Ангемитоническая шкала - Anhemitonic scale

Для шкал с тремя нотами см. Тритоновая шкала.

Минъё шкала по D,^[1] эквивалентно Эй шкала по C,^[2] ангемитоническая шкала Играть в .

Мияко-буси шкала D, эквивалентная в шкала по D,^[3] гематоническая шкала Играть в .

Музыковедение обычно классифицирует напольные весы как либо гемитонический или ангемитонический. Гемитоновая чешуя содержит одну или несколько полутоны, в то время как ангемитоновые гаммы не содержат полутонов. Например, в традиционная японская музыка, ангемитонический Эй масштаб противопоставляется гематоническому в масштаб.^[4] Самая простая и наиболее часто используемая шкала в мире - это атритоновая ангемитоническая шкала. «мажорная» пентатоника. В вся шкала тонов также ангемитонический.

Венгерская минорная шкала до, когемитоническая шкала.^[5] Играть в 

Особым подклассом гематонических чешуек является когемитонический напольные весы.^[6] Когемитонические гаммы содержат два или более полутона (что делает их полутонными), так что два или более полутона появляются последовательно в порядке гаммы. Например, Венгерский минор в C включает F♯, G и A♭ в таком порядке, с полутоном между F♯ и G, а затем полутон между G и A♭.

Октатоническая шкала на С, гематоническая, но анкогемитоническая Играть в .

Анкогемитонический гаммы, напротив, либо не содержат полутонов (и, следовательно, являются ангемитоническими), либо содержат полутоны (будучи полутонами), где ни один из полутонов не появляется последовательно в порядке гаммы.^{[7][неудачная проверка ]} Некоторые авторы, однако, не включают ангемитонические шкалы в свое определение анкогемитонических шкал. Примеры анкогемитонических гамм многочисленны, так как анкогемитония в мировой музыке предпочитается когемитонии: диатоническая шкала, мелодический мажор /мелодический минор, Венгерский мажор, гармоническая мажорная гамма, гармоническая минорная гамма, и так называемые октатоническая шкала.

Гемитония также определяется количеством присутствующих полутонов. Негемитонические гаммы имеют только один полутон; дигемитонические гаммы имеют 2 полутона; у тригемитонической гаммы есть 3 полутона и т. д. Точно так же, как ангемитоническая гамма менее диссонансна, чем полутоновая, ангемитоническая гамма менее диссонансна, чем дигемитоническая гамма.

Квалификация когемитонии по сравнению с анкогемитонией сочетается с мощностью полутонов, давая такие термины, как: дикогемитонический, трианкогемитонический и т. Д. Анкогемитоническая шкала менее диссонансна, чем когемитоническая шкала, поскольку количество их полутонов одинаково. В общем, количество полутонов более важно для восприятия диссонанса, чем смежность (или ее отсутствие) любой их пары. Дополнительная смежность между полутонами (при наличии смежности) не обязательно увеличивает диссонанс, количество полутонов снова становится равным.^[8]

С этими классификациями полутонов связаны тритонический и атритонический напольные весы. Тритоновые чешуи содержат одну или несколько тритоны, в то время как атритоновые чешуйки не содержат тритонов. Между полутонами и тритонами существует особая монотонная взаимосвязь, поскольку гаммы строятся путем проецирования, q.v. ниже.

Гармоничное соотношение всех этих категорий исходит из того, что полутоны и тритоны являются самыми строгими из них. диссонансы, и часто желательно избегать их. Чаще всего на планете используются негемитонические весы. Из оставшихся полутонных шкал наиболее часто используются анкогемитонические.

Количественная оценка гемитонии и ее связи с анкогемитонией

Большая часть мировой музыки ангемитонична, возможно, на 90%.^[9] Из этой другой полутоновой части, возможно, 90% негемитонических, преобладая в аккордах только в 1 полутон, все из которых по определению являются анкогемитоническими.^[9] Из оставшихся 10%, возможно, 90% - дигемитонические, с преобладанием аккордов не более 2 полутонов. То же самое и с аккордами в 3 полутона.^[10] Однако в обоих более поздних случаях существует явное предпочтение анкогемитонии, поскольку отсутствие смежности любых двух полутонов имеет большое значение для смягчения нарастающего диссонанса.

