Преобразование производящей функции - Generating function transformation

Эта статья о преобразованиях производящих функций в математике. Для создания функций (основная статья) см. производящая функция. По поводу производящих функций в классической механике см. Производящая функция (физика). О преобразованиях производящих функций в классической механике см. каноническое преобразование.

В математике преобразование последовательность производящая функция предоставляет метод преобразования производящей функции для одной последовательности в производящую функцию, перечисляющую другую. Эти преобразования обычно включают интегральные формулы, применяемые к производящей функции последовательности (см. интегральные преобразования ) или взвешенные суммы по старшим производным этих функций (см. производные преобразования ).

Учитывая последовательность, ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$, то обычная производящая функция (OGF) последовательности, обозначенной ${\displaystyle F(z)}$, а экспоненциальная производящая функция (EGF) последовательности, обозначенной ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$, определяются формальный степенной ряд

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+\cdots }$

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {f_{0}}{0!}}+{\frac {f_{1}}{1!}}z+{\frac {f_{2}}{2!}}z^{2}+\cdots .}$

В этой статье мы используем соглашение, согласно которому обычная (экспоненциальная) производящая функция для последовательности ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ обозначается заглавной функцией ${\displaystyle F(z)}$ / ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ для некоторых фиксированных или официальных ${\displaystyle z}$ когда контекст этого обозначения ясен. Кроме того, мы используем скобки для извлечения коэффициентов из Конкретная математика ссылка, которая дается ${\displaystyle [z^{n}]F(z):=f_{n}}$. основная статья дает примеры производящих функций для многих последовательностей. Другие примеры вариантов производящей функции включают: Производящие функции Дирихле (DGF), Серия Ламберта, и Серия Ньютон. В этой статье мы сосредоточимся на преобразованиях производящих функций в математике и ведем текущий список полезных преобразований и формул преобразований.

Извлечение арифметических прогрессий из последовательности

Основное внимание в этом разделе уделяется формулам для генерирования функций, перечисляющих последовательность ${\displaystyle \{f_{an+b}\}}$ учитывая обычную производящую функцию ${\displaystyle F(z)}$ куда ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle a\geq 2}$, и ${\displaystyle 0\leq b<a}$. В первых двух случаях, когда ${\displaystyle (a,b):=(2,0),(2,1)}$, мы можем расширить эти производящие функции арифметической прогрессии непосредственно в терминах ${\displaystyle F(z)}$:

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n}z^{2n}={\frac {1}{2}}\left(F(z)+F(-z)\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac {1}{2}}\left(F(z)-F(-z)\right).}$

В более общем плане предположим, что ${\displaystyle a\geq 3}$ и это ${\displaystyle \omega _{a}\equiv \exp \left({\frac {2\pi \imath }{a}}\right)}$ обозначает ${\displaystyle a^{th}}$ первобытный корень единства. Тогда у нас есть формула^[1]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\times \sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$

Для целых чисел ${\displaystyle m\geq 1}$, еще одна полезная формула, которая перевернутый напольные арифметические прогрессии генерируются идентичностью^[2]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$

Полномочия OGF и состав с функциями

В экспоненциальные полиномы Белла, ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=n!\cdot [t^{n}u^{k}]\Phi (t,u)}$, определяются экспоненциальной производящей функцией^[3]

${\displaystyle \Phi (t,u)=\exp \left(u\times \sum _{m\geq 1}x_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)=1+\sum _{n\geq 1}\left\{\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^{k}\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Следующие формулы для степеней, логарифмов и композиций формальных степенных рядов расширяются этими полиномами с переменными в коэффициентах исходных производящих функций.^[4][5] Формула экспоненты производящей функции дается неявно через Полиномы Белла EGF для этих многочленов, определенных в предыдущей формуле для некоторой последовательности ${\displaystyle \{x_{i}\}}$.

Обратные функции OGF (частный случай формулы степеней)

Силовой ряд, обратный производящей функции, ${\displaystyle F(z)}$, расширяется на

${\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .}$

Если мы позволим ${\displaystyle b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)}$ обозначим коэффициенты разложения обратной производящей функции, то имеем следующее рекуррентное соотношение:

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

Полномочия OGF

Позволять ${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$ фиксировано, предположим, что ${\displaystyle f_{0}=1}$, и обозначим ${\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}$. Тогда у нас есть разложение в ряд для ${\displaystyle F(z)^{m}}$ данный

${\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

а коэффициенты ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$ удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

${\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

Другая формула для коэффициентов, ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$, расширяется Полиномы Белла в качестве

${\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

куда ${\displaystyle (r)_{n}}$ обозначает Символ Поххаммера.

Логарифмы OGF

Если мы позволим ${\displaystyle f_{0}=1}$ и определить ${\displaystyle q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)}$, то мы имеем разложение в степенной ряд для составной производящей функции, задаваемой

${\displaystyle \log F(z)=f_{1}+\left(2f_{2}-f_{1}^{2}\right){\frac {z}{2}}+\left(3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}\right){\frac {z^{2}}{3}}+\cdots ,}$

где коэффициенты, ${\displaystyle q_{n}}$, в предыдущем разложении удовлетворяют рекуррентному соотношению, заданному формулой

${\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},}$

и соответствующая формула, расширенная полиномами Белла в виде коэффициентов степенного ряда следующей производящей функции:

${\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Формула Фаа ди Бруно

Позволять ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ обозначают EGF последовательности, ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$, и предположим, что ${\displaystyle {\widehat {G}}(z)}$ - EGF последовательности, ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}$. Последовательность, ${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$, порожденный экспоненциальной производящей функцией композиции, ${\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))}$, задается в терминах экспоненциальных многочленов Белла следующим образом:

${\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}$

Сравним формулировку этого результата с другим известным утверждением Формула Фаа ди Бруно что обеспечивает аналогичное разложение ${\displaystyle n^{th}}$ производные сложной функции через производные двух функций ${\displaystyle z}$ определено, как указано выше.

Интегральные преобразования

OGF ${\displaystyle \longleftrightarrow }$ Формулы преобразования EGF

Имеются следующие интегральные формулы для ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$ которое может применяться почленно по отношению к ${\displaystyle z}$ когда ${\displaystyle z}$ берется любая переменная формального степенного ряда:^[6]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}$

Обратите внимание, что первая и последняя из этих интегральных формул используются для преобразования между EGF в OGF последовательности и из OGF в EGF последовательности, когда эти интегралы сходятся.

