Теория Бореля – де Зибенталя - Borel–de Siebenthal theory

В математика, Теория Бореля – де Зибенталя описывает замкнутые связные подгруппы компактная группа Ли который имеет максимальный ранг, т.е. содержат максимальный тор. Он назван в честь швейцарских математиков. Арман Борель и Жан де Зибенталь, который разработал теорию в 1949 году. Каждая такая подгруппа является компонент идентичности из централизатор своего центра. Их можно описать рекурсивно в терминах связанных корневая система группы. Подгруппы, для которых соответствующее однородное пространство имеет инвариантную комплексную структуру, соответствуют параболические подгруппы в комплексирование компактной группы Ли a редуктивная алгебраическая группа.

Связные подгруппы максимального ранга

Позволять грамм связная компактная группа Ли с максимальным тором Т. Хопф показал, что централизатор тора S ⊆ Т связная замкнутая подгруппа, содержащая Ттак из максимальный ранг. Действительно, если Икс находится в C_грамм(S) существует максимальный тор, содержащий как S и Икс и содержится в C_грамм(S).^[1]

Борель и де Зибенталь доказали, что связные замкнутые подгруппы максимального ранга - это в точности компоненты идентичности централизаторов своих центров.^[2]

Их результат основан на факте из теории представлений. Веса неприводимого представления связной компактной полупростой группы K со старшим весом λ легко описываются (без их кратностей): они и есть насыщение при Группа Вейля из доминирующие веса полученный вычитанием суммы простых корней из λ. В частности, если неприводимое представление тривиально в центре K (конечная абелева группа), 0 - вес.^[3]

Чтобы доказать характеристику Бореля и де Зибенталя, пусть ЧАС - замкнутая связная подгруппа группы грамм содержащий Т с центром Z. Компонент идентичности L из C_грамм(Z) содержит ЧАС. Если бы он был строго больше, то ограничение присоединенного представления L к ЧАС было бы тривиально на Z. Любое неприводимое слагаемое, ортогональное алгебре Ли ЧАС, предоставит нулевые векторы ненулевого веса для Т / Z ⊆ ЧАС / Z, что противоречит максимальности тора Т / Z в L / Z.^[4]

Максимальные связные подгруппы максимального ранга

Борель и де Зибенталь классифицировали максимальные замкнутые связные подгруппы максимального ранга связной компактной группы Ли.

К этому случаю сводится общая классификация связных замкнутых подгрупп максимального ранга, поскольку любая связная подгруппа максимального ранга содержится в конечной цепочке таких подгрупп, каждая из которых максимальна в следующей. Максимальные подгруппы - это компоненты идентичности любого элемента своего центра, не принадлежащего центру всей группы.

Задачу определения максимальных связных подгрупп максимального ранга можно далее свести к случаю, когда компактная группа Ли проста. Фактически алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ связной компактной группы Ли грамм распадается как прямая сумма идеалов

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {z}}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {g}}_{m},}}$

куда ${\displaystyle {\mathfrak {z}}}$ это центр и другие факторы ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ просты. Если Т - максимальный тор, его алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ имеет соответствующее расщепление

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {t}}={\mathfrak {z}}\oplus {\mathfrak {t}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {t}}_{m},}}$

куда ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{i}}$ является максимальным абелевым в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$. Если ЧАС замкнутое соединение грамм содержащий Т с алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, усложнение ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ является прямой суммой комплексификации ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ и ряд одномерных весовых пространств, каждое из которых заключается в комплексификации фактора ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$. Таким образом, если

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}_{i}={\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {g}}_{i},}}$

тогда

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {z}}\oplus {\mathfrak {h}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {h}}_{m}.}}$

Если ЧАС максимальна, все кроме одного ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{i}}$совпадает с ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ а оставшийся - максимальный и максимального ранга. Для этого фактора замкнутая связная подгруппа соответствующей односвязной простой компактной группы Ли является максимальной и имеет максимальный ранг.^[5]

Позволять грамм - связная односвязная компактная простая группа Ли с максимальным тором Т. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ быть алгеброй Ли грамм и ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ что из Т. Пусть Δ - соответствующее корневая система. Выберем набор положительных корней и соответствующие простые корни α₁, ..., α_п. Пусть α₀ высший корень в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ и писать

${\displaystyle \displaystyle {\alpha _{0}=m_{1}\alpha _{1}+\cdots +m_{n}\alpha _{n}}}$

с м_я ≥ 1. (Количество м_я равно 1 равно |Z| - 1, где Z это центр грамм.)