В следующей таблице представлены зависимости размера звучности (внизу слева) от количества полутонов (справа) плюс качество анкогемитонии (обозначено буквой A) по сравнению с когемитонией (обозначено буквой C). В общем, анкогемитонических комбинаций меньше для данного аккорда или размера гаммы, но они используются гораздо чаще, поэтому их названия хорошо известны.

Звучность		Полутон считается
Заметки	Считать	0	1	2	2А	2C	3	3А	3C	>=4	> = 4А	> = 4C
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	6	5	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	19	10	8	1	0	1	0	0	0	0	0	0
4	43	10	21	11	4	7	1	0	1	0	0	0
5	66	3	20	30	15	15	12	0	12	1	0	1
6	80	1	5	26	16	10	34	4	30	14	0	14
7	66	0	0	3	2	1	20	4	16	43	0	43
8	43	0	0	0	0	0	0	0	0	43	1	42
9	19	0	0	0	0	0	0	0	0	19	0	19
10	6	0	0	0	0	0	0	0	0	6	0	6
11	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1
12	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1
ИТОГО	351	30	55	71	37	34	67	8	59	128	1	127

В столбце «0» представлены наиболее часто используемые аккорды.^[8] избегая интервалов M7 и хроматических девяток, а также таких комбинаций четвертых, хроматических пятых и шестых для получения полутонов. Столбец 1 представляет аккорды, которые почти не используют гармонические ступени, которых избегает столбец «0». В столбце 2, однако, представлены звуки, которые гораздо сложнее.^[8]

Столбец 0, строка 5 - полные, но приятные аккорды: 9-й, 6/9 и 9alt5 без 7.^[11] Столбец «0», строка «6» - это уникальный вся шкала тонов.^{[12][требуется проверка ]} Столбец «2A», строка «7», местный минимум, относится к диатоническая шкала и мелодический мажор /мелодический минор напольные весы.^{[13][требуется проверка ]} Анкогемитония, в частности, вероятно, сделала эти весы популярными. Столбец «2C», строка «7», еще один локальный минимум, относится к Неаполитанский крупный масштаб, который является когемитоническим и несколько реже, но все же достаточно популярен, чтобы носить имя.^{[14][требуется проверка ]} Столбец «3A», строка «7», другой локальный минимум, представляет Венгерский мажор, и его инволюция, и гармоническая мажорная гамма и инволюция гармоническая минорная гамма того же самого.^{[15][требуется проверка ]} Столбец «3A», строка «6» являются гексатоническими аналогами этих четырех известных шкал,^{[16][требуется проверка ]} один из которых является Увеличенная шкала,^{[17][требуется проверка ]} и еще один аналог Октатоническая шкала - который сам появляется, одинокий и одинокий, в столбце "> = 4A". ряд «8».^{[18][требуется проверка ]} Столбец «2А», строка «4», еще один минимум, представляют несколько откровенно диссонирующих, но странно резонансный гармонические сочетания: mM9 с номерами 5, 11♭9, дом 13♭9 и M7♯11.^[11]

Поскольку музыка имеет тенденцию к увеличению диссонанса в истории, возможно, когда-нибудь Столбец 2 станет таким же приемлемым, как даже Столбец 1, а Столбец 3, наконец, займет место в гармонии мира.

Также обратите внимание, что в строке с наивысшей мощностью для каждого столбца перед началом конечных нулей счетчики звучности небольшие, за исключением строки «7» и «3» столбцов всех видов. Этот взрыв гемитонических возможностей, связанный с мощностью ноты 7 (и выше), возможно, отмечает нижнюю границу сущности, называемой «масштаб» (в отличие от «аккорд»).

Как показано в таблице, ангемитония - это свойство доменов примечательных наборов с мощностью от 2 до 6, в то время как анкогемитония - это свойство доменов примечательных наборов с мощностью от 4 до 8 (от 3 до 8 для неправильной анкогемитонии, включая негемитонию). Это помещает ангемитонию обычно в диапазон «аккордов», а анкогемитонию в целом в диапазон «гамм».

Пример: гемитония и тритония идеальной пятой проекции.

Взаимосвязь полутонов, тритонов и увеличения количества нот можно продемонстрировать, взяв пять последовательных высот из круг пятых;^[19] начиная с C, это C, G, D, A и E. Перемещение высоты звука в одну октава переставляет поля в мажорная пентатоника: C, D, E, G, A. Эта гамма ангемитоническая, без полутонов; он атритонический, не содержит тритонов.