Первая интегральная формула соответствует Преобразование Лапласа (или иногда формальный Лаплас – Борель преобразование) производящих функций, обозначаемых ${\displaystyle {\mathcal {L}}[F](z)}$, определенный в.^[7] Другие интегральные представления для гамма-функция во второй из предыдущих формул, конечно, можно также использовать для построения подобных интегральных преобразований. Одна конкретная формула приводит к примеру функции двойного факториала, приведенной непосредственно ниже в этом разделе. Последняя интегральная формула сравнивается с Петлевой интеграл Ганкеля для обратная гамма-функция применяется почленно к степенному ряду для ${\displaystyle F(z)}$.

Пример: двойной факториальный интеграл для EGF чисел Стирлинга второго рода

В единственная факториальная функция, ${\displaystyle (2n)!}$, выражается как произведение двух двойной факториал функции формы

${\displaystyle (2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!!={\frac {4^{n}\cdot n!}{\sqrt {\pi }}}\times \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$

где интеграл для двойной факториальной функции, или рациональный гамма-функция, дан кем-то

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot (2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,}$

для натуральных чисел ${\displaystyle n\geq 0}$. Это интегральное представление ${\displaystyle (2n-1)!!}$ тогда следует, что при фиксированном ненулевом ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ и любые интегральные полномочия ${\displaystyle k\geq 0}$, имеем формулу

${\displaystyle {\frac {\log(q)^{k}}{k!}}={\frac {1}{(2k)!}}\times \left[\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\sqrt {2\log(q)}}\cdot t\right)^{2k}\,dt\right].}$

Таким образом, для любого заданного целого числа ${\displaystyle j\geq 0}$, мы можем использовать предыдущее интегральное представление вместе с формулой для извлечения арифметических прогрессий из последовательности OGF, данной выше, чтобы сформулировать следующее интегральное представление для так называемого модифицированный Число Стирлинга EGF как

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {\log(q)^{n}}{n!}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}\cdot j!}}\left[\sum _{b=\pm 1}\left(e^{b{\sqrt {2\log(q)}}\cdot t}-1\right)^{j}\right]dt,}$

которая сходится при подходящих условиях на параметр ${\displaystyle 0<|q|<1}$.^[8]

Пример: формула EGF для производных высшего порядка геометрического ряда

Для фиксированного ненулевого ${\displaystyle c,z\in \mathbb {C} }$ определены так, что ${\displaystyle |cz|<1}$, пусть геометрическая серия по неотрицательным целым степеням ${\displaystyle (cz)^{n}}$ обозначать ${\displaystyle G(z):=1/(1-cz)}$. Соответствующий высший порядок ${\displaystyle j^{th}}$ производные геометрического ряда по ${\displaystyle z}$ обозначаются последовательностью функций

${\displaystyle G_{j}(z):={\frac {(cz)^{j}}{1-cz}}\times \left({\frac {d}{dz}}\right)^{(j)}\left[G(z)\right],}$

для неотрицательных целых чисел ${\displaystyle j\geq 0}$. Эти ${\displaystyle j^{th}}$ производные обычного геометрического ряда можно показать, например, по индукции, чтобы они удовлетворяли явной формуле замкнутой формы, задаваемой формулой

${\displaystyle G_{j}(z)={\frac {(cz)^{j}\cdot j!}{(1-cz)^{j+2}}},}$

для любого ${\displaystyle j\geq 0}$ в любое время ${\displaystyle |cz|<1}$. Как пример третьего OGF ${\displaystyle \longmapsto }$ Формула преобразования EGF, процитированная выше, мы можем вычислить следующие соответствующие экспоненциальный формы производящих функций ${\displaystyle G_{j}(z)}$:

${\displaystyle {\widehat {G}}_{j}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }G_{j}\left(ze^{-\imath t}\right)e^{e^{\imath t}}dt={\frac {(cz)^{j}e^{cz}}{(j+1)}}\left(j+1+z\right).}$

Дробные интегралы и производные

Дробные интегралы и дробные производные (см. основная статья ) образуют другой обобщенный класс операций интегрирования и дифференцирования, которые могут быть применены к OGF последовательности, чтобы сформировать соответствующий OGF преобразованной последовательности. За ${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$ мы определяем оператор дробного интеграла (порядка ${\displaystyle \alpha }$) интегральным преобразованием^[9]

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}$

что соответствует (формальному) степенному ряду, заданному формулой

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.}$

Для фиксированных ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ определены так, что ${\displaystyle \Re (\alpha ),\Re (\beta )>0}$, имеем, что операторы ${\displaystyle I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }}$. Кроме того, для фиксированных ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ и целые числа ${\displaystyle n}$ удовлетворение ${\displaystyle 0<\Re (\alpha )<n}$ мы можем определить понятие дробная производная удовлетворяющие свойствам, которые

${\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

и

${\displaystyle D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}}$ за ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n,}$

где у нас есть свойство полугруппы, что ${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}$ только когда ни один из ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }$ является целочисленным.

Преобразования рядов полилогарифмов

Для фиксированных ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}$, мы имеем (сравните с частным случаем интегральной формулы для Обобщенная функция полилогарифма Нильсена определено в^[10]) ^[11]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

Обратите внимание, что если мы установим ${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}$, интеграл по производящей функции, ${\displaystyle G(z)}$, в последнем уравнении, когда ${\displaystyle z\equiv 1}$ соответствует Производящая функция Дирихле, или DGF, ${\displaystyle {\widetilde {F}}(s)}$, последовательности ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ при условии, что интеграл сходится. Этот класс связанный с полилогарифмом Интегральные преобразования связаны с преобразованиями дзета-рядов на основе производных, определенными в следующих разделах.

