Многогранник Кеплера – Пуансо - Kepler–Poinsot polyhedron

Большой додекаэдр

Малый звездчатый додекаэдр

Большой икосаэдр

Большой звездчатый додекаэдр

В геометрия, а Многогранник Кеплера – Пуансо любой из четырех обычный звездные многогранники.^[1]

Их можно получить звездчатый регулярный выпуклый додекаэдр и икосаэдр, и отличаются от них наличием регулярных пентаграмматический лица или же фигуры вершин. Все они так или иначе могут рассматриваться как трехмерные аналоги пентаграммы.

Характеристики

Невыпуклость

Эти цифры имеют пентаграммы (пятиугольники-звезды) в виде граней или вершинных фигур. Маленький и большой звездчатый додекаэдр имеют невыпуклый правильный пентаграмма лица. В большой додекаэдр и большой икосаэдр имеют выпуклый многоугольные лица, но пентаграммы фигуры вершин.

Во всех случаях две грани могут пересекаться по линии, которая не является краем ни одной грани, так что часть каждой грани проходит через внутреннюю часть фигуры. Такие линии пересечения не являются частью многогранной структуры и иногда называются ложными ребрами. Аналогично, если три такие прямые пересекаются в точке, которая не является углом какой-либо грани, эти точки являются ложными вершинами. На изображениях ниже показаны сферы в истинных вершинах и синие стержни вдоль истинных краев.

Например, малый звездчатый додекаэдр имеет 12 пентаграмма лица с центральным пятиугольник часть скрыта внутри твердого тела. Видимые части каждого лица составляют пять равнобедренные треугольники которые касаются пяти точек вокруг пятиугольника. Мы могли бы рассматривать эти треугольники как 60 отдельных граней, чтобы получить новый неправильный многогранник, который внешне выглядит идентично. Теперь каждое ребро будет разделено на три более коротких ребра (двух разных типов), а 20 ложных вершин станут истинными, так что всего у нас будет 32 вершины (опять же двух типов). Скрытые внутренние пятиугольники больше не являются частью многогранной поверхности и могут исчезнуть. Сейчас же Формула Эйлера выполняется: 60 - 90 + 32 = 2. Однако этот многогранник уже не тот, который описывается Символ Шлефли {5/2, 5}, и поэтому не может быть твердым телом Кеплера – Пуансо, даже если он все еще выглядит как твердое тело снаружи.

Эйлерова характеристика χ

Многогранник Кеплера – Пуансо покрывает свою описанную сферу более одного раза, причем центры граней действуют как точки поворота на фигурах с пентаграммическими гранями, а вершины - на остальных. Из-за этого они не обязательно топологически эквивалентны сфере, как Платоновы тела, и в частности Соотношение Эйлера

${displaystyle chi =V-E+F=2 }$

не всегда держится. Шлефли считал, что все многогранники должны иметь χ = 2, и отверг малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр как правильные многогранники. Эта точка зрения никогда не была широко распространена.

Модифицированная форма формулы Эйлера с использованием плотность (D) из фигуры вершин (${displaystyle d_{v}}$) и лица (${displaystyle d_{f}}$) был предоставлен Артур Кэли, и выполняется как для выпуклых многогранников (где все поправочные множители равны единице), так и для многогранников Кеплера – Пуансо:

${displaystyle d_{v}V-E+d_{f}F=2D.}$

Двойственность и многоугольники Петри

Многогранники Кеплера – Пуансо существуют в двойной пары. У дуалов то же самое Многоугольник Петри, точнее, многоугольники Петри с одинаковой двумерной проекцией.

На следующих изображениях показаны два двойные соединения с тем же радиус кромки. Они также показывают, что полигоны Петри перекос На изображениях также легко увидеть две взаимосвязи, описанные в статье ниже: фиолетовые края совпадают, а зеленые грани лежат в одной плоскости.