играть в

Кроме того, это максимальное количество нот, взятых последовательно из круга квинт, для которого еще можно избежать полутона.^[20]

Добавление еще одной ноты из круга квинт дает основную гексатоническую гамму: C D E G A B. Эта гамма является полутоновой, с полутоном между B и C; он атритонический, не содержащий тритонов. Кроме того, это максимальное количество нот, взятых последовательно из круга квинт, для которого еще можно избежать тритона.^{[21][неудачная проверка ]}

Добавление еще одной ноты из круга квинтов дает мажорную гептатоническую гамму: C D E F G A B (когда квинта добавляется снизу тоники). Эта гамма строго анкогемитоническая, состоит из 2 полутонов, но не последовательно; он тритонический, с тритоном между F и B. После этой точки в серии проекций новые интервалы не добавляются к Вектор интервала анализ шкалы,^[22] но приводит к когемитонии.

Проекция P7 / большая гептатоника на C Играть в .

Добавление еще одной ноты из круга квинт дает мажорную октатоническую шкалу: C D E F F♯ G A B (когда пятая добавляется сверху, верхняя нота в серии - B в данном случае). Эта гамма когемитонная, состоит из 3 полутонов вместе в E F F.♯ G, а также тритоник.^{[22][неудачная проверка ]}

Подобное поведение наблюдается во всех шкалах в целом, что больше нот в шкале кумулятивно добавляют диссонирующие интервалы (в частности: гемитония и тритония в произвольном порядке) и когемитония еще не присутствовали. Хотя также верно и то, что большее количество нот в шкале, как правило, допускает большее количество разнообразных интервалов в интервал вектор, можно сказать, что точка убывающей доходности, когда квалифицируется против усиливающегося диссонанса, гемитонии, тритонии и когемитонии.^[22] Именно рядом с этими точками лежат самые популярные весы.

Когемитоническая и гемитоническая шкалы

Хотя когемитонические шкалы используются реже, чем анкогемитонические, они обладают интересным свойством. Последовательность из двух (или более) последовательных полушагов на шкале дает возможность «разделить» шкалу, поместив тонизирующая нота гаммы на средней ноте полушага. Это позволяет ведущий тон снизу разрешение вверх, а также нисходящий плоско-супертонический верхний сосед Оба сходятся на тонике. Раскол превращает слабость - диссонанс когемитонии - в силу: контрапункт схождение на тонике. Очень часто когемитоническая (или даже полутонная) шкала (например: Венгерский несовершеннолетний {C D E♭ F♯ G A♭ B}) быть смещенный преимущественно в режим разделения полушага (например: Двойная гармоническая шкала {G A♭ Б В Г Д♭ F♯ }), и под каким именем мы чаще знаем то же самое круговая серия интервалов.^[23] Когемитонические шкалы с несколькими интервалами между полушагами представляют дополнительную возможность модулирующий между тониками каждый снабжен как верхними, так и нижними соседями.

Режимы гептатонических шкал и система ключевой подписи

Ключевая подпись Основным / F♯ незначительный, гептатоническая шкала анкогемитона.

Система западной музыки подпись ключа основан на предположении гептатоническая шкала из 7 примечаний, так что в действительной ключевой подписи никогда не бывает более 7 случайностей. Глобальное предпочтение ангемитонических шкал сочетается с этой основой, чтобы выделить 6 анкогемитонических гептатонических шкал,^{[24][требуется проверка ]} большинство из которых распространены в романтическая музыка, из которых состоит большая часть романтической музыки:

• Диатоническая гамма
• Мелодический мажор /мелодический минор
• Венгерский мажор
• инволюция венгерского мажора
• Гармоническая мажорная гамма
• Гармонический минор.

Эти когемитонические шкалы встречаются реже:

• Двойная гармоническая мажорная шкала
• Неаполитанский крупный масштаб
• Неаполитанский минор
• Ионический ♭5 шкала
• Персидская шкала
• Локрийский ♯7 шкала.

Придерживаясь определения шкалы гептатоники, все они обладают 7 режимы каждый, и подходят для использования в модальная мутация.^[25] Они появляются в таблице выше в строке «7», столбцах «2A» и «3A».

Таблица ключевых подписей

Ниже перечислены ключевые сигнатуры для всех возможных нетранспонированных режимов вышеупомянутых гептатонических гамм с использованием ноты C в качестве тоника.

