Доксастическая логика - Doxastic logic

Доксастическая логика это тип логики обеспокоен рассуждение о верования. Период, термин доксастический происходит от древнегреческий δόξα, докса, что означает «вера». Обычно доксастическая логика использует ${\displaystyle {\mathcal {B}}x}$ означать "Считается, что ${\displaystyle x}$ есть случай ", а множество ${\displaystyle \mathbb {B} }$ обозначает а набор убеждений. В доксастической логике вера рассматривается как модальный оператор.

${\displaystyle \mathbb {B} :\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$

Существует полный параллелизм между человеком, который верит предложения и формальная система который происходит предложения. Используя доксастическую логику, можно выразить эпистемический аналог Теорема Гёделя о неполноте из металогика, а также Теорема Лёба, и другие металогические результаты с точки зрения веры.^[1]

Типы рассуждающих

Чтобы продемонстрировать свойства наборов убеждений, Раймонд Смуллян определяет следующие типы аргументов:

• Точный рассуждающий:^[1][2][3][4] Точный мыслитель никогда не верит никаким ложным утверждениям. (модальная аксиома Т)

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to p}$

• Неточный рассуждатель:^[1][2][3][4] Неточный рассуждающий верит по крайней мере в одно ложное утверждение.

${\displaystyle \exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}p}$

• Тщеславный рассудитель:^[1][4] Самодовольный мыслитель считает, что их убеждения никогда не ошибочны.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to p)]}$

• Последовательный рассуждающий:^[1][2][3][4] Последовательный рассуждающий никогда не верит одновременно в предложение и его отрицание. (модальная аксиома D)

${\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}\neg p\quad {\text{or}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}p\to \neg {\mathcal {B}}\neg p}$

• Нормальный рассуждающий:^[1][2][3][4] Нормальный рассуждающий - это тот, кто, веря ${\displaystyle p,}$ также верит они верят p (модальная аксиома 4).

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {BB}}p}$

• Своеобразный рассуждающий:^[1][4] Необычный рассуждающий верит в предложение p, но при этом полагает, что он не верит ${\displaystyle p.}$ Хотя своеобразный рассуждающий может показаться странным психологическим феноменом (см. Парадокс Мура ), особый аргумент обязательно неточен, но не обязательно непоследователен.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• Постоянный рассуждающий:^[1][2][3][4] Постоянный рассуждающий - это тот, кто, веря, ${\displaystyle p\to q}$, также верит ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q}$.

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рефлексивный рассуждающий:^[1][4] Рефлексивный рассуждающий - это тот, для кого каждое предложение ${\displaystyle p}$ есть предложение ${\displaystyle q}$ так что рассуждающий верит ${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$.

${\displaystyle \forall p:\exists q{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))}$

Если рефлексивный рассуждающий типа 4 [см. ниже ] верит ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$, они поверят p. Это параллелизм Теорема Лёба для рассуждающих.

• Неустойчивый рассуждающий:^[1][4] Нестабильный рассуждающий - это тот, кто считает, что он верит в какое-то предположение, но на самом деле не верит в него. Это такое же странное психологическое явление, как и особенность; однако нестабильный рассуждающий не обязательно непоследователен.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\wedge \neg {\mathcal {B}}p}$

• Стабильный рассуждающий:^[1][4] Стабильный рассуждающий не нестабилен. То есть на каждый ${\displaystyle p,}$ если они верят ${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$ тогда они верят ${\displaystyle p.}$ Обратите внимание, что стабильность - это противоположность нормальности. Мы скажем, что рассуждающий считает их устойчивыми, если для каждого предложения ${\displaystyle p,}$ они верят ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p}$ (полагая: "Если я когда-нибудь поверю, что я верю ${\displaystyle p,}$ тогда я действительно поверю ${\displaystyle p}$").

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}p}$

• Скромный рассуждающий:^[1][4] Скромный рассуждающий - это тот, кому за каждое верное предложение ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$ только если они верят ${\displaystyle p}$. Скромный рассудитель никогда не верит ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$ если они не верят ${\displaystyle p}$. Любой рефлексивный рассуждающий типа 4 скромен. (Теорема Лёба )

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p}$

• Странный рассудитель:^[4] Странный рассуждающий относится к типу G и считает, что они непоследовательны, но ошибается в этом убеждении.
• Робкий рассудитель:^[4] Робкий рассудитель не верит ${\displaystyle p}$ ["боится" поверить ${\displaystyle p}$] если они верят, что вера в ${\displaystyle p}$ приводит к противоречивому мнению.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}p}$

Повышение уровня рациональности

• Причина типа 1:^{[1][2][3][4][5]} Рассуждающий типа 1 имеет полное представление о логика высказываний т.е. они рано или поздно верят каждому тавтология (любое предложение, доказуемое таблицы истинности ). Кроме того, их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически закрытый под modus ponens. Если они когда-нибудь поверят ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle p\to q}$ тогда они (рано или поздно) поверят ${\displaystyle q}$.

