В механика сплошной среды, Модель Арруда – Бойса[1] это сверхупругий конститутивная модель используется для описания механического поведения резинка и другие полимерный вещества. Эта модель основана на статистическая механика материала с кубической представительный элемент объема содержащий восемь цепочек по диагональным направлениям. Материал предполагается несжимаемый. Модель названа в честь Эллен Арруда и Мэри Каннингем Бойс, опубликовавший его в 1993 году.[1]
В функция плотности энергии деформации для несжимаемый Модель Арруда – Бойса дается формулой[2]
![{ displaystyle W = Nk_ {B} theta { sqrt {n}} left [ beta lambda _ { text {цепочка}} - { sqrt {n}} ln left ({ cfrac { sinh beta} { beta}} right) right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef39e94e62c561743e1881cb133ea837448d664)
куда
количество звеньев цепи,
это Постоянная Больцмана,
это температура в кельвины,
количество цепей в сети сшитого полимера,

куда
- первый инвариант левого тензора деформации Коши – Грина, а
это обратное Функция Ланжевена который может быть аппроксимирован

Для малых деформаций модель Арруда – Бойса сводится к гауссовой сети на основе неогуковское твердое тело модель. Это можно показать[3] что Гент модель представляет собой простую и точную аппроксимацию модели Арруда – Бойса.
Альтернативные выражения для модели Арруда – Бойса
Альтернативная форма модели Арруда – Бойса, использующая первые пять членов обратной функции Ланжевена, следующая:[4]
![W = C_1 left [ tfrac {1} {2} (I_1-3) + tfrac {1} {20N} (I_1 ^ 2-9) + tfrac {11} {1050N ^ 2} (I_1 ^ 3 -27) + tfrac {19} {7000N ^ 3} (I_1 ^ 4-81) + tfrac {519} {673750N ^ 4} (I_1 ^ 5-243) right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2125f7e62d9a724faae733789a489b78c9cfe9d)
куда
материальная постоянная. Количество
также можно интерпретировать как меру ограничивающего растяжения сети.
Если
представляет собой отрезок, на котором сеть полимерных цепей становится заблокированной, мы можем выразить плотность энергии деформации Арруда-Бойса как
![W = C_1 left [ tfrac {1} {2} (I_1-3) + tfrac {1} {20 lambda_m ^ 2} (I_1 ^ 2-9) + tfrac {11} {1050 lambda_m ^ 4} (I_1 ^ 3-27) + tfrac {19} {7000 lambda_m ^ 6} (I_1 ^ 4-81) + tfrac {519} {673750 lambda_m ^ 8} (I_1 ^ 5-243) верно]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff58a4cfd63162b02ce61a6ff2d9ec9fbd205b30)
В качестве альтернативы мы можем выразить модель Арруда – Бойса в виде

куда
и
Если резина сжимаемый, зависимость от
можно ввести в плотность энергии деформации;
будучи градиент деформации. Существует несколько возможностей, среди которых метод Калиске – Ротерта[5] extension оказалась достаточно точной. С этим расширением функция плотности энергии деформации Арруда-Бойса может быть выражена как

куда
материальная постоянная и
. Для согласованности с линейная эластичность, мы должны иметь
куда
это объемный модуль.
Условие согласованности
Чтобы несжимаемая модель Арруда – Бойса согласовывалась с линейной упругостью, с
как модуль сдвига материала, следующее условие должно быть удовлетворено:

Из функции плотности энергии деформации Арруды – Бойса имеем

Поэтому при
,

Подставляя значения
приводит к условию согласованности

Напряжение-деформация
Напряжение Коши для несжимаемой модели Арруда – Бойса определяется выражением
![boldsymbol { sigma} = -p ~ boldsymbol { mathit {1}} +
2 ~ cfrac { partial W} { partial I_1} ~ boldsymbol {B}
= -p ~ boldsymbol { mathit {1}} + 2C_1 ~ left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i-1} ~ I_1 ^ {i-1} справа] boldsymbol {B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a3c389469fc026045d37766422646d1102044a)
Одноосное расширение
Кривые напряжение-деформация при одноосном растяжении для модели Арруда – Бойса в сравнении с различными моделями гиперупругого материала.
Для одноосного удлинения в
-направление, основные участки находятся
. От несжимаемости
. Следовательно
.Следовательно,

В левый тензор деформации Коши – Грина тогда можно выразить как

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем
![begin {align}
sigma_ {11} & = -p + 2C_1 lambda ^ 2 left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i-1} ~ I_1 ^ {i-1} right ]
sigma_ {22} & = -p + cfrac {2C_1} { lambda} left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i-1} ~ I_1 ^ {i- 1} right] = sigma_ {33} ~.
end {align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ac3dbb74bf11083fdb2a0ac8d8dd06ee6db556)
Если
, у нас есть
![p = cfrac {2C_1} { lambda} left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i-1} ~ I_1 ^ {i-1} right] ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ad1c5c872b44f7d361684b586dce991f30aadc)
Следовательно,
![sigma_ {11} = 2C_1 left ( lambda ^ 2 - cfrac {1} { lambda} right) left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i- 1} ~ I_1 ^ {i-1} right] ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c4319b65bb9600950159f3d70435705f32d0f0)
В инженерное напряжение является
. В инженерное напряжение является
![T_ {11} = sigma_ {11} / lambda =
2C_1 left ( lambda - cfrac {1} { lambda ^ 2} right) left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i-1} ~ I_1 ^ { i-1} right] ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfac3b0a1d62886788be468f825931987e357b16)
Равноосное удлинение
Для равноосного удлинения в
и
направления, основные участки находятся
. От несжимаемости
. Следовательно
.Следовательно,