Базовая шкала	Случайности	Название режима
Диатонический	F♯	Лидийский
Диатонический		Ионический
Диатонический	B♭	Миксолидийский
Диатонический	B♭, E♭	Дориан
Диатонический	B♭, E♭, А♭	Эолийский
Диатонический	B♭, E♭, А♭, D♭	Фригийский
Диатонический	B♭, E♭, А♭, D♭, Г♭	Локрийский
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Мелодичный	F♯, Г♯	Lydian Augmented
Мелодичный	F♯, B♭	Акустический, лидийский доминанта
Мелодичный	E♭	Мелодический минор (по возрастанию), Джаз минор
Мелодичный	B♭, А♭	Мелодический мажор (по убыванию), Эолийская доминанта, Миксолидийская ♭13
Мелодичный	B♭, E♭, D♭	Дориан ♭9
Мелодичный	B♭, E♭, А♭, Г♭	Наполовину уменьшенный, локрийский ♮2, полукрский
Мелодичный	B♭, E♭, А♭, D♭, Г♭, F♭	Надлокрианский, измененный
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Венгерский майор	F♯, Г♯, E♯	Lydian Augmented ♯3
Венгерский майор	F♯, D♯, B♭	Венгерский майор
Венгерский майор	г♯, E♭	Джаз Минор ♯5
Венгерский майор	F♯, B♭, E♭, D♭	Украинский дориан ♭9
Венгерский майор	E♭, А♭, Г♭	Гармонический минор ♭5
Венгерский майор	B♭, E♭, D♭, Г♭, F♭	Измененный Доминант ♮6
Венгерский майор	E♭, D♭, Г♭, F♭, B, А	Ультралокрианский 6
Базовая шкала	Случайности	Название режима
инволюция венгерского мажора	F♯, Г♯, D♯, E♯	Super Lydian Augmented ♮6
инволюция венгерского мажора	F♯, Г♯, E♭	Lydian Augmented ♭3
инволюция венгерского мажора	F♯, B♭, D♭	Инволюция венгерского мажора
инволюция венгерского мажора	E♭, Г♭	Джаз Минор ♭5
инволюция венгерского мажора	B♭, E♭, D♭, F♭	Дориан ♭9 ♭11
инволюция венгерского мажора	E♭, А♭, Г♭, B	Полукровский 7
инволюция венгерского мажора	B♭, E♭, D♭, Г♭, F♭, А	Измененный доминанта 6
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Гармонический мажор	F♯, Г♯, D♯	Lydian Augmented ♯2
Гармонический мажор	F♯, E♭	Лидиан Уменьшился
Гармонический мажор	А♭	Гармонический мажор
Гармонический мажор	B♭, D♭	Фригийский доминанта ♮6
Гармонический мажор	B♭, E♭, Г♭	Уменьшенный Дориан
Гармонический мажор	B♭, E♭, А♭, D♭, F♭	Суперфригийский
Гармонический мажор	E♭, А♭, D♭, Г♭, B	Локрийский Уменьшенный
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Гармонический минор	F♯, D♯	Лидийский ♯2
Гармонический минор	г♯	Ионический дополненный
Гармонический минор	F♯, B♭, E♭	Украинский дориан
Гармонический минор	E♭, А♭	Гармонический минор
Гармонический минор	B♭, А♭, D♭	Фригийский доминанта
Гармонический минор	B♭, E♭, D♭, Г♭	Локрийский ♮6
Гармонический минор	E♭, А♭, D♭, Г♭, F♭, B	Ультралокрианский
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Венгерский несовершеннолетний	F♯, D♯, А♯	Лидийский ♯2 ♯6
Венгерский несовершеннолетний	г♯, D♯	Ионический дополненный ♯2
Венгерский несовершеннолетний	F♯, E♭, А♭	Венгерский минор
Венгерский несовершеннолетний	А♭, D♭	Двойная гармоника
Венгерский несовершеннолетний	B♭, D♭, Г♭	Восточный
Венгерский несовершеннолетний	E♭, А♭, D♭, F♭, B	Ультрафригийский
Венгерский несовершеннолетний	А♭, D♭, Г♭, B, E	Локрийский Уменьшенный 3
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Неаполитанский майор	F♯, Г♯, А♯	Ведущий цельный тон
Неаполитанский майор	F♯, Г♯, B♭	Лидийская расширенная доминанта
Неаполитанский майор	F♯, B♭, А♭	Лидийский минор
Неаполитанский майор	E♭, D♭	Неаполитанский майор
Неаполитанский майор	B♭, А♭, Г♭	Локрийский майор
Неаполитанский майор	B♭, E♭, А♭, Г♭, F♭	Изменено ♮2
Неаполитанский майор	B♭, А♭, D♭, Г♭, F♭, E	Изменено 3
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Неаполитанский минор	F♯, А♯	Лидийский ♯6
Неаполитанский минор	D♯	Ионический ♯2
Неаполитанский минор	г♯, B♭	Миксойдский дополненный
Неаполитанский минор	F♯, B♭, E♭, А♭	Венгерский цыган
Неаполитанский минор	E♭, А♭, D♭	Неаполитанский минор
Неаполитанский минор	B♭, А♭, D♭, Г♭	Локрийский доминанта
Неаполитанский минор	А♭, D♭, Г♭, F♭, B, E	Ультралокрианский 3
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Ионический ♭5	F♯, Г♯, D♯, А♯, E♯	Super Lydian Augmented
Ионический ♭5	F♯, D♭	Лидийский ♭2
Ионический ♭5	г♭	Ионический ♭5
Ионический ♭5	B♭, E♭, F♭	Дориан ♭4
Ионический ♭5	E♭, А♭, B	Эолийский 7
Ионический ♭5	B♭, А♭, D♭, E	Фригийский 3
Ионический ♭5	B♭, E♭, D♭, Г♭, А	Локрийский 6
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Персидский	F♯, А♯, E♯	Лидийский ♯6 ♯3
Персидский	D♯, А♯	Ионический ♯2 ♯6
Персидский	г♯, D♯, B♭	Миксолидийский дополненный ♯2
Персидский	F♯, E♭, А♭, D♭	Неаполитанский минор ♯4
Персидский	А♭, D♭, Г♭	Персидский
Персидский	А♭, D♭, Г♭, B, E	Ультрафригийский 3
Персидский	D♭, Г♭, B, E, А	Изменено Изменено ♮4
Базовая шкала	Случайности	Название режима
Локрийский ♮7	F♯, E♯	Лидийский ♯3
Локрийский ♮7	А♯	Ионический ♯6
Локрийский ♮7	D♯, B♭	Миксолидийский ♯2
Локрийский ♮7	г♯, B♭, E♭	Дориан Дополненный
Локрийский ♮7	F♯, B♭, E♭, А♭, D♭	Фригийский ♯4
Локрийский ♮7	E♭, А♭, D♭, Г♭	Локрийский ♮7
Локрийский ♮7	D♭, Г♭, F♭, B, E, А	Изменено Изменено