Преобразования производящей функции квадратного ряда

Для фиксированного ненулевого ${\displaystyle q,c,z\in \mathbb {C} }$ такой, что ${\displaystyle |q|<1}$ и ${\displaystyle |cz|<1}$, имеем следующие интегральные представления для так называемых квадратная серия производящая функция, связанная с последовательностью ${\displaystyle \{f_{n}\}}$, которые можно почленно проинтегрировать по ${\displaystyle z}$:^[12]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}$

Этот результат, который доказывается в справочнике, следует из варианта интеграла преобразования двойной факториальной функции для чисел Стирлинга второго рода, приведенного в качестве примера выше. В частности, поскольку

${\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

мы можем использовать вариант преобразований OGF на основе производной положительного порядка, определенных в следующих разделах, включая Числа Стирлинга второго рода чтобы получить интегральную формулу для производящей функции последовательности, ${\displaystyle \left\{S(2n,j)/n!\right\}}$, а затем произвести сумму по ${\displaystyle j^{th}}$ производные от формального OGF, ${\displaystyle F(z)}$ чтобы получить результат в предыдущем уравнении, где производящая функция арифметической прогрессии обозначена как

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),}$

для каждого фиксированного ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$.

Произведения Адамара и диагональные производящие функции

У нас есть интегральное представление для произведения Адамара двух производящих функций, ${\displaystyle F(z)}$ и ${\displaystyle G(z)}$, изложенный в следующей форме:

${\displaystyle (F\odot G)(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}g_{n}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F\left({\sqrt {z}}e^{\imath t}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-\imath t}\right)dt.}$

Дополнительная информация о продукции Hadamard as диагональные производящие функции многомерных последовательностей и / или производящих функций и классов производящих функций, которым принадлежат эти диагональные OGF, можно найти в книге Стэнли.^[13] В справочнике также представлены формулы извлечения вложенных коэффициентов в виде

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(F_{1}\cdots F_{k}\right):=\sum _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{0}x_{1}^{0}]F_{k}\left({\frac {z}{x_{k-1}}}\right)F_{k-1}\left({\frac {x_{k-1}}{x_{k-2}}}\right)\cdots F_{2}\left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)F_{1}(x_{1}),}$

которые особенно полезны в случаях, когда функции генерации последовательности компонентов, ${\displaystyle F_{i}(z)}$, может быть расширен в Серия Laurent, или дробный ряд, в ${\displaystyle z}$, например, в частном случае, когда все составляющие производящие функции рациональны, что приводит к алгебраический вид соответствующей диагональной производящей функции.

Пример: произведения Адамара рациональных производящих функций

В общем, произведение Адамара двух рациональные производящие функции само по себе рационально.^[14] Это видно, если заметить, что коэффициенты рациональная производящая функция форма квазиполином условия формы

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$

где взаимные корни, ${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$, фиксированные скаляры и где ${\displaystyle p_{i}(n)}$ является многочленом от ${\displaystyle n}$ для всех ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$. Например, произведение Адамара двух производящих функций

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}}$

и

${\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}}$

дается формулой рациональной производящей функции^[15]

${\displaystyle (F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}$

Пример: факторные (приближенные) преобразования Лапласа

Обычные производящие функции для обобщенных факториальных функций, образованных как частные случаи обобщенные возрастающие факторные функции продукта, или же Почхаммер k-символ, определяется

${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},}$

куда ${\displaystyle R}$ фиксированный, ${\displaystyle \alpha \neq 0}$, и ${\displaystyle (x)_{n}}$ обозначает Символ Поххаммера порождаются (по крайней мере формально) J-фракции типа Якоби (или специальные формы непрерывные дроби ) установлен в справке.^[16] Если мы позволим ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}$ обозначить ${\displaystyle h^{\text{th}}}$ сходящийся к этим бесконечным цепным дробям, где компоненты сходящиеся функции определены для всех целых чисел ${\displaystyle h\geq 2}$ к

${\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}$ обозначает ассоциированный многочлен Лагерра, то имеем ${\displaystyle h^{th}}$ сходящаяся функция, ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}$, точно перечисляет последовательности продуктов, ${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$, для всех ${\displaystyle 0\leq n<2h}$. Для каждого ${\displaystyle h\geq 2}$, то ${\displaystyle h^{th}}$ сходящаяся функция раскрывается в конечную сумму, включающую только парные обратные значения полиномов Лагерра в виде

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}$

Более того, поскольку единственная факториальная функция дается обоими ${\displaystyle n!=p_{n}(1,1)}$ и ${\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)}$, мы можем сгенерировать члены однофакториальной функции, используя приближенную рациональный сходящиеся производящие функции до порядка ${\displaystyle 2h}$. Это наблюдение предлагает подход к аппроксимации точного (формального) преобразования Лапласа – Бореля, обычно задаваемого в терминах интегрального представления из предыдущего раздела, производящей функцией Адамара или диагональным коэффициентом. В частности, при любом OGF ${\displaystyle G(z)}$ мы можем сформировать приближенное преобразование Лапласа, которое ${\displaystyle 2h}$- порядок точный, по формуле извлечения диагонального коэффициента, указанной выше, заданной как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{\imath t}\right)G\left(-{\sqrt {z}}e^{\imath t}\right)dt.\end{aligned}}}$

Примеры последовательностей, перечисленных через эти диагональные производящие функции коэффициентов, возникающие из множителя факториальной функции последовательности, обеспечиваемого рациональными сходящимися функциями, включают

${\displaystyle {\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle I_{0}(z)}$ обозначает модифицированная функция Бесселя, ${\displaystyle !n}$ обозначает субфакторная функция, ${\displaystyle \operatorname {af} (n)}$ обозначает переменный факториал функция и ${\displaystyle P_{n}(x)}$ это Полином Лежандра. Другие примеры последовательностей, перечисленных в результате применения этих функций по производству рациональных произведений Адамара, приведенных в статье, включают G-функция Барнса комбинаторные суммы, содержащие двойной факториал функция суммы полномочий последовательности и последовательности биномов.

