Регулярность свободных границ в задачах типа препятствий. Аспирантура по математике, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  978-0-8218-8794-3.
• Андерссон, Джон (2016), "Оптимальная регулярность для задачи Синьорини и ее свободная граница", Изобретать. Математика., 1 (1): 1–82, arXiv:1310.2511, Bibcode:2016InMat.204 .... 1A, Дои:10.1007 / s00222-015-0608-6.

внешняя ссылка

• Барбу, В. (2001) [1994], "Проблема Синьорини", Энциклопедия математики, EMS Press
• Алессио Фигалли, О глобальных однородных решениях проблемы Синьорини,