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}p}$

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

Это правило также можно рассматривать как утверждение, что убеждение распределяется по импликации, поскольку оно логически эквивалентно

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$.

• Тип 1 * рассуждающий:^[1][2][3][4] Рассуждающий типа 1 * верит всем тавтологиям; их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически замкнут в соответствии с modus ponens, и для любых утверждений ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q,}$ если они верят ${\displaystyle p\to q,}$ тогда они поверят, что если они поверят ${\displaystyle p}$ тогда они поверят ${\displaystyle q}$. У рассуждающего типа 1 * есть "оттенок больше" самосознание чем рассуждающий типа 1.

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Причина типа 2:^[1][2][3][4] Логик имеет тип 2, если они относятся к типу 1, и если для каждого ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ они (правильно) верят: "Если я когда-нибудь поверю обоим ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle p\to q,}$тогда я поверю ${\displaystyle q}$. "Будучи представителями первого типа, они также считают, что логически эквивалентный предложение: ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q).}$ Рассуждающий типа 2 знает, что их убеждения закрыты modus ponens.

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

• Разумчик типа 3:^[1][2][3][4] Рассуждающий имеет тип 3, если он нормальный рассуждающий типа 2.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p}$

• Причина типа 4:^{[1][2][3][4][5]} Рассуждающий относится к типу 4, если они относятся к типу 3 и также считают себя нормальными.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p)]}$

• Разумчик типа G:^[1][4] Рассуждающий типа 4, считающий себя скромным.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p)]}$

Самореализующиеся убеждения

Для систем мы определяем рефлексивность как то, что для любого ${\displaystyle p}$ (на языке системы) есть некоторые ${\displaystyle q}$ такой, что ${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$ доказуемо в системе. Теорема Лёба (в общем виде) такова для любой рефлексивной системы типа 4, если ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$ доказуемо в системе, так же ${\displaystyle p.}$^[1][4]

Непоследовательность веры в свою стабильность

Если последовательный рефлексивный рассуждающий типа 4 считает, что они стабильны, они станут нестабильными. Иначе говоря, если устойчивый рефлексивный рассуждающий типа 4 считает, что они стабильны, то они станут непоследовательными. Почему это? Предположим, что устойчивый рефлексивный рассуждающий типа 4 считает их стабильными. Мы покажем, что они (рано или поздно) поверят каждому предложению. ${\displaystyle p}$ (и, следовательно, быть непоследовательными). Возьмите любое предложение ${\displaystyle p.}$ Рассуждающий считает ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p,}$ следовательно, по теореме Лёба они поверят ${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$ (потому что они верят ${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$ куда ${\displaystyle r}$ предложение ${\displaystyle {\mathcal {B}}p,}$ и так они поверят ${\displaystyle r,}$ что является предложением ${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$). Будучи стабильными, они поверят ${\displaystyle p.}$^[1][4]

Смотрите также

• Философский портал

• Пересмотр веры
• Общие знания (логика)
• Джордж Булос
• Яакко Хинтикка
• Модальная логика
• Раймонд Смуллян

Рекомендации

1. Смуллян, Раймонд М., (1986) Логики, рассуждающие о себе, Материалы конференции 1986 года по теоретическим аспектам рассуждений о знаниях, Монтерей (Калифорния), Morgan Kaufmann Publishers Inc., Сан-Франциско (Калифорния), стр. 341–352
2. https://web.archive.org/web/20070930165226/http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Вера, знания и самосознание^{[мертвая ссылка ]}
3. https://web.archive.org/web/20070213054220/http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Модальная логика^{[мертвая ссылка ]}
4. Смуллян, Раймонд М., (1987) Вечно нерешительный, Альфред А. Кнопф Inc.
5. Род Гирл, Возможные миры, Издательство Университета Макгилла-Куина (2003) ISBN  0-7735-2668-4 ISBN  978-0773526686

дальнейшее чтение

• Lindström, St .; Rabinowicz, Wl. (1999). "Неограниченный DDL. Динамическая доксастическая логика для интроспективных агентов". Erkenntnis. 51 (2–3): 353–385. Дои:10.1023 / А: 1005577906029.
• Лински, Л. (1968). «Об интерпретации доксастической логики». Журнал Философии. 65 (17): 500–502. JSTOR  2024352.
• Сегерберг, Кр. (1999). «Логика по умолчанию как динамическая доксастическая логика». Erkenntnis. 50 (2–3): 333–352. Дои:10.1023 / А: 1005546526502.
• Вансинг, Х. (2000). «Сведение доксастической логики к логике действия». Erkenntnis. 53 (1–2): 267–283. Дои:10.1023 / А: 1005666218871.