Производные преобразования

Преобразования дзета-рядов положительного и отрицательного порядка

Для фиксированных ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$, имеем, что если последовательность OGF ${\displaystyle F(z)}$ имеет ${\displaystyle j^{th}}$ производные всех необходимых заказов на ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$, что преобразование в дзета-ряд положительного порядка дан кем-то^[17]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}}$ обозначает Число Стирлинга второго рода. В частности, мы имеем следующее частное тождество, когда ${\displaystyle f_{n}\equiv 1\forall n}$ когда ${\displaystyle \scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}$ обозначает треугольник числа Эйлера первого порядка:^[18]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}$

Мы также можем расширить преобразования дзета-рядов отрицательного порядка с помощью процедуры, аналогичной приведенным выше разложениям в терминах ${\displaystyle j^{th}}$-порядок производных некоторых ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$ и бесконечный, нетреугольный набор обобщенных чисел Стирлинга в обратном порядке, или обобщенные числа Стирлинга второго рода, определенные в этом контексте.

В частности, для целых чисел ${\displaystyle k,j\geq 0}$, определим эти обобщенные классы чисел Стирлинга второго рода формулой

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.}$

Тогда для ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ и некоторые прописали OGF, ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$, т.е. так, чтобы старшие ${\displaystyle j^{th}}$ производные от ${\displaystyle F(z)}$ существуют для всех ${\displaystyle j\geq 0}$у нас есть это

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}$

Таблица первых нескольких коэффициентов преобразования дзета-ряда, ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}}$, появится ниже. Эти разложения взвешенных гармонических чисел почти идентичны известным формулам для Числа Стирлинга первого рода до ведущего знака на взвешенном номер гармоники термины в расширениях.

k	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }\times (-1)^{j-1}j!}$
2	${\displaystyle 1}$
3	${\displaystyle H_{j}}$
4	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}$
5	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}$
6	${\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(H_{j}^{4}+6H_{j}^{2}H_{j}^{(2)}+3\left(H_{j}^{(2)}\right)^{2}+8H_{j}H_{j}^{(3)}+6H_{j}^{(4)}\right)}$

Примеры преобразований дзета-рядов отрицательного порядка

Следующая серия, посвященная функции полилогарифма (в дилогарифм и трилогарифм функции соответственно), переменная дзета-функция и Дзета-функция Римана сформулированы на основе результатов предыдущих серий отрицательного порядка, найденных в ссылках. В частности, когда ${\displaystyle s:=2}$ (или эквивалентно, когда ${\displaystyle k:=4}$ в таблице выше), мы имеем следующий ряд частных случаев для дилогарифм и соответствующее постоянное значение переменной дзета-функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(2)&={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}{4\cdot 2^{j}}}.\end{aligned}}}$

Когда ${\displaystyle s:=3}$ (или когда ${\displaystyle k:=5}$ в обозначениях, использованных в предыдущем пункте), мы аналогично получаем ряды частных случаев для этих функций, заданные формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}{12\cdot 2^{j}}}\\&={\frac {1}{6}}\log(2)^{3}+\sum _{j\geq 0}{\frac {H_{j}H_{j}^{(2)}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Известно, что числа гармоники первого порядка имеют экспоненциальную производящую функцию в замкнутой форме, разложенную по натуральный логарифм, то неполная гамма-функция, а экспоненциальный интеграл данный

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}}{n!}}z^{n}=e^{z}\left({\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\right).}$

Дополнительные представления серий для номер гармоники порядка r экспоненциальные производящие функции для целых чисел ${\displaystyle r\geq 2}$ формируются как частные случаи результатов преобразования ряда на основе производной отрицательного порядка. Например, числа гармоники второго порядка имеют соответствующую экспоненциальную производящую функцию, разложенную на ряд

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}^{(2)}}{n!}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}{\frac {H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}}{2\cdot (j+1)!}}z^{j}e^{z}\left(j+1+z\right).}$

Обобщенные преобразования дзета-рядов отрицательного порядка

Дальнейшее обобщение преобразований ряда отрицательного порядка, определенных выше, связано с Гурвиц-зета-подобный, или же Лерх-трансцендентный, производящие функции. В частности, если мы определим еще более общие параметризованные числа Стирлинга второго рода как

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}}$,

для ненулевого ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ такой, что ${\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}$, и некоторые исправленные ${\displaystyle k\geq 1}$у нас есть это

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}$

Более того, для любых целых чисел ${\displaystyle u,u_{0}\geq 0}$, у нас есть приближения частичного ряда к полному бесконечному ряду в предыдущем уравнении, заданному формулой

${\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}$

Примеры преобразований обобщенных дзета-рядов отрицательного порядка

Ряды специальных констант и дзета-функции в результате этих преобразований обобщенных производных рядов обычно включают обобщенные гармонические числа порядка r определяется ${\displaystyle H_{n}^{(r)}(\alpha ,\beta ):=\sum _{1\leq k\leq n}(\alpha k+\beta )^{-r}}$ для целых чисел ${\displaystyle r\geq 1}$. Пара частных разложений в ряд для следующих констант, когда ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ фиксируется следуя из частных случаев Идентификаторы типа BBP в качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4{\sqrt {3}}\pi }{9}}&=\sum _{j\geq 0}{\frac {8}{9^{j+1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right).\end{aligned}}}$

Several other series for the zeta-function-related cases of the Legendre chi function, то полигамма функция, а Дзета-функция Римана включают

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\chi _{2}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\left({\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z}}H_{j}^{(1)}(2,z)\right){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18}}\zeta (3)&=\sum _{i=1,2}\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i}{3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{(1)}(3,i)+{\frac {1}{2i}}\left(H_{j}^{(1)}(3,i)^{2}+H_{j}^{(2)}(3,i)\right)\right){\frac {(-1)^{i+1}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Additionally, we can give another new explicit series representation of the inverse tangent function through its relation to the Числа Фибоначчи ^[19] expanded as in the references by

${\displaystyle \tan ^{-1}(x)={\frac {\sqrt {5}}{2\imath }}\times \sum _{b=\pm 1}\sum _{j\geq 0}{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left(b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}-{\frac {\left(b\imath \Phi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1+{\frac {b\imath \Phi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}\right],}$

за ${\displaystyle t\equiv 2x/\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4}{5}}x^{2}}}\right)}$ и где Золотое сечение (and its reciprocal) are respectively defined by ${\displaystyle \varphi ,\Phi :={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)}$.

