Теорема Аполлониуса - Apolloniuss theorem - Wikipedia

зеленые / синие области = красная область
Пифагор как частный случай:
зеленая область = красная область

В геометрия, Теорема Аполлония это теорема относящейся к длине медиана из треугольник к длине его сторон. В нем говорится, что «сумма квадратов любых двух сторон любого треугольника равна удвоенному квадрату на половине третьей стороны вместе с удвоенным квадратом на медиане, делящей пополам третью сторону».

Конкретно в любом треугольнике ABC, если ОБЪЯВЛЕНИЕ это медиана, то

Это особый случай из Теорема Стюарта. Для равнобедренный треугольник с |AB| = |AC|, медиана ОБЪЯВЛЕНИЕ перпендикулярно до н.э и теорема сводится к теорема Пифагора для треугольника АБР (или треугольник АЦП). Из того, что диагонали параллелограмм делят друг друга пополам, теорема эквивалентна закон параллелограмма.

Теорема названа в честь древнегреческого математика. Аполлоний Пергский.

Доказательство

Доказательство теоремы Аполлония.

Теорема может быть доказана как частный случай теоремы Стюарта или может быть доказана с использованием векторов (см. закон параллелограмма ). Следующее - независимое доказательство, использующее закон косинусов.[1]

Пусть у треугольника есть стороны а, б, c со средним d обращается в сторону а. Позволять м быть длиной сегментов а формируется медианной, поэтому м половина а. Пусть углы образовались между а и d быть θ и θ ′, куда θ включает б и θ ′ включает c. потом θ ′ это дополнение θ и потому θ ′ = −cos θ. В закон косинусов за θ и θ ′ утверждает, что

Складываем первое и третье уравнения, чтобы получить

как требуется.

Рекомендации

  1. ^ Годфри, Чарльз; Сиддонс, Артур Уорри (1908). Современная геометрия. University Press. п.20.

внешняя ссылка