Изомонодромная деформация - Isomonodromic deformation

В математика, уравнения, определяющие изомонодромная деформация из мероморфный линейные системы обыкновенные дифференциальные уравнения являются в довольно точном смысле наиболее фундаментальными точный нелинейный дифференциальные уравнения. В результате их решения и свойства лежат в основе области точной нелинейности и интегрируемые системы.

Изомонодромные деформации впервые были изучены Ричард Фукс, с ранним новаторским вкладом Лазарь Фукс, Поль Пенлеве, Рене Гарнье, и Людвиг Шлезингер. Вдохновленный результатами в статистическая механика, плодотворный вклад в теорию внесли Мичио Джимбо, Тецудзи Мива и Кимио Уэно, изучавшие случаи с произвольной структурой сингулярности.

Фуксовы системы и уравнения Шлезингера

Мы рассматриваем Фуксова система линейных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{x-\lambda _{i}}}Y}$

где независимая переменная Икс принимает значения в сложной проективной прямой п¹(C), решение Y принимает значения в C^п и А_я постоянны п×п матрицы. Поместив п независимые колоночные решения в фундаментальная матрица мы можем рассматривать Y как принимающие значения в GL (п, C). Решения этого уравнения имеют простые полюсы при Икс = λ_я. Для простоты предположим, что нет другого полюса на бесконечности, что соответствует условию, что

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}=0.}$

Данные монодромии

Теперь исправим базовую точку б на сфере Римана вдали от полюсов. Аналитическое продолжение решения Y вокруг любого полюса λ_я и возврат к базовой точке даст новое решение Y ′ определяется рядом б. Новые и старые решения связаны между собой монодромия матрица M_я следующим образом:

${\displaystyle Y'=YM_{i}.}$

Поэтому у нас есть Римана – Гильберта гомоморфизм от фундаментальная группа проколотой сферы к представлению монодромии:

${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )-\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\}\right)\to GL(n,\mathbf {C} ).}$

Изменение базовой точки просто приводит к (одновременному) сопряжению всех матриц монодромии. Матрицы монодромии по модулю одновременного сопряжения определяют данные монодромии фуксовой системы.

Двадцать первая проблема Гильберта

Теперь, имея данные о монодромии, можем ли мы найти фуксову систему, которая демонстрирует эту монодромию? Это одна из форм Двадцать первая проблема Гильберта. Мы не различаем координаты Икс и ${\displaystyle {\hat {x}}}$ которые связаны Преобразования Мебиуса, и мы не делаем различия между калибровочно эквивалентными фуксовыми системами - это означает, что мы рассматриваем А и

${\displaystyle g^{-1}(x)Ag(x)-g^{-1}(x){\frac {dg(x)}{dx}}}$

как эквивалентное для любого голоморфного калибровочное преобразование грамм(Икс). (Таким образом, наиболее естественно рассматривать фуксову систему с геометрической точки зрения как связь с простыми полюсами на тривиальном ранге п векторный набор над сферой Римана).

Для общих данных о монодромии ответ на двадцать первую проблему Гильберта - «да», что было впервые доказано Йосип Племель. Однако Племель пренебрегал некоторыми вырожденными случаями, и это было показано в 1989 г. Андрей Болибрух что бывают случаи, когда ответ - «нет». Здесь мы полностью сосредоточимся на общем случае.

Уравнения Шлезингера

Существует (в общем) много фуксовых систем с одинаковыми данными монодромии. Таким образом, для любой такой фуксовой системы с заданными данными монодромии мы можем выполнить изомонодромные деформации из этого. Поэтому мы вынуждены изучать семьи фуксовых систем, и допускают матрицы А_я зависеть от положения полюсов.

В 1912 г. (после ранее неверных попыток) Людвиг Шлезингер доказал, что в общем случае деформации, сохраняющие данные монодромии (общей) фуксовой системы, управляются интегрируемый голономная система из уравнения в частных производных которые теперь носят его имя:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}&={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i\\{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{i}}}&=-\sum _{j\neq i}{\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}.\end{aligned}}}$

Следовательно, это уравнения изомонодромии для (общих) фуксовых систем. Естественная интерпретация этих уравнений - это плоскостность естественной связи на векторном расслоении над «пространством параметров деформации», которое состоит из возможных положений полюсов. Для необщих изомонодромных деформаций все еще будет существовать интегрируемое уравнение изомонодромии, но уже не Шлезингера.

Если ограничиться случаем, когда А_я принимают значения в алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$, получаем так называемый Системы ГарньеЕсли далее специализироваться на случае, когда полюсов всего четыре, то уравнения Шлезингера / Гарнье можно свести к знаменитому шестому полюсу. Уравнение Пенлеве.