Inversion relations and generating function identities

Inversion relations

An inversion relation is a pair of equations of the form

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k},}$

что эквивалентно orthogonality relation

${\displaystyle \sum _{k=j}^{n}A_{n,k}\cdot B_{k,j}=\delta _{n,j}.}$

Given two sequences, ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{g_{n}\}}$, related by an inverse relation of the previous form, we sometimes seek to relate the OGFs and EGFs of the pair of sequences by functional equations implied by the inversion relation. This goal in some respects mirrors the more number theoretic (Lambert series ) generating function relation guaranteed by the Формула обращения Мебиуса, which provides that whenever

${\displaystyle a_{n}=\sum _{d|n}b_{d}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d},}$

the generating functions for the sequences, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$, are related by the Möbius transform данный

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}=\sum _{n\geq 1}{\frac {b_{n}z^{n}}{1-z^{n}}}.}$

Точно так же Преобразование Эйлера of generating functions for two sequences, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$, satisfying the relation^[20]

${\displaystyle 1+\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}=\prod _{i\geq 1}{\frac {1}{(1-z^{i})^{a_{i}}}},}$

is given in the form of

${\displaystyle 1+B(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac {A(z^{k})}{k}}\right),}$

where the corresponding inversion formulas between the two sequences is given in the reference.

The remainder of the results and examples given in this section sketch some of the more well-known generating function transformations provided by sequences related by inversion formulas (the binomial transform и Stirling transform ), and provides several tables of known inversion relations of various types cited in Riordan's Комбинаторные идентичности книга. In many cases, we omit the corresponding functional equations implied by the inversion relationships between two sequences (this part of the article needs more work).

The binomial transform

The first inversion relation provided below implicit to the binomial transform is perhaps the simplest of all inversion relations we will consider in this section. For any two sequences, ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{g_{n}\}}$, related by the inversion formulas

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}g_{k},}$

we have functional equations between the OGFs and EGFs of these sequences provided by the binomial transform в виде

${\displaystyle G(z)={\frac {1}{1-z}}F\left({\frac {-z}{1-z}}\right)}$

и

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)=e^{z}{\widehat {F}}(-z).}$

The Stirling transform

For any pair of sequences, ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{g_{n}\}}$, related by the Число Стирлинга inversion formula

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k},}$

these inversion relations between the two sequences translate into functional equations between the sequence EGFs given by the Stirling transform в качестве

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}$

и

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}$

Tables of inversion pairs from Riordan's book

These tables appear in chapters 2 and 3 in Riordan's book providing an introduction to inverse relations with many examples, though which does not stress functional equations between the generating functions of sequences related by these inversion relations. The interested reader is encouraged to pick up a copy of the original book for more details.

Several forms of the simplest inverse relations

Связь	Формула	Inverse Formula	Generating Functions (OGF)	Generating Functions (EGF)	Примечания / ссылки
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}a_{k}}$	${\displaystyle B(z)={\frac {1}{1-z}}A\left(-{\frac {z}{1-z}}\right)}$	${\displaystyle {\widehat {B}}(z)=e^{z}{\widehat {A}}(-z)}$	Увидеть Binomial transform
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p-k}{p-n}}b_{k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p-k}{p-n}}(-1)^{n-k}a_{k}}$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle \ast }$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+p}{k+p}}b_{k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+p}{k+p}}(-1)^{n-k}a_{k}}$	${\displaystyle B(z)={\frac {1}{(1+z)^{p+1}}}A\left({\frac {z}{1+z}}\right)}$	${\displaystyle \ast }$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {k+p}{n+p}}b_{k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {k+p}{n+p}}(-1)^{n-k}a_{k}}$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle \ast }$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{k!}}{\binom {n-1}{k-1}}b_{k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{k!}}{\binom {n-1}{k-1}}(-1)^{n-k}a_{k}}$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat {B}}(z)={\widehat {A}}\left({\frac {z}{1+z}}\right)}$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}k!b_{n-k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(-1)^{k}k!a_{n-k}}$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat {B}}(z)={\frac {1}{1+z}}{\widehat {A}}\left({\frac {z}{1+z}}\right)}$
7	${\displaystyle {\frac {n!a_{n}}{(n+p)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {k!b_{k}}{(k+p)!}}}$	${\displaystyle {\frac {n!b_{n}}{(n+p)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{n-k}k!a_{k}}{(k+p)!}}}$	${\displaystyle B(z)={\frac {1}{(1+z)^{p+1}}}A\left({\frac {z}{1+z}}\right)}$	${\displaystyle \ast }$
8	${\displaystyle s_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n+k}{m+2k}}a_{k}}$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}A\left({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\right)}$	${\displaystyle \ast }$	Видеть.[21]
9	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}}$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle A(z)={\frac {1}{1+cx}}B\left({\frac {ax}{1+cx}}\right)}$	${\displaystyle \ast }$	Обобщение binomial transform за ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {C} }$ такой, что ${\displaystyle |ax/(1+cx)|<\sigma _{B}}$.
10	${\displaystyle w_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^{n}a_{i},\ k\neq 0}$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat {W}}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat {A}}(kz)}$	В ${\displaystyle k}$-binomial transform (видеть [22])
11	${\displaystyle f_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^{n-i}a_{i},\ k\neq 0}$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat {F}}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat {A}}(z)}$	В падение ${\displaystyle k}$-binomial transform (refer to Spivey's article in [22])
12	${\displaystyle r_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^{i}a_{i},\ k\neq 0}$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle \ast }$	${\displaystyle {\widehat {R}}(A,k;z)=e^{z}{\widehat {A}}(kz)}$	В поднимающийся ${\displaystyle k}$-binomial transform (refer to Spivey's article in [22])

Gould classes of inverse relations

The terms, ${\displaystyle A_{n,k}}$ и ${\displaystyle B_{n,k}}$, в формулах обращения вида

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

образуя несколько частных случаев Классы Гулда обратных отношений приведены в следующей таблице.