горизонтальный край спереди	вертикальный край спереди	Многоугольник Петри
малый звездчатый додекаэдр {5/2, 5}	большой додекаэдр {5, 5/2}	шестиугольник {6}
большой икосаэдр {3, 5/2}	большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3}	декаграмма {10/3}

Соединение sD и gD с шестиугольниками Петри (sD и gD один)

Соединение gI и gsD с декаграммами Петри (gI и GSD один)

Резюме

Имя (Аббревиатура Конвея)	Рисунок	Сферический черепица	Звездчатость диаграмма	Schläfli {p, q} и Кокстер-Дынкин	Лица {п}	Края	Вершины {q}	Вершина фигура (конфиг.)	Многоугольник Петри	χ	Плотность	Симметрия	Двойной
большой додекаэдр (gD)				{5, 5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	(5^5)/2	{6}	−6	3	ячас	малый звездчатый додекаэдр
малый звездчатый додекаэдр (sD)				{5/2, 5}	12 {5/2}	30	12 {5}	(5/2)^5	{6}	−6	3	ячас	большой додекаэдр
большой икосаэдр (gI)				{3, 5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	(3^5)/2	{10/3}	2	7	ячас	большой звездчатый додекаэдр
большой звездчатый додекаэдр (sgD = gsD)				{5/2, 3}	12 {5/2}	30	20 {3}	(5/2)^3	{10/3}	2	7	ячас	большой икосаэдр

Соотношения между правильными многогранниками

Система отношений Конвея между шестью многогранниками (упорядоченными по вертикали плотность )^[2]

Операционная терминология Конвея

Джон Конвей определяет многогранники Кеплера – Пуансо как приветствия и звёздчатые выпуклых тел.
В его соглашение об именовании то малый звездчатый додекаэдр это просто звездчатый додекаэдр.

икосаэдр (I)	додекаэдр (D)
большой додекаэдр (gD)	звездчатый додекаэдр (sD)
большой икосаэдр (gI)	большой звездчатый додекаэдр (sgD = gsD)

Звездчатость превращает пятиугольные грани в пентаграммы. (В этом смысле звездчатость - уникальная операция, и ее не следует путать с более общими звездчатость описано ниже.)

Приветствие сохраняет тип лиц, сдвигая и изменяя их размер в параллельных плоскостях.

Отношения Конвея проиллюстрированы
диаграмма	Многогранники в этом разделе показаны одинаковыми средний радиус.
звездчатость	D sD gD sgD = GSD
приветствие	D и gD я и gI sD и GSD
двойственность	D и я gD и sD gI и GSD

Звездчатые и фацетные

В большой икосаэдр один из звёздчатые из икосаэдр. (Видеть Пятьдесят девять икосаэдров )
Три других - звёздчатые звёзды додекаэдр.

В большой звездчатый додекаэдр это огранка додекаэдра.
Три других являются гранями икосаэдра.

Звездчатые и фацетные
Выпуклый	икосаэдр			додекаэдр
Звёздчатые	gI (тот, с желтыми лицами)			gD	sD	GSD
Грани	gI	gD	sD	GSD (тот, с желтыми вершинами)

Если рассматривать пересечения как новые ребра и вершины, полученные фигуры не будут обычный, но их все еще можно считать звёздчатые.^{[нужны примеры ]}

(Смотрите также Список моделей многогранников Веннингера )

Общие вершины и ребра

Большой звездчатый додекаэдр имеет общие вершины с додекаэдром. Остальные три многогранника Кеплера – Пуансо имеют общие с икосаэдром.В скелеты твердых тел с общими вершинами равны топологически эквивалент.

