Модель с фиксированными эффектами - Fixed effects model

В статистика, а модель с фиксированными эффектами это статистическая модель в которой модель параметры фиксированные или неслучайные величины. Это в отличие от модели со случайными эффектами и смешанные модели в которой все или некоторые параметры модели являются случайными величинами. Во многих приложениях, включая эконометрика^[1] и биостатистика^[2][3][4][5] модель с фиксированными эффектами относится к регрессионная модель в которой средние значения группы фиксированы (неслучайны), в отличие от модели случайных эффектов, в которой средние значения группы являются случайной выборкой из генеральной совокупности.^[6] Как правило, данные можно сгруппировать по нескольким наблюдаемым факторам. Групповые средние могут быть смоделированы как фиксированные или случайные эффекты для каждой группы. В модели с фиксированными эффектами среднее значение каждой группы является фиксированной величиной для конкретной группы.

В данные панели там, где для одного и того же объекта существуют продольные наблюдения, фиксированные эффекты представляют собой средства, зависящие от субъекта. В анализ панельных данных период, термин оценщик фиксированных эффектов (также известный как в оценщике) используется для обозначения оценщик для коэффициенты в регрессионной модели, включая эти фиксированные эффекты (один неизменный во времени интервал для каждого объекта).

Качественное описание

Такие модели помогают контролировать смещение пропущенной переменной из-за ненаблюдаемой неоднородности, когда эта неоднородность постоянна во времени. Эту неоднородность можно удалить из данных путем дифференцирования, например, путем вычитания среднего на уровне группы с течением времени или принятия первая разница который удалит любые инвариантные по времени компоненты модели.

Есть два распространенных предположения об индивидуальном конкретном эффекте: предположение о случайных эффектах и ​​предположение о фиксированных эффектах. В случайные эффекты Предполагается, что индивидуальные эффекты не коррелируют с независимыми переменными. Предположение о фиксированном эффекте состоит в том, что индивидуальные эффекты коррелируют с независимыми переменными. Если предположение о случайных эффектах выполняется, оценка случайных эффектов более эффективна. эффективный чем оценщик фиксированных эффектов. Однако, если это предположение не выполняется, оценка случайных эффектов не выполняется. последовательный. В Тест Дурбина – Ву – Хаусмана часто используется для различения моделей фиксированных и случайных эффектов.^[7][8]

Формальная модель и предположения

Рассмотрим модель линейных ненаблюдаемых эффектов для ${displaystyle N}$ наблюдения и ${displaystyle T}$ периоды времени:

${displaystyle y_{it}=X_{it}mathbf {eta } +alpha _{i}+u_{it}}$ для ${displaystyle t=1,dots ,T}$ и ${displaystyle i=1,dots ,N}$

Куда:

• ${displaystyle y_{it}}$ зависимая переменная, наблюдаемая для отдельных ${displaystyle i}$ вовремя ${displaystyle t}$.
• ${displaystyle X_{it}}$ это временной вариант ${displaystyle 1 imes k}$ (количество независимых переменных) вектор регрессора.
• ${displaystyle eta }$ это ${displaystyle k imes 1}$ матрица параметров.
• ${displaystyle alpha _{i}}$ - ненаблюдаемый неизменный во времени индивидуальный эффект. Например, врожденные способности отдельных лиц или исторические и институциональные факторы для стран.
• ${displaystyle u_{it}}$ это срок ошибки.

в отличие ${displaystyle X_{it}}$, ${displaystyle alpha _{i}}$ нельзя непосредственно наблюдать.

в отличие от модель случайных эффектов где ненаблюдаемый ${displaystyle alpha _{i}}$ не зависит от ${displaystyle X_{it}}$ для всех ${displaystyle t=1,...,T}$, модель фиксированных эффектов (FE) позволяет ${displaystyle alpha _{i}}$ коррелировать с матрицей регрессора ${displaystyle X_{it}}$. Строгая экзогенность относительно идиосинкразического термина ошибки ${displaystyle u_{it}}$ по-прежнему требуется.