Учебный класс	${\displaystyle A_{n,k}}$	${\displaystyle B_{n,k}}$
1	${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}}$	${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}-q{\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}}$
2	${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}+q{\binom {p+qk-k}{n-1-k}}}$	${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}}$
3	${\displaystyle {\binom {p+qn-n}{k-n}}}$	${\displaystyle {\binom {p+qk-n}{k-n}}-q{\binom {p+qk-n-1}{k-n-1}}}$
4	${\displaystyle {\binom {p+qn-n}{k-n}}+q{\binom {p+qn-n}{k-1-n}}}$	${\displaystyle {\binom {p+qk-n}{k-n}}}$

Для классов 1 и 2 диапазон суммы удовлетворяет условию ${\displaystyle k\in [0,n]}$, а для классов 3 и 4 оценки суммирования даются выражениями ${\displaystyle k=n,n+1,\ldots }$. Эти термины также несколько упрощены по сравнению с их исходными формами в таблице идентификаторами

${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}-q\times {\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}={\frac {p+qk-k}{p+qn-k}}{\binom {p+qn-k}{n-k}}}$

${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}+q\times {\binom {p+qk-k}{n-1-k}}={\frac {p+qn-n+1}{p+qk-n+1}}{\binom {p+qk-k}{n-k}}.}$

Более простые обратные соотношения Чебышева

Так называемый проще случаи чебышёвских классов обратных отношений из нижеследующего пункта приведены в следующей таблице.

Связь	Формула для ${\displaystyle a_{n}}$	Обратная формула для ${\displaystyle b_{n}}$
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{k}}b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}$
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n-k}{k}}(-1)^{k}a_{n-2k}}$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{k}}b_{n+2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+k}{k}}+{\binom {n+k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n+2k}}$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}\right]b_{n+2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{k}}(-1)^{k}a_{n+2k}}$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n-k}{k}}b_{n-k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-k}}$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+1-k}{k}}+{\binom {n-k}{k-1}}\right]b_{n-k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}(-1)^{k}a_{n-k}}$
7	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{n+ck}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+ck+k}{k}}{\frac {n(-1)^{k}}{n+ck+k}}a_{n+ck}}$

Формулы в таблице несколько упрощены следующими тождествами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}\\{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1-k}{n+1-2k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+k}}{\binom {n+2k}{k}}\\{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}&={\frac {n-k}{n+k}}{\binom {n+k}{k}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, соотношения инверсии, приведенные в таблице, также выполняются, когда ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$ в любом данном отношении.

Чебышёвские классы обратных отношений

Условия, ${\displaystyle A_{n,k}}$ и ${\displaystyle B_{n,k}}$, в формулах обращения вида

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n+ck},}$

для ненулевых целых чисел ${\displaystyle c}$образуя несколько частных случаев Чебышёвские классы обратных отношений приведены в следующей таблице.

Учебный класс	${\displaystyle A_{n,k}}$	${\displaystyle B_{n,k}}$
1	${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$	${\displaystyle {\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}}$
2	${\displaystyle {\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}}$	${\displaystyle {\binom {n+ck+k}{k}}}$
3	${\displaystyle {\binom {n+ck}{k}}}$	${\displaystyle {\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}}$
4	${\displaystyle {\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}}$	${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}}$

Кроме того, эти инверсионные соотношения также выполняются, когда ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$ для некоторых ${\displaystyle p=0,1,2,\ldots ,}$ или когда знаковый фактор ${\displaystyle (-1)^{k}}$ сдвигается с условий ${\displaystyle B_{n,k}}$ к условиям ${\displaystyle A_{n,k}}$. Формулы, приведенные в предыдущей таблице, несколько упрощены тождествами

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+ck+k}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\\{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck-k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{aligned}}}$

Более простые обратные соотношения Лежандра

Связь	Формула для ${\displaystyle a_{n}}$	Обратная формула для ${\displaystyle b_{n}}$
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+p+k}{n-k}}b_{k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p}{n-k}}-{\binom {2n+p}{n-k-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}}$
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {2n+p}{n-k}}b_{k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+p+k}{n-k}}-{\binom {n+p+k-1}{n-k-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}}$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {n+p+k}{k-n}}b_{k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k\geq n}\left[{\binom {2k+p}{k-n}}-{\binom {2k+p}{k-n-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}}$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {2k+p}{k-n}}b_{k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k\geq n}\left[{\binom {n+p+k}{k-n}}-{\binom {n+p+k-1}{k-n-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}}$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {2n+p}{k}}b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p-3k}{k}}+3{\binom {2n+p-3k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p}{k}}-3{\binom {2n+p}{k-1}}\right]b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {2n+p-3k}{k}}(-1)^{k}a_{n-2k}}$
7	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{\binom {3n}{k}}b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}\left[{\binom {3n-5k}{k}}+5{\binom {3n-5k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}$
8	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{[n/3]}{\binom {2n}{k}}b_{n-3k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{[n/3]}\left[{\binom {2n-5k}{k}}+5{\binom {2n-5k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-3k}}$

Классы Лежандра – Чебышева обратных отношений.

В Классы Лежандра – Чебышева обратных отношений. соответствуют инверсионным соотношениям вида

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

где условия, ${\displaystyle A_{n,k}}$ и ${\displaystyle B_{n,k}}$, неявно зависят от некоторого фиксированного ненулевого ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$. В общем случае для класса обратных чебышёвских пар вида

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n-ck},}$

если ${\displaystyle c}$ простое число, замена ${\displaystyle n\longmapsto cn+p}$, ${\displaystyle a_{cn+p}\longmapsto A_{n}}$, и ${\displaystyle b_{cn+p}\longmapsto B_{n}}$ (возможно, заменив ${\displaystyle k\longmapsto n-k}$) приводит к Лежандр – Чебышев пара формы^[23]

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{cn+p,k}B_{n-k}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{cn+p,k}(-1)^{k}A_{n-k}.}$

Аналогично, если положительное целое число ${\displaystyle c:=de}$ составна, можно получить пары инверсии вида

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{dn+p,k}B_{n-ek}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{dn+p,k}(-1)^{k}A_{n-ek}.}$

В следующей таблице приведены несколько обобщенных классов обратных соотношений Лежандра – Чебышева для некоторого ненулевого целого числа. ${\displaystyle c}$.

