Диаграмма Рэндольфа - Randolph diagram

«R-диаграмма» перенаправляется сюда. Для диаграммы H – R см. Диаграмма Герцшпрунга – Рассела.

Диаграмма Рэндольфа что представляет собой логическое утверждение ${\displaystyle P\lor Q}$ (дизъюнкция ).

А Диаграмма Рэндольфа (R-диаграмма) - простой способ визуализировать логические выражения и комбинации множеств. Диаграммы Рэндольфа были созданы математиком Джоном Ф. Рэндольфом в 1965 году, когда он преподавал в Университет Арканзаса.

Обзор

Диаграммы Рэндольфа легче всего интерпретировать, определяя каждую строку как принадлежащий или же относящийся к одно логическое утверждение или набор. Любая точка над линией указывает на истину или включение, а под линией указывает на ложность или исключение. Используя эту систему, можно представить любую комбинацию наборов или логических операторов с помощью пересекающихся линий.

Хотя Диаграммы Венна чаще используются для представления комбинаций наборов, диаграммы Рэндольфа имеют то преимущество, что могут четко представлять комбинации из более чем трех наборов. Диаграммы Венна требуют либо расширения в более высокие пространственные измерения, либо использования более сложных форм, в то время как диаграммы Рэндольфа равномерно разделяются для каждого дополнительного набора.^[1] Вот сравнение диаграммы Венна и R-диаграммы для 5 наборов или логических утверждений:

История

В своей вводной статье по этому вопросу, Перекрестное исследование исчисления высказываний и операций над множеством,^[2] Рэндольф упоминает, что первое использование крестиков и точек для представления логических взаимосвязей было введено W. S. McCulloch, нейрофизиолог и современник Рэндольфа. Рэндольф модифицировал систему Маккалока, добавив новый способ представления комбинаций и отношений более чем двух логических утверждений или наборов, а именно подразделение каждого раздела R-диаграммы новой диагональной линией для каждого нового введенного элемента. В статье Рэндольфа предполагается, что его первоначальная идея заключалась в использовании R-диаграмм для представления логических взаимосвязей, а затем эта идея была расширена и применена также к теории множеств. На протяжении всей статьи R-диаграммы используются вместе с обычными логическими и заданными двоичными символами операций.

Приложение к теории логики

Смотрите также: Математическая логика

При применении R-диаграмм в теории логики логические утверждения Каждая из p, q и r может стать строкой или несколькими строками для визуального отображения действительности каждого элемента в более крупном выражении. Обычно считается, что p представлена ​​наклонной вверх линией (/), а q представлена ​​наклонной вниз линией (). Точка на диаграмме над наклонной линией указывает на истинность этого утверждения; аналогично, точка внизу указывает на ложность. R-диаграммы для p и q показаны ниже, соответственно:

Для более чем двух операторов четыре пробела, образованные пересечением прямых p и q, должны быть разделены на несколько строк. В случае r добавляется одна наклонная линия вверх (/) в каждом из четырех пробелов. R-диаграмма для r показана ниже:

Этот метод можно расширить для любого количества значений истинности:

, так далее.

R-диаграммы в основном используются для представления логических выражений. Учитывая логическое предположение, R-диаграммы могут отображать результат всех возможных истинных / ложных вариаций каждого элемента, создавая альтернативный способ представления таблица истинности.