Статистическая оценка

Оценщик фиксированных эффектов

поскольку ${displaystyle alpha _{i}}$ не наблюдается, не может быть прямо контролируемый для. Модель FE исключает ${displaystyle alpha _{i}}$ уменьшив значение переменных с помощью в пределах трансформация:

${displaystyle y_{it}-{overline {y}}_{i}=left(X_{it}-{overline {X}}_{i}ight)eta +left(alpha _{i}-{overline {alpha }}_{i}ight)+left(u_{it}-{overline {u}}_{i}ight)implies {ddot {y}}_{it}={ddot {X}}_{it}eta +{ddot {u}}_{it}}$

где ${displaystyle {overline {y}}_{i}={frac {1}{T}}sum limits _{t=1}^{T}y_{it}}$, ${displaystyle {overline {X}}_{i}={frac {1}{T}}sum limits _{t=1}^{T}X_{it}}$, и ${displaystyle {overline {u}}_{i}={frac {1}{T}}sum limits _{t=1}^{T}u_{it}}$.

поскольку ${displaystyle alpha _{i}}$ постоянно, ${displaystyle {overline {alpha _{i}}}=alpha _{i}}$ и, следовательно, эффект устраняется. Оценщик FE ${displaystyle {hat {eta }}_{FE}}$ затем получается регрессией OLS ${displaystyle {ddot {y}}}$ на ${displaystyle {ddot {X}}}$.

По крайней мере, три альтернативы в пределах трансформации существуют с вариациями.

Один из них - добавить фиктивную переменную для каждого человека. ${displaystyle i>1}$ (без первого лица из-за мультиколлинеарность ). Это численно, но не вычислительно, эквивалентно модели с фиксированным эффектом и работает только в том случае, если сумма количества серий и количества глобальных параметров меньше количества наблюдений.^[9] Подход с фиктивной переменной особенно требователен к использованию памяти компьютера и не рекомендуется для задач, размер которых превышает объем доступной ОЗУ и компиляции прикладной программы.

Вторая альтернатива - использовать метод последовательных повторений для локальных и глобальных оценок.^[10] Этот подход очень подходит для систем с низким объемом памяти, в которых он гораздо более эффективен с точки зрения вычислений, чем подход с фиктивной переменной.

Третий подход - это вложенная оценка, при которой локальная оценка для отдельных рядов программируется как часть определения модели.^[11] Этот подход является наиболее эффективным с точки зрения вычислений и памяти, но он требует хороших навыков программирования и доступа к программному коду модели; правда, его можно программировать даже в SAS.^[12][13]

Наконец, каждая из вышеперечисленных альтернатив может быть улучшена, если оценка для конкретной серии будет линейной (в рамках нелинейной модели), и в этом случае прямое линейное решение для отдельных серий может быть запрограммировано как часть определения нелинейной модели.^[14]

Оценщик первой разницы

Основная статья: Оценка первой разности

Альтернативой внутренней трансформации является первая разница преобразование, которое дает другую оценку. Для ${displaystyle t=2,dots ,T}$:

${displaystyle y_{it}-y_{i,t-1}=left(X_{it}-X_{i,t-1}ight)eta +left(alpha _{i}-alpha _{i}ight)+left(u_{it}-u_{i,t-1}ight)implies Delta y_{it}=Delta X_{it}eta +Delta u_{it}.}$

Оценщик ФД ${displaystyle {hat {eta }}_{FD}}$ затем получается регрессией OLS ${displaystyle Delta y_{it}}$ на ${displaystyle Delta X_{it}}$.