Учебный класс	${\displaystyle A_{n,k}}$	${\displaystyle B_{n,k}}$
1	${\displaystyle {\binom {cn+p}{n-k}}}$	${\displaystyle {\binom {n+p-1+ck-k}{n-k}}+c{\binom {n+p-1+ck-k}{n-k-1}}}$
2	${\displaystyle {\binom {cn+p}{k-n}}}$	${\displaystyle {\binom {ck+k+p-n-1}{k-n}}-c{\binom {ck+k+p-n-1}{k-n-1}}}$
3	${\displaystyle {\binom {ck+p}{n-p}}}$	${\displaystyle {\binom {cn+n+p-k-1}{n-k}}-c{\binom {cn+n+p-k-1}{n-k-1}}}$
4	${\displaystyle {\binom {ck+p}{k-n}}}$	${\displaystyle {\binom {cn-n+p+k-1}{k-n}}+c{\binom {cn-n+p+k-1}{k-n-1}}}$
5	${\displaystyle {\binom {cn+p}{n-k}}-(c-1){\binom {cn+p}{n-k-1}}}$	${\displaystyle {\binom {n+p+ck-k}{n-k}}}$
6	${\displaystyle {\binom {cn+p}{k-n}}+(c+1){\binom {cn+p}{k-n-1}}}$	${\displaystyle {\binom {ck+k+p-n}{k-n}}}$
7	${\displaystyle {\binom {ck+p}{n-k}}+(c+1){\binom {ck+p}{n-k-1}}}$	${\displaystyle {\binom {cn+n+p-k}{n-k}}}$
8	${\displaystyle {\binom {ck+p}{k-n}}-(c-1){\binom {ck+p}{k-n-1}}}$	${\displaystyle {\binom {cn-n+p+k}{k-n}}}$

Обратные отношения Абеля

Обратные отношения Абеля соответствуют Обратные пары Абеля формы

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{nk}b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{nk}(-1)^{n-k}a_{k},}$

где условия, ${\displaystyle A_{nk}}$ и ${\displaystyle B_{nk}}$, может неявно меняться с некоторым неопределенным параметром суммирования ${\displaystyle x}$. Эти соотношения также остаются в силе, если подстановка биномиальных коэффициентов ${\displaystyle {\binom {n}{k}}\longmapsto {\binom {n+p}{k+p}}}$ выполняется для некоторого неотрицательного целого числа ${\displaystyle p}$. В следующей таблице приведены некоторые примечательные формы этих обратных отношений Абеля.

Число	${\displaystyle A_{nk}}$	${\displaystyle B_{nk}}$	Создание идентичности функции
1	${\displaystyle x(x+n-k)^{n-k-1}}$	${\displaystyle x(x-n+k)^{n-k-1}}$	${\displaystyle \ast }$
2	${\displaystyle (x+n-k)^{n-k}}$	${\displaystyle (x^{2}-n+k)(x-n+k)^{n-k-2}}$	${\displaystyle \ast }$
3	${\displaystyle (x+k)^{n-k}}$	${\displaystyle (x+k)(x+n)^{n-k-1}}$	${\displaystyle \ast }$
3а	${\displaystyle (x+n)(x+k)^{n-k-1}}$	${\displaystyle (x+n)^{n-k}}$	${\displaystyle \ast }$
4	${\displaystyle (x+2n)(x+n+k)^{n-k-1}}$	${\displaystyle (x+2n)(x+n+k)^{n-k-1}}$	${\displaystyle \ast }$
4а	${\displaystyle (x+2k)(x+n+k)^{n-k-1}}$	${\displaystyle (x+2k)(x+n+k)^{n-k-1}}$	${\displaystyle \ast }$
5	${\displaystyle (n+k)^{n-k}}$	${\displaystyle \left[n+k(4n-1)\right](n+k)^{n-k-2}}$	${\displaystyle \ast }$

Обратные соотношения, полученные из обычных производящих функций

Если мы позволим свернутые числа Фибоначчи, ${\displaystyle f_{k}^{(\pm p)}}$, определяться

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}^{(p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p+n-j-1}{n-j}}{\binom {n-j}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {n-j}{j}}(-1)^{n-j},\end{aligned}}}$

у нас есть следующая таблица обратных соотношений, которые получаются из свойств обычных функций, производящих последовательность, доказанных, как в разделе 3.3 книги Риордана.

Связь	Формула для ${\displaystyle a_{n}}$	Обратная формула для ${\displaystyle b_{n}}$
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p+k}{k}}b_{n-k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}a_{n-k}}$
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {p+k}{k}}b_{n-qk}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}a_{n-qk}}$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}f_{k}^{(p)}b_{n-k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}f_{k}^{(-p)}a_{n-k}}$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}b_{n-k}}$	${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {a_{n-k}}{(1-2k)}}}$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {b_{n-k}}{(k+1)}}}$	${\displaystyle b_{n}=a_{n}-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {a_{n-k}}{k}}}$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2p+2k}{p+k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {2p}{p}}^{-1}b_{n-k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2p+1}{2k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {p+k}{2k}}^{-1}(-1)^{k}a_{n-k}}$
7	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {4k}{2k}}b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {4k}{2k}}{\frac {(8k+1)a_{n-2k}}{(2k+1)(k+1)}}}$
8	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {4k+2}{2k+1}}b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}={\frac {a_{n}}{2}}-\sum _{k\geq 1}{\binom {4k-2}{2k-1}}{\frac {(8k-3)a_{n-2k}}{2k(4k-3)}}}$
9	${\displaystyle a_{n}={\binom {4k}{2k}}{\frac {b_{n-2k}}{(1-4k)}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {4k}{2k}}{\frac {a_{n-2k}}{(2k+1)}}}$

Обратите внимание, что соотношения 3, 4, 5 и 6 в таблице могут быть преобразованы в соответствии с заменами ${\displaystyle a_{n-k}\longmapsto a_{n-qk}}$ и ${\displaystyle b_{n-k}\longmapsto b_{n-qk}}$ для некоторого фиксированного ненулевого целого числа ${\displaystyle q\geq 1}$.