В Альков Вейля определяется

${\displaystyle \displaystyle {A=\{T\in {\mathfrak {t}}:\,\alpha _{1}(T)\geq 0,\dots ,\alpha _{n}(T)\geq 0,\alpha _{0}(T)\leq 1\}.}}$

Эли Картан показал, что это фундаментальная область для аффинная группа Вейля. Если грамм₁ = грамм / Z и Т₁ = Т / Z, следует, что экспоненциальное отображение из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ к грамм₁ несет 2πА на Т₁.

Альков Вейля А это симплекс с вершинами в

${\displaystyle \displaystyle {v_{0}=0,\,\,v_{i}=m_{i}^{-1}X_{i},}}$

где α_я(Икс_j) = δ_ij.

Основной результат Бореля и де Зибенталя состоит в следующем.

ТЕОРЕМА. Максимальные связные подгруппы максимального ранга в грамм₁ с точностью до сопряжения имеют вид

• C_грамм1 (Икс_я) за м_я = 1

• C_грамм1(v_я) за м_я прайм.

Расширенные диаграммы Дынкина для простых комплексных алгебр Ли

Структура соответствующей подгруппы ЧАС₁ можно описать в обоих случаях. Во втором случае она полупроста с системой простых корней, полученной заменой α_я по −α₀. В первом случае это прямое произведение группы кругов, порожденной Икс_я и полупростая компактная группа с системой простых корней, полученная опусканием α_я.

Этот результат можно перефразировать в терминах расширенная диаграмма Дынкина из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ который добавляет дополнительный узел для наивысшего корня, а также метки м_я. Максимальные подалгебры ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ максимального ранга не являются полупростыми или полупростыми. Неполупростые получаются путем удаления двух узлов из расширенной диаграммы с коэффициентом один. Соответствующая немаркированная диаграмма дает полупростую часть диаграммы Дынкина. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, а другая часть - одномерный фактор. Диаграммы Дынкина для полупростых получаются удалением одного узла с простым коэффициентом. Это приводит к следующим возможностям:

• А_п: А_п × А _{п − п − 1} × Т (не полупростой)
• B_п: D_п или B_п × D_{п − п} (полупростой), B_{п − 1} × Т (не полупростой)
• C_п: C_п × С_{п − п} (СС), А_{п - 1} × Т (NSS)
• D_п: D_п × D_{п - п} (СС), D_{п - 1} × Т, А_п-1 × Т (NSS)
• E₆: А₁ × А₅, А₂ × А₂ × А₂ (СС), D₅ × Т (NSS)
• E₇: А₁ × D₆, А₂ × А₅, А₇ (СС), E₆ × Т (NSS)
• E₈: D₈, А₈, А₄ × А₄, E₆ × А₂, E₇ × А₁ (SS)
• F₄: B₄, А₂ × А₂, А₁ × С₃ (SS)
• грамм₂: А₂, А₁ × А₁ (SS)

Все соответствующие однородные пространства симметричны, так как подалгебра является алгеброй неподвижных точек внутреннего автоморфизма периода 2, за исключением G₂/ А₂, F₄/ А₂× А₂, E₆/ А₂× А₂× А₂, E₇/ А₂× А₅ и все E₈ пространства, отличные от E₈/ D₈ и E₈/ E₇× А₁. Во всех этих исключительных случаях подалгебра является алгеброй неподвижных точек внутреннего автоморфизма периода 3, за исключением E₈/ А₄× А₄ где автоморфизм имеет период 5.