Общее цитирование в теориях

• Дмитрий Тимочко, в Геометрия музыки: гармония и контрапункт в расширенной общей практике (ISBN  978-0195336672), включает гемитонию в формулы расчета контрапунктовой гладкости и гармонической передачи силы.
• Бретт Уиллмотт, в Мел Бэйс - Полная книга теории и озвучивания гармонии (ISBN  978-1562229948), ограничивает объем своего звучания гитарных аккордов анкогемитонными тетрадами.
• Майкл Кейт, в От полихордов до поляны: приключения в музыкальной комбинаторике (ISBN  978-0963009708), составляет свой список основных гармоний как ангемитонных звучностей.

Разное

• Все гептатонические и более крупные шкалы являются гематоническими (дитоническими или лучше) и тритоническими.^{[24][требуется проверка ]} Все наборы классов поля из семи нот содержат 1-3 тритона и 3-6 полутонов, что можно увидеть в их векторах интервалов на Список наборов питч-класса.
• Все октатонические шкалы, кроме одной («октатонической» или Уменьшенный масштаб ) когемитонны.^{[24][требуется проверка ]}
• Все эннеатонические и более крупные масштабы когемитоничны.^{[24][требуется проверка ]}
• Все звуки с 5 и более полутонами когемитонны.^{[24][требуется проверка ]}
• В набор дополнять когемитонической шкалы часто является анкогемитонической шкалой, и наоборот.
• Негемитонические гаммы никогда не содержат более 6 нот и всегда анкогемитонические.^{[требуется проверка ]}
• В дигемитонической и тригемитонической гаммах никогда не бывает более семи нот.^{[24][требуется проверка ]}
• Тетрагемитоническая и пентагемитонная гаммы никогда не содержат более 8 нот.^{[24][требуется проверка ]}
• Гексагемитоническая и гептагемитоническая гаммы никогда не содержат более 9 нот.^{[24][требуется проверка ]}
• Октагемитоническая и эннеагемитонная гаммы никогда не содержат более 10 нот.^{[24][требуется проверка ]}
• Не существует шкалы 12ET с ровно 11 полушагами.^{[24][требуется проверка ]}