икосаэдр	большой додекаэдр	большой икосаэдр	малый звездчатый додекаэдр	додекаэдр	большой звездчатый додекаэдр
делить вершины и ребра		делить вершины и ребра		разделять вершины, форма скелетов додекаэдрический граф
разделяют вершины, образуют скелеты икосаэдрический график

Звездчатые додекаэдры

Корпус и ядро

В маленький и здорово звездчатый додекаэдр можно рассматривать как обычный и большой додекаэдр их края и грани вытянуты до пересечения.
Грани пятиугольника этих ядер - невидимые части граней пентаграммы звездных многогранников.
Для малого звездчатого додекаэдра корпус ${displaystyle varphi }$ раз больше, чем ядро, и к лучшему это ${displaystyle varphi +1=varphi ^{2}}$ раз больше.(Видеть Золотое сечение )
(The средний радиус это обычная мера для сравнения размеров разных многогранников.)

Корпус и ядро ​​звездчатого додекаэдра
Корпус	Звездный многогранник	Основной	${displaystyle {frac { ext{hull midradius}}{ ext{core midradius}}}}$	${displaystyle {frac { ext{core midradius}}{ ext{hull midradius}}}}$
			${displaystyle {frac {{sqrt {5}}+1}{2}}=1.61803...}$	${displaystyle {frac {{sqrt {5}}-1}{2}}=0.61803...}$
			${displaystyle {frac {3+{sqrt {5}}}{2}}=2.61803...}$	${displaystyle {frac {3-{sqrt {5}}}{2}}=0.38196...}$
Платонические корпуса на этих изображениях имеют одинаковые средний радиус. Это означает, что пентаграммы имеют одинаковый размер и ядра имеют одинаковую длину ребер. (Сравните 5-кратные орфографические проекции ниже.)

Аугментации

Традиционно два звездных многогранника определялись как дополнения (или же кумуляции),т.е. как додекаэдр и икосаэдр с пирамидами, добавленными к их граням.

Кеплер называет маленькую звездочку расширенный додекаэдр (затем прозвище Ежик).^[3]

По его мнению, большая звездчатая форма связана с икосаэдром, а малая - с додекаэдром.^[4]

Эти наивный определения все еще используются. MathWorld утверждает, что два звездных многогранника могут быть построены путем добавления пирамид к граням Платоновых тел.^[5][6]

Это просто помощь для визуализации формы этих тел, а не утверждение, что пересечения ребер (ложные вершины) являются вершинами.Если бы это было так, то два звездных многогранника были бы топологически эквивалентно пентакид додекаэдр и триакис икосаэдр.

Звездчатые додекаэдры как дополнения
Основной	Звездный многогранник	Каталонский твердый

Симметрия

Все многогранники Кеплера – Пуансо имеют полные икосаэдрическая симметрия, как и их выпуклые оболочки.

В большой икосаэдр и его двойной напоминают икосаэдр и его двойник тем, что у них есть грани и вершины на осях симметрии 3-го (желтый) и 5-го (красный) порядка.
в большой додекаэдр и его двойной все грани и вершины находятся на осях 5-кратной симметрии (поэтому на этих изображениях нет желтых элементов).

В следующей таблице показаны твердые тела в парах двойных. В верхнем ряду они показаны с пиритоэдрическая симметрия, в нижнем ряду с икосаэдрической симметрией (к которой относятся указанные цвета).

В таблице ниже показаны орфографические проекции от осей 5-кратной (красная), 3-кратной (желтый) и 2-кратной (синяя) симметрии.

{3, 5} (я ) и {5, 3} (D )	{5, 5/2} (gD ) и {5/2, 5} (sD )	{3, 5/2} (gI ) и {5/2, 3} (GSD )
(анимации )	(анимации )	(анимации )
(анимации )	(анимации )	(анимации )

орфографические проекции
Платонические корпуса на этих изображениях имеют одинаковые средний радиус, поэтому все 5-кратные проекции ниже находятся в десятиугольник такого же размера.(Сравнивать проекция соединения.)Отсюда следует, что sD, GSD и gI имеют одинаковую длину ребра, а именно длину стороны пентаграммы в окружающем десятиугольнике.