Неправильные особенности

По мотивам появления Трансценденты Пенлеве в корреляционные функции в теории Бозе-газы, Мичио Джимбо, Тецудзи Мива и Кимио Уэно распространили понятие изомонодромной деформации на случай произвольной полюсной структуры. Изучаемая нами линейная система теперь имеет вид

${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{r_{i}+1}{\frac {A_{j}^{(i)}}{(x-\lambda _{i})^{j}}}Y,}$

с п полюса, с полюсом в λ_я порядка ${\displaystyle (r_{i}+1)}$. В ${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$ - постоянные матрицы.

Расширенные данные монодромии

Наряду с представлением монодромии, описанным в фуксовой постановке, требуются деформации нерегулярных систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для сохранения расширенный данные монодромии. Грубо говоря, данные монодромии теперь рассматриваются как данные, которые склеивают канонические решения вблизи сингулярностей. Если мы возьмем ${\displaystyle x_{i}=x-\lambda _{i}}$ как локальную координату вблизи полюса λ_яиз порядок ${\displaystyle r_{i}+1}$, то мы можем почленно решить голоморфное калибровочное преобразование грамм так что локально система выглядит как

${\displaystyle {\frac {d(g_{i}^{-1}Z_{i})}{dx_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {(-j)T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j+1}}}+{\frac {M^{(i)}}{x_{i}}}\right)(g_{i}^{-1}Z_{i})}$

где ${\displaystyle M^{(i)}}$ и ${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$ находятся диагональ матрицы. Если бы это было правильно, это было бы чрезвычайно полезно, потому что тогда (по крайней мере, локально) мы разъединили систему на п скалярные дифференциальные уравнения, которые мы можем легко решить, чтобы найти (локально):

${\displaystyle Z_{i}=g_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

Однако это не работает - потому что степенной ряд, который мы решили временно для грамм не будет вообще сходиться.

Джимбо, Мива и Уэно пришли к великому пониманию того, что, тем не менее, этот подход обеспечивает канонические решения вблизи сингулярностей и, следовательно, может быть с пользой использован для определения расширенных данных монодромии. Это из-за теоремы Джордж Биркофф который утверждает, что для такого формального ряда существует единственный сходящийся функция г_я так, что в любом достаточно большом секторе вокруг полюса г_я является асимптотический к грамм_я, и

${\displaystyle Y=G_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

является истинным решением дифференциального уравнения. Таким образом, у нас есть каноническое решение в каждом таком секторе около каждого полюса. Расширенные данные монодромии состоят из

• данные из представления монодромии как для фуксова случая;
• Матрицы Стокса связывающие канонические решения между соседними секторами на одном полюсе;
• матрицы связи, которые соединяют канонические решения между секторами на разных полюсах.

Общие изомонодромные деформации

Как и раньше, мы теперь рассматриваем семейства систем линейных дифференциальных уравнений, все с одной и той же структурой особенностей. Поэтому мы разрешаем матрицы ${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$ зависеть от параметров. Позволим себе варьировать положение полюсов λ_я, но теперь дополнительно меняем элементы диагональных матриц ${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$ которые появляются в каноническом решении около каждого полюса.

Джимбо, Мива и Уэно доказали, что если мы определим одну форму на «пространстве параметров деформации» с помощью

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}\left(Ad\lambda _{i}-g_{i}D\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}T_{j}^{(i)}\right)g_{i}^{-1}\right)}$

(куда D обозначает внешняя дифференциация по отношению к компонентам ${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$ Только)

то деформации мероморфной линейной системы, заданные А изомонодромны тогда и только тогда, когда

${\displaystyle dA+[\Omega ,A]+{\frac {d\Omega }{dx}}=0.}$

Эти общие уравнения изомонодромии. Как и прежде, эти уравнения можно интерпретировать как плоскостность естественной связи на пространстве параметров деформации.

Характеристики

Уравнения изомонодромии обладают рядом свойств, которые оправдывают их статус нелинейных. специальные функции.

Пенлеве недвижимость

Это, пожалуй, самое важное свойство решения уравнений изомонодромной деформации. Это означает, что все существенные особенности решений фиксированы, хотя положения полюсов могут перемещаться. Это было доказано Бернар Мальгранж для случая фуксовых систем и по Тецудзи Мива в общих настройках.

Действительно, предположим, что нам дано уравнение в частных производных (или их система). Тогда «обладать редукцией к уравнению изомонодромии» более или менее эквивалент к Пенлеве недвижимость, и поэтому может использоваться в качестве теста для интегрируемость.

Трансцендентность

В общем, решения уравнений изомонодромии не могут быть выражены в терминах более простых функций, таких как решения линейных дифференциальных уравнений. Однако для конкретного (точнее, приводимого) выбора расширенных данных монодромии решения могут быть выражены в терминах таких функций (или, по крайней мере, в терминах «более простых» трансцендентов изомонодромии). Изучение того, что именно означает эта трансцендентность, в основном проводилось изобретением `` нелинейных дифференциальная теория Галуа ' к Хироши Умемура и Бернар Мальгранж.