Таблица правды

#	п	q	р
1	Т	Т	Т
2	Т	Т	F
3	Т	F	Т
4	Т	F	F
5	F	Т	Т
6	F	Т	F
7	F	F	Т
8	F	F	F

Все основные логические операции, или связки, можно выразить с помощью R-диаграмм как более удобочитаемой альтернативы таблице истинности, как показано в таблице ниже:

Основные логические операции

Имя	Символы	R-диаграмма	Таблица правды
Отрицание (нет)	¬ , ~		п ¬p Т F F Т
Соединение (и)	& , ∧		п q p ∧ q Т Т Т Т F F F Т F F F F
Дизъюнкция (или)	∨		п q p ∨ q Т Т Т Т F Т F Т Т F F F
Материальное значение (если ... то)	${\displaystyle \rightarrow }$ , ${\displaystyle \Rightarrow }$, ${\displaystyle \supset }$		п q п ${\displaystyle \rightarrow }$ q Т Т Т Т F F F Т Т F F Т
Бикондиционный (если и только если, xnor)	${\displaystyle \leftrightarrow }$, ${\displaystyle \equiv }$, ${\displaystyle =}$		п q п ${\displaystyle \leftrightarrow }$ q Т Т Т Т F F F Т F F F Т

Упрощение логических выражений

R-диаграммы можно использовать для упрощения сложных логических выражений, используя пошаговый процесс. Используя порядок операций, логические операторы применяются к R-диаграммам в правильной последовательности. Наконец, результатом является R-диаграмма, которую можно преобразовать обратно в более простое логическое выражение.

Например, возьмите следующее выражение:

${\displaystyle (Q\leftrightarrow P)\lor (\lnot P\land Q)\,}$

Его можно упростить с помощью R-диаграмм следующим образом:

${\displaystyle (}$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle )\lor (}$${\displaystyle \land }$${\displaystyle )}$

${\displaystyle \lor }$

что равно:

${\displaystyle P\rightarrow Q.\,}$

Доказательство логических аргументов

Точно так же R-диаграммы могут использоваться для доказательства или опровержения логических аргументов. Возьмем, например, хорошо известный аргумент modus ponens, также известное как устранение импликации:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,P}{\therefore Q}}}$

Это можно преобразовать в тавтологический логическое выражение,

${\displaystyle ((P\to Q)\land P)\to Q}$

которые затем можно упростить с помощью R-диаграмм:

${\displaystyle ((}$${\displaystyle \to }$${\displaystyle )\land }$${\displaystyle )\to }$

${\displaystyle (}$${\displaystyle \land }$${\displaystyle )\to }$

${\displaystyle \to }$

Результатом является R-диаграмма, в которой каждое пространство имеет точку. Это означает, что аргумент - тавтология; это верно во всех случаях. R-диаграмма, в которой нет места без точки, называется противоречие, утверждение, которое никогда не бывает правдой.

Приложение к теории множеств

Смотрите также: Теория множеств

R-диаграммы также используются в теория множеств, как альтернатива диаграмм Венна. В теории множеств каждая строка представляет собой набор, а не логическое утверждение; A заменяет p, а B заменяет q. При использовании для наборов точка над линией представляет включение, а точка ниже - исключение. Как и в логике, базовые операции множества можно представить визуально с помощью R-диаграмм:

Основные операции набора

Имя	Обозначение	R-диаграмма
Союз	${\displaystyle A\cup B}$
Пересечение	${\displaystyle A\cap B}$
Абсолютное дополнение	${\displaystyle A^{c}}$
Относительное дополнение (установленная разница)	${\displaystyle A\smallsetminus B}$
Симметричная разница	${\displaystyle A\Delta B}$

R-диаграммы иллюстрируют эквивалентность теоретических и логических концепций множеств: пересечение в теории множеств эквивалентно конъюнкции в логике, а объединение теории множеств эквивалентно логической дизъюнкции.

Рекомендации

1. Барксдейл-младший, Джеймс Б. (октябрь 1970 г.). «Множества и диаграммы Рэндольфа» (PDF). Доклад, представленный на региональном съезде Луисвилля Национального совета учителей математики. Луисвилл, Кентукки: Университет Западного Кентукки. Получено 2012-03-15.
2. Рэндольф, Джон Ф. (февраль 1965 г.). «Перекрестное исследование исчисления высказываний и операций над множеством». Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 72 (2): 117–127. Дои:10.1080/00029890.1965.11970498. JSTOR  2310972.