Когда ${displaystyle T=2}$, оценки первой разности и фиксированных эффектов численно эквивалентны. Для ${displaystyle T>2}$, они не. Если условия ошибки ${displaystyle u_{it}}$ находятся гомоскедастический без серийная корреляция, оценка фиксированных эффектов больше эффективный чем первая оценка разницы. Если ${displaystyle u_{it}}$ следует за случайная прогулка Однако более эффективна первая оценка разности.^[15]

Равенство фиксированных эффектов и оценок первой разности при T = 2

Для особого случая двух периодов (${displaystyle T=2}$), оценщик с фиксированными эффектами (FE) и оценщик по первой разности (FD) численно эквивалентны. Это связано с тем, что оценщик FE эффективно «удваивает набор данных», используемый в оценщике FD. Чтобы убедиться в этом, установите, что оценка фиксированных эффектов:${displaystyle {FE}_{T=2}=left[(x_{i1}-{ar {x}}_{i})(x_{i1}-{ar {x}}_{i})'+(x_{i2}-{ar {x}}_{i})(x_{i2}-{ar {x}}_{i})'ight]^{-1}left[(x_{i1}-{ar {x}}_{i})(y_{i1}-{ar {y}}_{i})+(x_{i2}-{ar {x}}_{i})(y_{i2}-{ar {y}}_{i})ight]}$

Поскольку каждый ${displaystyle (x_{i1}-{ar {x}}_{i})}$ можно переписать как ${displaystyle (x_{i1}-{dfrac {x_{i1}+x_{i2}}{2}})={dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}}$, перепишем строку как:

${displaystyle {FE}_{T=2}=left[sum _{i=1}^{N}{dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}'+{dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'ight]^{-1}left[sum _{i=1}^{N}{dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{dfrac {y_{i1}-y_{i2}}{2}}+{dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}ight]}$

${displaystyle =left[sum _{i=1}^{N}2{dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'ight]^{-1}left[sum _{i=1}^{N}2{dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}ight]}$

${displaystyle =2left[sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'ight]^{-1}left[sum _{i=1}^{N}{frac {1}{2}}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})ight]}$

${displaystyle =left[sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'ight]^{-1}sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})={FD}_{T=2}}$

Метод Чемберлена

Основная статья: Подход Чемберлена к моделям ненаблюдаемых эффектов

Гэри Чемберлен метод, являющийся обобщением внутренней оценки, заменяет ${displaystyle alpha _{i}}$ с этими линейная проекция на объясняющие переменные. Запишите линейную проекцию как:

${displaystyle alpha _{i}=lambda _{0}+X_{i1}lambda _{1}+X_{i2}lambda _{2}+dots +X_{iT}lambda _{T}+e_{i}}$

это приводит к следующему уравнению:

${displaystyle y_{it}=lambda _{0}+X_{i1}lambda _{1}+X_{i2}lambda _{2}+dots +X_{it}(lambda _{t}+mathbf {eta } )+dots +X_{iT}lambda _{T}+e_{i}+u_{it}}$

что можно оценить как оценка минимального расстояния.^[16]

Метод Хаусмана – Тейлора

Необходимо иметь более одного регрессора, зависящего от времени (${displaystyle X}$) и инвариантный во времени регрессор (${displaystyle Z}$) и хотя бы один ${displaystyle X}$ и один ${displaystyle Z}$ которые не связаны с${displaystyle alpha _{i}}$.

Разделить ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Z}$ такие переменные, что ${displaystyle {egin{array}{c}X=[{underset {TN imes K1}{X_{1it}}}vdots {underset {TN imes K2}{X_{2it}}}]=[{underset {TN imes G1}{Z_{1it}}}vdots {underset {TN imes G2}{Z_{2it}}}]end{array}}}$ где ${displaystyle X_{1}}$ и ${displaystyle Z_{1}}$ не коррелируют с ${displaystyle alpha _{i}}$. Нужно ${displaystyle K1>G2}$.

Оценка ${displaystyle gamma }$ через OLS на ${displaystyle {widehat {di}}=Z_{i}gamma +varphi _{it}}$ с помощью ${displaystyle X_{1}}$ и ${displaystyle Z_{1}}$ как инструменты дает непротиворечивую оценку.

