Объединение теорий в математике - Unifying theories in mathematics

В истории было несколько попыток достичь единая теория математики. Некоторые из величайших математики выразили мнение, что весь предмет должен быть уложен в одну теорию.

Историческая перспектива

Процесс объединения можно рассматривать как помощь в определении того, что составляет математику как дисциплину.

Например, механика и математический анализ обычно объединялись в один предмет в течение 18 века, объединенные дифференциальное уравнение концепция; пока алгебра и геометрия считались в значительной степени разными. Теперь мы рассматриваем анализ, алгебру и геометрию, но не механику, как части математики, потому что они в первую очередь дедуктивны. формальные науки, а механика любит физика должен исходить из наблюдения. Нет значительной потери контента, с аналитическая механика в старом смысле, выраженном в терминах симплектическая топология, основанный на более новой теории коллекторы.

Математические теории

Период, термин теория неформально используется в математике для обозначения самосогласованного тела определения, аксиомы, теоремы, примеры и так далее. (Примеры включают теория групп, Теория Галуа, теория управления, и K-теория.) В частности, нет коннотации гипотетический. Таким образом, термин объединяющая теория больше похоже на социологический термин, используемый для изучения действий математиков. Это не может предполагать ничего предположительного, что было бы аналогично неоткрытой научной связи. В математике действительно нет ничего общего с такими понятиями, как Прото-мир в лингвистика или Гипотеза Гайи.

Тем не менее в истории математики было несколько эпизодов, в которых наборы отдельных теорем оказывались частными случаями единого объединяющего результата или в которых единая точка зрения о том, как действовать при разработке области математики, могла плодотворно применяться к несколько ветвей темы.

Геометрические теории

Хорошо известным примером была разработка аналитическая геометрия, который в руках математиков, таких как Декарт и Ферма показал, что многие теоремы о кривые и поверхности специальных типов можно было бы сформулировать на алгебраическом языке (в то время новым), каждый из которых затем можно было бы доказать, используя те же методы. То есть теоремы были очень похожи алгебраически, даже если геометрические интерпретации были разными.

В 1859 г. Артур Кэли инициировал объединение метрическая геометрия за счет использования Метрики Кэли-Клейна. Потом Феликс Кляйн использовали такие показатели, чтобы обеспечить основу для неевклидова геометрия.

В 1872 году Феликс Клейн отметил, что многие разделы геометрии, которые были развиты в 19 веке (аффинная геометрия, проективная геометрия, гиперболическая геометрия и т. д.) можно рассматривать одинаково. Он сделал это, учитывая группы при котором геометрические объекты были инвариантными. Это объединение геометрии получило название Программа Эрланген.

Через аксиоматизацию

В начале 20-го века многие разделы математики начали рассматриваться путем выделения полезных наборов аксиом и последующего изучения их следствий. Так, например, исследования "гиперкомплексные числа ", как считает Общество Кватерниона, были поставлены на аксиоматическую основу как ветви теория колец (в данном случае с конкретным значением ассоциативные алгебры над полем комплексных чисел). В этом контексте кольцо частного концепция - один из самых мощных объединителей.

Это было общее изменение методологии, поскольку потребности приложений до того времени означали, что большая часть математики преподавалась с помощью алгоритмы (или процессы, близкие к алгоритмическим). Арифметика до сих пор так учат. Это была параллель с развитием математическая логика как отдельный раздел математики. К 1930-м годам символическая логика сама была адекватно включена в математику.

В большинстве случаев изучаемые математические объекты могут быть определены (хотя и неканонически) как множества или, более неформально, как множества с дополнительной структурой, такой как операция сложения. Теория множеств теперь служит лингва франка для развития математических тем.

Бурбаки

Причина аксиоматического развития была всерьез взята на вооружение. Группа Бурбаки математиков. Считалось, что такая позиция, доведенная до крайности, требовала развития математики во всей ее общности. Один начал с самых общих аксиом, а затем специализировался, например, путем введения модули над коммутативные кольца, и ограничиваясь векторные пространства над действительные числа только в случае крайней необходимости. История продолжалась таким образом, даже когда специализация представляла основной интерес теоремы.

В частности, эта перспектива не придавала большого значения областям математики (таким как комбинаторика ), объекты исследования которых очень часто являются особенными или обнаруживаются в ситуациях, которые лишь поверхностно могут быть связаны с более аксиоматическими ветвями предмета.

Теория категорий как соперник

Теория категорий представляет собой объединяющую математическую теорию, первоначально разработанную во второй половине 20 века. В этом отношении она является альтернативой и дополнением теории множеств. Ключевой темой с «категориальной» точки зрения является то, что математика требует не только определенных видов объектов (Группы Ли, Банаховы пространства и т. д.), но также и отображения между ними, сохраняющие их структуру.