Есть также очень специальные решения, которые алгебраический. Изучение таких алгебраических решений включает в себя изучение топология пространства параметров деформации (и, в частности, его группа классов отображения ); для случая простых полюсов это равносильно изучению действия группы кос. Для особо важного дела шестого Уравнение Пенлеве, был внесен заметный вклад Борис Дубровин и Марта Маццокко, который недавно был расширен на более крупные классы данных монодромии с помощью Филип Боальх.

Рациональные решения часто ассоциируются со специальными многочленами. Иногда, как в случае шестого уравнения Пенлеве, это хорошо известные ортогональные многочлены, но есть новые классы многочленов с чрезвычайно интересным распределением нулей и свойствами чередования. Изучение таких многочленов в основном проводилось Питер Кларксон и сотрудники.

Симплектическая структура

Уравнения изомонодромии можно переписать с помощью Гамильтониан составы. Этой точки зрения широко придерживались Кадзуо Окамото в серии статей по Уравнения Пенлеве в 1980-е гг.

Их также можно рассматривать как естественное расширение симплектической структуры Атьи – Ботта на пространствах плоские соединения на Римановы поверхности в мир мероморфной геометрии - перспектива, преследуемая Филип Боальх. Действительно, если мы зафиксируем положения полюсов, мы можем даже получить полный гиперкэлеровы многообразия; результат доказан Оливье Бикар и Филип Боальх.

Есть еще одно описание с точки зрения карты моментов до (центральные расширения) алгебры петель - точка зрения, представленная Джон Харнад и распространен на случай общей структуры особенностей формулой Ник Вудхаус. Эта последняя точка зрения тесно связана с любопытным Преобразование Лапласа между уравнениями изомонодромии с различной полюсной структурой и рангом для лежащих в основе уравнений.

Твисторная структура

Уравнения изомонодромии возникают как (общие) полные размерные редукции (обобщенных) антиавтодуальных Уравнения Янга – Миллса. Посредством Преобразование Пенроуза – Уорда поэтому их можно интерпретировать в терминах голоморфных векторных расслоений на комплексные многообразия называется твисторные пространства. Это позволяет использовать мощные техники от алгебраическая геометрия в изучении свойств трансцендентов. Этот подход был реализован Найджел Хитчин, Лайонел Мейсон и Ник Вудхаус.

Связи Гаусса-Манина

Рассматривая данные, связанные с семействами римановых поверхностей, разветвленных по особенностям, мы можем рассматривать уравнения изомонодромии как неоднородные. Связи Гаусса – Манина. Это приводит к альтернативному описанию уравнений изомонодромии в терминах абелевы функции - подход, известный Фуксу и Пенлеве, но потерянный до повторного открытия Юрий Манин в 1996 г.

Асимптотика

Конкретные трансценденты можно охарактеризовать их асимптотическим поведением. Изучение такого поведения восходит к ранним дням изомонодромии, в работе Пьер Бутру и другие.

Приложения

Их универсальность как простейших по-настоящему нелинейных интегрируемых систем означает, что уравнения изомонодромии имеют чрезвычайно разнообразный диапазон приложений. Возможно, наибольшее практическое значение имеет область теория случайных матриц. Здесь статистические свойства собственные значения больших случайных матриц описываются частными трансцендентами.

Первым толчком к возрождению интереса к изомонодромии в 1970-х годах стало появление трансцендентов в корреляционные функции в Бозе-газы.

Они предоставляют производящие функции для пространства модулей двумерных топологические квантовые теории поля и тем самым полезны при изучении квантовые когомологии и Инварианты Громова – Виттена..

Уравнения изомонодромии высшего порядка недавно были использованы для объяснения механизма и свойств универсальности образования скачка для бездисперсионный предел из Уравнение Кортевега – де Фриза.

Это естественные сокращения Уравнение Эрнста и тем самым предоставить решения Уравнения поля Эйнштейна общей теории относительности; они также приводят к другим (совершенно отличным) решениям уравнений Эйнштейна в терминах тета-функции.

Они возникли в недавней работе в зеркальная симметрия - как в геометрический Ленглендс программы, и в работе над пространствами модулей условия устойчивости на производные категории.

Обобщения

Уравнения изомонодромии обобщены на мероморфные связности на общем Риманова поверхность.

Их также можно легко адаптировать к любым значениям. Группа Ли, заменяя диагональные матрицы на максимальный тор, и другие подобные модификации.

Растет область изучения дискретных версий уравнений изомонодромии.

Рекомендации

• Его, Александр Р .; Новокшенов Виктор Ю. (1986), Метод изомонодромной деформации в теории уравнений Пенлеве, Конспект лекций по математике, 1191, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-16483-8, Г-Н  0851569
• Саббах, Клод (2007), Изомонодромные деформации и многообразия Фробениуса, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-1-84800-053-7, ISBN  978-2-7598-0047-6 Г-Н1933784