В левый тензор деформации Коши – Грина тогда можно выразить как

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем
![sigma_ {11} = 2C_1 left ( lambda ^ 2 - cfrac {1} { lambda ^ 4} right) left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ { i-1} ~ I_1 ^ {i-1} right] = sigma_ {22} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59dffd2edd4b477b7670b70e4a78afa491a088f4)
В инженерное напряжение является
. В инженерное напряжение является
![T_ {11} = cfrac { sigma_ {11}} { lambda} =
2C_1 left ( lambda - cfrac {1} { lambda ^ 5} right) left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i-1} ~ I_1 ^ { i-1} right] = T_ {22} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83d49645584c6cf53bfcfeac65548a85814a1c2)
Планарное расширение
Испытания на плоское растяжение проводятся на тонких образцах, которые не могут деформироваться в одном направлении. Для планарного удлинения в
направления с
направление ограничено, основные участки находятся
. От несжимаемости
. Следовательно
.Следовательно,

В левый тензор деформации Коши – Грина тогда можно выразить как

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем
![sigma_ {11} = 2C_1 left ( lambda ^ 2 - cfrac {1} { lambda ^ 2} right) left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ { i-1} ~ I_1 ^ {i-1} right] ~; ~~ sigma_ {22} = 0 ~; ~~ sigma_ {33} = 2C_1 left (1 - cfrac {1} { lambda ^ 2} right) left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i-1} ~ I_1 ^ {i-1} right] ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c74598ecc266aad14a5e46f2e95c0b78a42437)
В инженерное напряжение является
. В инженерное напряжение является
![T_ {11} = cfrac { sigma_ {11}} { lambda} =
2C_1 left ( lambda - cfrac {1} { lambda ^ 3} right) left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i-1} ~ I_1 ^ { i-1} right] ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b5df0a5f6efcbdfb033f33ef33226837031e3a)
Простой сдвиг
Градиент деформации для простой сдвиг деформация имеет вид[6]

куда
являются опорными ортонормированными базисными векторами в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением

Тогда в матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши – Грина можно выразить как

Следовательно,

а напряжение Коши определяется выражением
![boldsymbol { sigma} = -p ~ boldsymbol { mathit {1}} + 2C_1 left [ sum_ {i = 1} ^ 5 i ~ alpha_i ~ beta ^ {i-1} ~ (3+ gamma ^ 2) ^ {i-1} right] ~ boldsymbol {B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09423828cffc80c66de470d08d3bd90609ad570)
Статистическая механика деформации полимеров
Модель Арруда – Бойса основана на статистической механике полимерных цепей. В этом подходе каждая макромолекула описывается как цепочка
сегменты, каждый длиной
. Если предположить, что начальную конфигурацию цепочки можно описать случайная прогулка, то начальная длина цепочки равна

Если предположить, что один конец цепочки находится в начале координат, то вероятность того, что блок размера
вокруг начала координат будет находиться другой конец цепочки,
, предполагая гауссову функция плотности вероятности, является
![p (x_1, x_2, x_3) = cfrac {b ^ 3} { pi ^ {3/2}} ~ exp [-b ^ 2 (x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2)] ~; ~~ b: = sqrt { cfrac {3} {2Nl ^ 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77b842670b13db40bcbe6aa79f2279774613b2d)
В конфигурационная энтропия одной цепи от Статистическая механика Больцмана является

куда
является константой. Полная энтропия в сети
цепи поэтому

где аффинная деформация предполагалось. Следовательно, энергия деформации деформированной сети равна

куда
это температура.
Примечания и ссылки
- ^ а б Арруда, Э.М. и Бойс, М.С., 1993, Трехмерная модель поведения резиновых эластичных материалов при большом растяжении,, J. Mech. Phys. Solids, 41 (2), pp. 389–412.
- ^ Бергстром, Дж. С. и Бойс, М. К., 2001, Деформация эластомерных сетей: связь между деформацией на молекулярном уровне и классическими моделями статистической механики упругости резины, Macromolecules, 34 (3), pp 614–626, Дои:10.1021 / ma0007942.
- ^ Хорган, К. О. и Саккоманди, Г., 2002, Молекулярно-статистическая основа конститутивной модели эластичности резины Гента, Journal of Elasticity, 68 (1), pp. 167–176.
- ^ Хиермайер, С. Дж., 2008 г., Конструкции при аварии и ударе, Springer.
- ^ Калиске М. и Ротерт Х., 1997 г. О конечноэлементной реализации резиноподобных материалов при конечных деформациях, Инженерные вычисления, 14 (2), стр. 216–232.
- ^ Огден, Р. В., 1984, Нелинейные упругие деформации, Дувр.
Смотрите также