Для доказательства теоремы заметим, что ЧАС₁ - составляющая тождества централизатора элемента exp Т с Т в 2π А. Стабилизаторы увеличиваются при переходе от подсимплекса к ребру или вершине, поэтому Т либо лежит на ребре, либо является вершиной. Если он лежит на ребре, то это ребро соединяет 0 с вершиной v_я с м_я = 1, что является первым случаем. Если Т это вершина v_я и м_я имеет нетривиальный фактор м, тогда mT имеет стабилизатор большего размера, чем Т, что противоречит максимальности. Так м_я должен быть простым. Максимальность можно проверить напрямую, используя тот факт, что промежуточная подгруппа K имел бы ту же форму, так что его центр был бы либо (а) Т или (б) элемент простого порядка. Если центр ЧАС₁ является 'Т, каждый простой корень с м_я прайм уже является корнем K, поэтому (б) невозможно; и если выполнено (а), то α_я это единственный корень, который можно опустить с помощью м_j = 1, поэтому K = ЧАС₁. Если центр ЧАС₁ имеет простой порядок, α_j это корень K за м_j = 1, так что (а) невозможно; если выполняется (b), то единственный возможный опущенный простой корень - это α_я, так что K = ЧАС₁.^[6]

Замкнутые подсистемы корней

Подмножество Δ₁ ⊂ Δ называется закрытая подсистема если всякий раз, когда α и β лежат в Δ₁ с α + β в Δ, то α + β лежит в Δ₁. Две подсистемы Δ₁ и Δ₂ как говорят эквивалент если σ (Δ₁) = Δ₂ для некоторого σ в W = N_грамм(Т) / Т, то Группа Вейля. Таким образом, для закрытой подсистемы

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Delta _{1}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}}$

является подалгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ содержащий ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }}$; и наоборот, любая такая подалгебра порождает замкнутую подсистему. Борель и де Зибенталь классифицировали максимальные замкнутые подсистемы с точностью до эквивалентности.^[7]

ТЕОРЕМА. Замкнутые корневые подсистемы с точностью до эквивалентности имеют вид м_я = 1 с простыми корнями все α_j с j ≠ я или по м_я > 1 премьер с простыми корнями −α₀ и все α_j с j ≠ я.

Этот результат является следствием теоремы Бореля – де Зибенталя для максимальных связных подгрупп максимального ранга. Это также можно доказать непосредственно в рамках теории корневых систем и групп отражений.^[8]

Приложения к симметрическим пространствам компактного типа

Позволять грамм - связная компактная полупростая группа Ли, σ - автоморфизм грамм периода 2 и грамм^σ подгруппа неподвижных точек в σ. Позволять K замкнутая подгруппа в грамм лежащий между грамм^σ и это компонент идентичности. Компактное однородное пространство грамм / K называется симметричное пространство компактного типа. Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ допускает разложение

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}}$

куда ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$, алгебра Ли K, является +1 собственным подпространством σ и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ собственное подпространство –1. Если ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ не содержит простого слагаемого ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, пара (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, σ) называется ортогональная симметрическая алгебра Ли из компактный тип.^[9]

Любой внутренний продукт на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, инвариантный относительно присоединенное представительство и σ, индуцирует риманову структуру на грамм / K, с грамм действуя изометриями. Под таким внутренним продуктом ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ортогональны. грамм / K тогда является римановым симметрическим пространством компактного типа.^[10]

Симметричное пространство или пара (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, σ) называется несводимый если сопряженное действие ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ (или, что эквивалентно, компонент идентичности грамм^σ или же K) неприводима на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Это эквивалентно максимальности ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ как подалгебра.^[11]

На самом деле между промежуточными подалгебрами существует однозначное соответствие ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ и K-инвариантные подпространства ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ данный

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}_{1},\,\,\,\ {\mathfrak {p}}_{1}={\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {p}}.}}$