Обобщение с входной неопределенностью

Когда есть входная неопределенность для ${displaystyle y}$ данные, ${displaystyle delta y}$, то ${displaystyle chi ^{2}}$ значение, а не сумму квадратов остатков, следует минимизировать.^[17] Этого можно добиться напрямую из правил замены:

${displaystyle {frac {y_{it}}{delta y_{it}}}=mathbf {eta } {frac {X_{it}}{delta y_{it}}}+alpha _{i}{frac {1}{delta y_{it}}}+{frac {u_{it}}{delta y_{it}}}}$,

тогда значения и стандартные отклонения для ${displaystyle mathbf {eta } }$ и ${displaystyle alpha _{i}}$ можно определить через классический обыкновенный метод наименьших квадратов анализ и ковариационная матрица.

Тестирование фиксированных эффектов (FE) и случайных эффектов (RE)

Мы можем проверить, подходит ли модель фиксированных или случайных эффектов, используя Тест Дурбина – Ву – Хаусмана.

${displaystyle H_{0}}$: ${displaystyle alpha _{i}perp X_{it},Z_{i}}$

${displaystyle H_{a}}$: ${displaystyle alpha _{i}ot perp X_{it},Z_{i}}$

Если ${displaystyle H_{0}}$ правда, оба ${displaystyle {widehat {eta }}_{RE}}$ и ${displaystyle {widehat {eta }}_{FE}}$ последовательны, но только ${displaystyle {widehat {eta }}_{RE}}$ эффективен. Если ${displaystyle H_{a}}$ правда, ${displaystyle {widehat {eta }}_{FE}}$ последовательна и ${displaystyle {widehat {eta }}_{RE}}$ не является.

${displaystyle {widehat {Q}}=}$ ${displaystyle {widehat {eta }}_{RE}-{widehat {eta }}_{FE}}$

${displaystyle {widehat {HT}}=T{widehat {Q}}^{prime }[Var({widehat {eta }}_{FE})-Var({widehat {eta }}_{RE})]^{-1}{widehat {Q}}sim chi _{K}^{2}}$ где ${displaystyle K=dim(Q)}$

Тест Хаусмана - это тест спецификации, поэтому большая статистика теста может указывать на то, что ошибки в переменных (EIV) или наша модель указана неверно. Если предположение FE верно, мы должны обнаружить, что ${displaystyle {widehat {eta }}_{LD}approx {widehat {eta }}_{FD}approx {widehat {eta }}_{FE}}$.

Простая эвристика состоит в том, что если ${displaystyle leftvert {widehat {eta }}_{LD}ightvert >leftvert {widehat {eta }}_{FE}ightvert >leftvert {widehat {eta }}_{FD}ightvert }$ может быть EIV.

Смотрите также

• Модель случайных эффектов
• Смешанная модель
• Модель динамических ненаблюдаемых эффектов