Обратные соотношения, полученные из экспоненциальных производящих функций

Позволять ${\displaystyle B_{n}}$ и ${\displaystyle E_{n}}$ обозначить Числа Бернулли и Числа Эйлера соответственно, и предположим, что последовательности, ${\displaystyle \{d_{2n}\}}$, ${\displaystyle \{e_{2n}\}}$, и ${\displaystyle \{f_{2n}\}}$ определяются следующими экспоненциальными производящими функциями:^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {d_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {2z}{e^{z}-e^{-z}}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{2}}{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{3}}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}.\end{aligned}}}$

В следующей таблице приведены несколько примечательных случаев соотношений обращения, полученных из экспоненциальных производящих функций в разделе 3.4 книги Риордана.^[25]

Связь	Формула для ${\displaystyle a_{n}}$	Обратная формула для ${\displaystyle b_{n}}$
1	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {b_{k}}{(k+1)}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{k}a_{n-k}}$
2	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}{\frac {b_{n+k}}{(k+1)}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}B_{k}a_{n+k}}$
3	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}E_{2k}a_{n-2k}}$
4	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{2k}}b_{n+2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{2k}}E_{2k}a_{n+2k}}$
5	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}{\frac {b_{n-2k}}{(2k+1)}}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}d_{2k}a_{n-2k}}$
6	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+1}{2k+1}}b_{n-2k}}$	${\displaystyle (n+1)\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+1}{2k}}d_{2k}a_{n-2k}}$
7	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}{\binom {2k+2}{2}}^{-1}b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}e_{2k}a_{n-2k}}$
8	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2}{2k+2}}b_{n-2k}}$	${\displaystyle {\binom {n+2}{2}}\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2}{2k}}e_{2k}a_{n-2k}}$
9	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}{\binom {2k+3}{3}}^{-1}b_{n-2k}}$	${\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}f_{2k}a_{n-2k}}$
10	${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+3}{2k+3}}b_{n-2k}}$	${\displaystyle {\binom {n+3}{3}}\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+3}{2k}}f_{2k}a_{n-2k}}$

Полиномиальные обратные

Обратные соотношения, использованные при формулировке биномиальное преобразование цитированные в предыдущем пункте, обобщаются на соответствующие двухиндексные обратные соотношения для последовательностей из двух индексов и на формулы полиномиального обращения для последовательностей ${\displaystyle j\geq 3}$ индексы, включающие биномиальные коэффициенты в Риордане.^[26] В частности, мы имеем форму двухиндексного обратного отношения, задаваемого формулой

${\displaystyle a_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},}$

и более общий вид полиномиальной пары формул обращения:

${\displaystyle a_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}.}$

Примечания

1. См. Раздел 1.2.9 в книге Кнута. Искусство программирования (Том 1).
2. Решение упражнения 7.36 на странице 569 в книге Грэма, Кнута и Патшника.
3. См. Раздел 3.3 в Comtet.
4. См. Разделы 3.3–3.4 в Comtet.
5. См. Раздел 1.9 (vi) в Справочник NIST.
6. См. Стр. 566 Грэма, Кнута и Паташника для утверждения последней формулы преобразования.
7. См. Приложение B.13 Flajolet and Sedgewick.
8. Обратитесь к доказательству теоремы 2.3 в Math.NT / 1609.02803.
9. См. Раздел 1.15 (vi) - (vii) в Справочник NIST.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный полилогарифм Нильсена». MathWorld.
11. См. Уравнение (4) в разделе 2 статьи Borwein, Borwein и Girgensohn Явное вычисление сумм Эйлера (1994).
12. См. Статью Math.NT / 1609.02803.
13. См. Раздел 6.3 в книге Стэнли.
14. См. Раздел 2.4 в книге Ландо.
15. Потехина Е.А. (2017). «Применение произведения Адамара к некоторым комбинаторно-вероятностным задачам». Discr. Математика. Приложение. 27 (3): 177–186. Дои:10.1515 / dma-2017-0020. S2CID  125969602.
16. Шмидт, М. Д. (2017). "Непрерывные дроби типа Якоби для обычных производящих функций обобщенных факториальных функций". J. Int. Seq. 20: 17.3.4. arXiv:1610.09691.
17. См. Индуктивное доказательство, приведенное в разделе 2 Math.NT / 1609.02803.
18. См. Таблицу в разделе 7.4 книги Грэма, Кнута и Паташника.
19. См. Уравнение (30) на Страница MathWorld для функции обратной касательной.
20. Вайсштейн, Э. «Преобразование Эйлера». MathWorld.
21. Решение упражнения 5,71 дюйма Конкретная математика.
22. Спайви, М. З. (2006). «K-биномиальные преобразования и преобразование Ханкеля». Журнал целочисленных последовательностей. 9 (Статья 06.1.1).
23. См. Раздел 2.5 Риордана.
24. См. Раздел 3.4 в Риордане.
25. Сравните с формулами обращения, приведенными в разделе 24.5 (iii) Справочник NIST.
26. См. Раздел 3.5 в книге Риордана.

Рекомендации

• Контет, Л. (1974). Продвинутая комбинаторика (PDF). Издательство Д. Рейдел. ISBN  9027703809.
• Флажолет и Седжвик (2010). Аналитическая комбинаторика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-89806-5.
• Грэм, Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: основа компьютерных наук (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN  0201558025.
• Кнут, Д. Э. (1997). Искусство программирования: фундаментальные алгоритмы. 1. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-89683-4.
• Ландо, С. К. (2002). Лекции по генерирующим функциям. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3481-9.
• Оливер, Лозье, Буазверт и Кларк (2010). Справочник NIST по математическим функциям. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-14063-8.
• Риордан, Дж. (1968). Комбинаторные идентичности. Wiley and Sons.
• Роман, С. (1984). Темное исчисление. Dover Publications. ISBN  0-486-44139-3.
• Шмидт, М. Д. (3 ноября 2016 г.). «Преобразования производящей функции ряда дзета, связанные с обобщенными числами Стирлинга и частичными суммами дзета-функции Гурвица». arXiv:1611.00957 [math.CO ].
• Шмидт, М. Д. (30 октября 2016 г.). "Преобразования порождающих функций серии Зета, относящиеся к функциям полилогарифма и k-Заказать гармонические числа ». arXiv:1610.09666 [math.CO ].
• Шмидт, М. Д. (2017). «Непрерывные дроби типа Якоби для обыкновенных производящих функций обобщенных факторных функций». Журнал целочисленных последовательностей. 20.
• Шмидт, М. Д. (9 сентября 2016 г.). «Преобразования производящей функции квадратного ряда». arXiv:1609.02803 [math.NT ].
• Стэнли, Р. П. (1999). Перечислительная комбинаторика. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-78987-5.