Любая ортогональная симметрическая алгебра (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, σ) можно разложить в (ортогональную) прямую сумму неприводимых ортогональных симметрических алгебр.^[12]

Фактически ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ можно записать в виде прямой суммы простых алгебр

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}=\oplus _{i=1}^{N}{\mathfrak {g}}_{i},}}$

которые переставляются автоморфизмом σ. Если σ выходит из алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ инвариантен, его разложение собственного подпространства совпадает с его пересечениями с ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Таким образом, ограничение σ на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ неприводимо. Если σ меняет местами два простых слагаемых, соответствующая пара изоморфна диагональному включению K в K × K, с K простой, поэтому тоже неприводимый. Инволюция σ просто меняет местами два множителя σ (Икс,у)=(у,Икс).

Это разложение ортогональной симметрической алгебры дает разложение прямого произведения соответствующего компактного симметрического пространства грамм / K когда грамм просто связано. В этом случае подгруппа неподвижной точки грамм^σ автоматически подключается (это уже неверно, даже для внутренних инволюций, если грамм не просто связано).^[13] Для односвязных грамм, симметричное пространство грамм / K является прямым произведением двух типов симметрических пространств грамм_я / K_я или же ЧАС × ЧАС / ЧАС. Неодносвязное симметрическое пространство компактного типа возникают как составляющие односвязного пространства. грамм / K конечными абелевыми группами. Фактически, если

${\displaystyle \displaystyle {G/K=G_{1}/K_{1}\times \cdots \times G_{s}/K_{s},}}$

позволять

${\displaystyle \displaystyle {\Gamma _{i}=Z(G_{i})/Z(G_{i})\cap K_{i}}}$

и пусть Δ_я - подгруппа группы Γ_я фиксируется всеми автоморфизмами грамм_я сохранение K_я (т.е. автоморфизмы ортогональной симметрической алгебры Ли). потом

${\displaystyle \displaystyle {\Delta =\Delta _{1}\times \cdots \times \Delta _{s}}}$

конечная абелева группа, свободно действующая на грамм / K. Неодносвязные симметрические пространства возникают как фактор-группы по подгруппам в Δ. Подгруппу можно отождествить с фундаментальная группа, которая, таким образом, является конечной абелевой группой.^[14]

Классификация компактных симметрических пространств или пар (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, σ) сводится к случаю, когда грамм связная простая компактная группа Ли. Возможны две возможности: либо автоморфизм σ внутренний, и в этом случае K имеет максимальный ранг и применима теория Бореля и де Зибенталя; либо автоморфизм σ внешний, так что, поскольку σ сохраняет максимальный тор, ранг K меньше ранга грамм а σ соответствует автоморфизму диаграммы Дынкина по модулю внутренних автоморфизмов. Волк (2010) непосредственно определяет все возможные σ в последнем случае: они соответствуют симметрическим пространствам SU (п)/ТАК(п), ТАК(а+б)/ТАК(а) × SO (б) (а и б нечетное), E₆/ F₄ и E₆/ C₄.^[15]

Виктор Кац заметил, что все автоморфизмы конечного порядка простой алгебры Ли могут быть определены с помощью соответствующих аффинная алгебра Ли: та классификация, которая приводит к альтернативному методу классификации пар (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, σ), описывается в Хельгасон (1978).

Приложения к эрмитовым симметрическим пространствам компактного типа

Равноранговый случай с K Неполупросто в точности соответствует Эрмитовы симметрические пространства грамм / K компактного типа.