использованная литература

1. Сьюзан Миё Асаи (1999). Nmai Dance Drama, п. 126. ISBN  978-0-313-30698-3.
2. Минору Мики, Марти Риган, Филип Флавин (2008). Композиция для японских инструментов, п. 2. ISBN  978-1-58046-273-0.
3. Титон, Джефф Тодд (1996). Миры музыки: введение в музыку народов мира, п. 373. ISBN  0-02-872612-X.
4. Анон. (2001) «Дитонус», Словарь музыки и музыкантов New Grove, второе издание, под ред. Стэнли Сэди и Джон Тиррелл. Лондон: Macmillan Publishers; Бенце Сабольчи (1943), «Пятицветные весы и цивилизация», Acta Musicologica 15, фас. 1/4 (январь – декабрь): с. 24–34, цит. По с. 25.
5. Кахан, Сильвия (2009). В поисках новых масштабов, п. 39. ISBN  978-1-58046-305-8. Цитирует Листа. Des Bohémians, п. 301.
6. Христос, Уильям (1966). Материалы и структура музыки, т.1, с. 39. Энглвудские скалы: Прентис-Холл. LOC 66-14354.
7. Тимочко, Дмитрий (1997). "Ограничение последовательного полутона на скалярную структуру: связь между импрессионизмом и джазом", Интеграл, т.11, (1997), стр. 135-179.
8. Кейт, Майкл. 1991 г. От полихордов до поляны: приключения в музыкальной комбинаторике, п. 45. Princeton: Vinculum Press. ISBN  978-0963009708.
9. Кейт, Майкл. 1991 г. От полихордов до поляны: приключения в музыкальной комбинаторике, п. 43. Princeton: Vinculum Press. ISBN  978-0963009708.
10. Кейт, Майкл. 1991 г. От полихордов до поляны: приключения в музыкальной комбинаторике, п. 48-49. Принстон: Vinculum Press. ISBN  978-0963009708.
11. Уилмотт, Бретт. (1994) Мел Бэйс - Полная книга теории и озвучивания гармонии, стр.210. Пасифик, Миссури: Мел-Бэй. ISBN  978-1562229948.
12. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, с.367. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
13. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, с.362-363. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
14. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, стр.363. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
15. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, с.364. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
16. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, стр.369. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
17. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, стр.368. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
18. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, с.360. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
19. Купер, Пол. 1973 г. Перспективы теории музыки: историко-аналитический подход, п. 18. Нью-Йорк: Додд, Мид. ISBN  0-396-06752-2.
20. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, стр.29. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138. "Гексада [состоящая из идеальных квинт] добавляет B, CGDAEB, или мелодически, создавая CDEFGAB, его компоненты составляют пять идеальных пятых, четыре основных секунды, три второстепенных трети, две основные трети и - впервые - диссонанс второстепенная (или мажорная седьмая), п⁵м²п³s⁴d."
21. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, стр.40. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
22. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, п. 33. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138. "Когда проекция [совершенной квинты] выходит за пределы семи тонов, нет новый интервалы могут быть добавлены ».« С другой стороны, по мере того, как звучность проецируется за пределы шеститонального ряда, они, как правило, теряют свою индивидуальность. Все семитоновые серии, например, содержат все шести основных интервалов, и разница в их пропорциях уменьшается по мере добавления дополнительных тонов ... Такие узоры имеют тенденцию терять свою идентичность, производя монохромный эффект с сопровождающим его отсутствием существенного элемента контраста ».
23. Шиллингер, Джозеф. (1941) Система музыкальной композиции Шиллингера, т.1, с. 113ff. Нью-Йорк: Карл Фишер. ISBN  0306775212.
24. Хэнсон, Ховард. (1960) Гармонические материалы современной музыки, п. 362ff. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
25. Христос, Уильям (1966). Материалы и структура музыки, т.1, с. 45. Энглвудские скалы: Прентис-Холл. LOC 66-14354.