• Модель Пуассона с фиксированным эффектом

Заметки

1. Грин, W.H., 2011. Эконометрический анализ, 7-е изд., Prentice Hall
2. Диггл, Питер Дж .; Хигерти, Патрик; Лян, Кунг-Йи; Зегер, Скотт Л. (2002). Анализ продольных данных (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. С. 169–171. ISBN  0-19-852484-6.
3. Fitzmaurice, Garrett M .; Laird, Nan M .; Уэр, Джеймс Х. (2004). Прикладной лонгитюдный анализ. Хобокен: Джон Уайли и сыновья. С. 326–328. ISBN  0-471-21487-6.
4. Laird, Nan M .; Уэр, Джеймс Х. (1982). «Модели случайных эффектов для продольных данных». Биометрия. 38 (4): 963–974. JSTOR  2529876.
5. Гардинер, Джозеф С .; Ло, Чжэхуэй; Роман, Ли Энн (2009). «Фиксированные эффекты, случайные эффекты и GEE: в чем разница?». Статистика в медицине. 28: 221–239. Дои:10.1002 / sim.3478.
6. Рэмси, Ф., Шафер, Д., 2002. Статистический сыщик: курс методов анализа данных2-е изд. Duxbury Press
7. Кэмерон, А. Колин; Триведи, Правин К. (2005). Микроэконометрика: методы и приложения. Издательство Кембриджского университета. С. 717–19.
8. Нерлов, Марк (2005). Эссе в эконометрике панельных данных. Издательство Кембриджского университета. С. 36–39.
9. Гарсия, Оскар. (1983). «Модель стохастического дифференциального уравнения для высотного роста древостоев». Биометрия: 1059–1072.
10. Тейт, Дэвид; Cieszewski, Chris J .; Белла, Имре Э. (1986). «Динамика древостоя сосны лесной». Мочь. J. For. Res. 18: 1255–1260.
11. Страб, Майк; Цешевский, Крис Дж. (2006). «Свойства инвариантности базового возраста двух методов оценки параметров моделей индекса сайта». Лесная наука. 52 (2): 182–186.
12. Страб, Майк; Цешевски, Крис Дж. (2003). "Подбор параметров глобального индекса сайта, когда индекс участка или дерева рассматривается как местный мешающий параметр. В: Burkhart HA, редактор. Материалы симпозиума по статистике и информационным технологиям в лесном хозяйстве; 8–12 сентября 2002 г .; Блэксбург, Вирджиния: Политехнический институт Вирджинии Институт и государственный университет »: 97–107.
13. Cieszewski, Chris J .; Харрисон, Майк; Мартин, Стейси В. (2000). «Практические методы оценки непредвзятых параметров в саморегулирующихся моделях роста и урожайности» (PDF). Технический отчет PMRC. 2000 (7): 12.
14. Шнуте, Джон; Маккиннелл, Скип (1984). «Биологически значимый подход к анализу поверхности отклика». Мочь. J. Fish. Акват. Наука. 41: 936–953.
15. Вулдридж, Джеффри М. (2001). Эконометрический анализ поперечных и панельных данных. MIT Press. стр.279 –291. ISBN  978-0-262-23219-7.
16. Чемберлен, Гэри (1984). «Глава 22 Панельные данные». 2: 1247–1318. Дои:10.1016 / S1573-4412 (84) 02014-6. ISSN  1573-4412.
17. Рен, Бин; Донг, Руобин; Эспозито, Томас М .; Пуэйо, Лоран; Дебес, Джон Х .; Poteet, Charles A .; Шоке, Элоди; Бенисти, Мириам; Чан, Юджин; Грейди, Кэрол А .; Hines, Dean C .; Шнайдер, Гленн; Суммер, Реми (2018). «Десятилетие образов дисков MWC 758: где планеты, движущиеся по спирали?». Письма в астрофизический журнал. 857: L9. arXiv:1803.06776. Bibcode:2018ApJ ... 857L ... 9R. Дои:10.3847 / 2041-8213 / aab7f5.

использованная литература

• Кристенсен, Рональд (2002). Плоские ответы на сложные вопросы: теория линейных моделей (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-95361-2.
• Гуджарати, Damodar N .; Портер, Доун С. (2009). «Модели регрессии панельных данных». Базовая эконометрика (Пятое международное изд.). Бостон: Макгроу-Хилл. С. 591–616. ISBN  978-007-127625-2.
• Сяо, Ченг (2003). «Модели с фиксированными эффектами». Анализ панельных данных (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 95–103. ISBN  0-521-52271-4.
• Вулдридж, Джеффри М. (2013). «Оценка фиксированных эффектов». Вводная эконометрика: современный подход (Пятое международное изд.). Мейсон, Огайо: Юго-запад. С. 466–474. ISBN  978-1-111-53439-4.

внешние ссылки

• Модели с фиксированными и случайными эффектами
• Примеры всех моделей ANOVA и ANCOVA с тремя факторами обработки, включая рандомизированный блок, разделенный график, повторные измерения и латинские квадраты, а также их анализ в R