Фактически симметричное пространство имеет почти сложная структура сохраняющую риманову метрику тогда и только тогда, когда существует линейное отображение J с J² = −я на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ который сохраняет внутренний продукт и коммутирует с действием K. В этом случае J лежит в ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и опыт Jt образует однопараметрическую группу в центре K. Это следует потому, что если А, B, C, D роды ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, то по инвариантности скалярного произведения на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$^[16]

${\displaystyle \displaystyle {([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}}$

Замена А и B к JA и JB, следует, что

${\displaystyle \displaystyle {[JA,JB]=[A,B].}}$

Определим линейное отображение δ на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ путем расширения J быть 0 на ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$. Последнее соотношение показывает, что δ является производным от ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. С ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ полупросто, δ должно быть внутренним дифференцированием, так что

${\displaystyle \displaystyle {\delta (X)=[T+A,X],}}$

с Т в ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и А в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Принимая Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$, следует, что А = 0 и Т лежит в центре ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и, следовательно, что K не полупросто.^[17]

Если с другой стороны грамм / K неприводимо с K неполупростая, компактная группа грамм должно быть простым и K максимального ранга. По теореме Бореля и де Зибенталя инволюция σ внутренняя и K централизатор тора S. Следует, что грамм / K односвязно и есть параболическая подгруппа п в комплексирование грамм_C из грамм такой, что грамм / K = грамм_C / п. В частности, есть сложная структура на грамм / K и действие грамм голоморфно.

В общем случае любое компактное эрмитово симметрическое пространство односвязно и может быть записано как прямое произведение неприводимых эрмитовых симметрических пространств. грамм_я / K_я с грамм_я просто. Неприводимые - это в точности описанные выше неполупростые случаи.^[18]

Примечания

1. Хелгасон 1978
2. Волк 2010
3. Видеть:
   • Волк 2010
   • Бурбаки 1981
   • Хамфрис 1997
   • Duistermaat & Kolk 2000
4. Волк 2010
5. Волк, п. 276 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFWolf (помощь)
6. Видеть:
   • Волк 2010
   • Кейн 2001
7. Кейн 2001, стр. 135–136
8. Кейн 2007 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFKane2007 (помощь)
9. Волк 2010
10. Видеть:
    • Хелгасон 1978
    • Волк 2010
11. Видеть:
    • Волк 2010
    • Хелгасон 1978, п. 378
12. Видеть:
    • Хелгасон 1978, стр. 378–379
    • Волк 2010
13. Хелгасон 1978, стр. 320–321
14. Видеть:
    • Волк 2010, стр. 244,263–264
    • Хелгасон 1978, п. 326
15. Волк 2010
16. Кобаяси и Номидзу 1996, стр. 149–150
17. Кобаяши и Номидзу 1996, стр. 261–262
18. Волк 2010

Рекомендации

• Borel, A .; Де Зибенталь, Дж. (1949), "Les sous-groupes fermés de rang maximum des groupes de Lie clos", Комментарии Mathematici Helvetici, 23: 200–221, Дои:10.1007 / bf02565599
• Борель, Арман (1952), Les espaces hermitiens symétriques, Exposé No. 62, Семинар Бурбаки, 2, заархивировано из оригинал на 2016-03-04, получено 2013-03-14
• Бурбаки, Н. (1981), Groupes et algèbres de Lie (Chapitres 4,5 et 6), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN  978-3-540-34490-2
• Бурбаки, Н. (1982), Groupes et algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN  978-3-540-34392-9
• Duistermaat, J.J .; Колк, А. (2000), Группы Ли, Universitext, Springer, ISBN  978-3-540-15293-4
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Academic Press, ISBN  978-0-8218-2848-9
• Хамфрис, Джеймс Э. (1981), Линейные алгебраические группы, Выпускные тексты по математике, 21, Спрингер, ISBN  978-0-387-90108-4
• Хамфрис, Джеймс Э. (1997), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Выпускные тексты по математике, 9 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3-540-90053-5
• Кейн, Ричард (2001), Группы отражений и теория инвариантов, Спрингер, ISBN  978-0-387-98979-2
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, 2, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-15732-8
• Малле, Гюнтер; Тестерман, Донна (2011), Линейные алгебраические группы и конечные группы лиева типа, Кембриджские исследования по высшей математике, 133, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-139-49953-8
• Вольф, Джозеф А. (2010), Пространства постоянной кривизны, AMS Chelsea Publishing (6-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-5282-8