В частности, это проясняет, что именно означает, что математические объекты считаются одинаковый. (Например, все равносторонние треугольники одинаковый, или размер имеет значение?) Saunders Mac Lane предположил, что любая концепция с достаточной «повсеместностью» (встречающаяся в различных разделах математики) заслуживает выделения и изучения сама по себе. Теория категорий, возможно, лучше приспособлена для этой цели, чем любой другой современный подход. Недостатки использования т.н. абстрактная чушь - это некоторая мягкость и абстракция в смысле отрыва от корней конкретных проблем. Тем не менее, методы теории категорий неуклонно добиваются признания во многих областях (начиная с D-модули к категориальная логика ).

Объединение теорий

В менее широком масштабе сходство между наборами результатов в двух разных областях математики поднимает вопрос о том, существует ли объединяющая структура, которая могла бы объяснить параллели. Мы уже отмечали пример аналитической геометрии и, в более общем плане, область алгебраическая геометрия тщательно развивает связи между геометрическими объектами (алгебраические многообразия, или в более общем смысле схемы ) и алгебраические (идеалы ); Пробный результат здесь Nullstellensatz Гильберта что, грубо говоря, показывает, что между двумя типами объектов существует естественное взаимно однозначное соответствие.

Таким же образом можно рассматривать и другие теоремы. Например, основная теорема теории Галуа утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между расширениями поля и подгруппами поля Группа Галуа. В Гипотеза Таниямы – Шимуры для эллиптических кривых (теперь доказано) устанавливает взаимно однозначное соответствие между кривыми, определяемыми как модульные формы и эллиптические кривые определены в рациональное число. Область исследования, которую иногда называют Чудовищный самогон развитые связи между модульными формами и конечной простой группой, известной как Монстр, начав исключительно с неожиданного наблюдения, что в каждом из них весьма естественно возникнет довольно необычное число 196884. Другое поле, известное как Программа Langlands, аналогичным образом начинается с явно случайных сходств (в данном случае между результатами теории чисел и представлениями определенных групп) и ищет конструкции, из которых оба набора результатов были бы следствиями.

Справочный список основных объединяющих концепций

Краткий список этих теорий может включать:

Последние разработки в области модульной теории

Хорошо известный пример - Гипотеза Таниямы – Шимуры, теперь теорема модульности, который предложил, чтобы каждый эллиптическая кривая над рациональными числами можно перевести в модульная форма (таким образом, чтобы сохранить связанный L-функция ). Трудно отождествить это с изоморфизмом в строгом смысле этого слова. Известно, что некоторые кривые были обеими эллиптическими кривыми ( род 1) и модульные кривые, до того, как была сформулирована гипотеза (около 1955 г.). Удивительной частью гипотезы было распространение на факторы Якобианцы модулярных кривых рода> 1. Вероятно, не казалось правдоподобным, что существует «достаточно» таких рациональных факторов, прежде чем была высказана гипотеза; и фактически числовые свидетельства были незначительными примерно до 1970 года, когда это стали подтверждать таблицы. Случай эллиптических кривых с комплексное умножение была доказана Шимурой в 1964 году. Эта гипотеза простояла десятилетия, прежде чем была доказана в целом.

Фактически Программа Langlands (или философия) больше похожа на сеть объединяющих догадок; это действительно постулирует, что общая теория автоморфные формы регулируется L-группы представлен Роберт Лэнглендс. Его принцип функториальности по отношению к L-группе имеет очень большое объяснительное значение по отношению к известным типам подъем автоморфных форм (теперь более широко изучаемых как автоморфные представления ). Хотя эта теория в каком-то смысле тесно связана с гипотезой Таниямы-Шимуры, следует понимать, что на самом деле эта гипотеза работает в противоположном направлении. Он требует существования автоморфной формы, начиная с объекта, который (очень абстрактно) находится в категории мотивы.

Еще один важный связанный с этим момент заключается в том, что подход Ленглендса стоит особняком от всего развития, вызванного чудовищный самогон (связи между эллиптические модульные функции так как Ряд Фурье, а групповые представления из Группа монстров и другие спорадические группы ). Философия Ленглендса не предвещала и не могла включать это направление исследований.

Гипотезы об изоморфизме в K-теории

Другой случай, который пока не так хорошо разработан, но охватывает широкий спектр математики, - это предположительная основа некоторых частей K-теория. В Гипотеза Баума – Конна, ставшая давней проблемой, к ней присоединились другие участники группы, известной как гипотезы об изоморфизме в K-теории. К ним относятся Гипотеза Фаррелла – Джонса и Гипотеза Боста.