История

Большинство, если не все, многогранники Кеплера-Пуансо были известны в той или иной форме до Кеплера. Небольшой звездчатый додекаэдр появляется в мраморной тарсии (инкрустированной панели) на полу Базилика Святого Марка, Венеция, Италия. Он датируется 15 веком и иногда приписывается Паоло Уччелло.^[7]

В его Perspectiva corporum regularium (Перспективы обычных твердых тел), книга гравюр на дереве, изданная в 1568 г., Венцель Ямнитцер изображает большой звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр (оба показаны ниже). Также есть усеченный версия малый звездчатый додекаэдр.^[8] Из общей структуры книги ясно, что он считал правильными только пять Платоновых тел.

Малый и большой звездчатые додекаэдры, иногда называемые Многогранники Кеплера, были впервые признаны регулярными Иоганн Кеплер около 1619 г.^[9] Он получил их звездчатый правильный выпуклый додекаэдр, впервые рассматривая его как поверхность, а не как твердое тело. Он заметил, что, растягивая края или грани выпуклого додекаэдра до тех пор, пока они снова не встретятся, он может получить пятиугольники звезды. Кроме того, он признал, что эти звездные пятиугольники также являются правильными. Таким образом он построил два звездчатых додекаэдра. У каждого из них центральная выпуклая область каждой грани «спрятана» внутри, и видны только треугольные руки. Последним шагом Кеплера было признание того, что эти многогранники подходят под определение регулярности, хотя они и не были выпуклый, как традиционный Платоновы тела мы.

В 1809 г. Луи Пуансо заново открыл фигуры Кеплера, соединив звездные пятиугольники вокруг каждой вершины. Он также собрал выпуклые многоугольники вокруг звездных вершин, чтобы обнаружить еще две правильные звезды, большой икосаэдр и большой додекаэдр. Некоторые называют этих двоих Многогранники Пуансо. Пуансо не знал, открыл ли он все правильные звездные многогранники.

Три года спустя, Огюстен Коши доказал, что список завершен звездчатый то Платоновы тела, а почти полвека спустя, в 1858 г., Бертран предоставил более элегантное доказательство огранка их.

В следующем году, Артур Кэли дал многогранникам Кеплера – Пуансо названия, под которыми они сегодня широко известны.

Сто лет спустя Джон Конвей разработал систематическая терминология для звездчатых до четырех измерений. В рамках этой схемы малый звездчатый додекаэдр это просто звездчатый додекаэдр.

Этаж мозаика в Базилика Святого Марка, Венеция иногда приписывают Паоло Уччелло

Большой додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр в Perspectiva Corporum Regularium к Венцель Ямнитцер (1568)

Звездчатые додекаэдры, Harmonices Mundi к Иоганн Кеплер (1619)

Картонная модель из Тюбингенский университет (около 1860 г.)

Правильные звездные многогранники в искусстве и культуре

Александра Звезда

А рассечение большого додекаэдра был использован для головоломки 1980-х годов Александра Звезда.Первые правильные звездные многогранники появляются в искусстве эпохи Возрождения. Небольшой звездчатый додекаэдр изображен в мраморной тарсии на полу базилики Сан-Марко в Венеции, Италия, датируемой ок. 1430 г. и иногда приписывается Пауло Учелло.

В ХХ веке, художник М. К. Эшер интерес к геометрическим формам часто приводил к созданию работ, основанных на правильных телах или включающих их; Гравитация основан на небольшом звездчатом додекаэдре.

Норвежский художник Вебьёрн Сэндс скульптура Звезда Кеплера отображается рядом Аэропорт Осло, Гардермуэн. Ширина звезды составляет 14 метров, и она состоит из икосаэдр и додекаэдр внутри большого звездчатого додекаэдра.

Смотрите также

• Правильный многогранник
• Правильный многогранник
• Список правильных многогранников
• Равномерный многогранник
• Равномерный звездный многогранник
• Полиэдрическое соединение
• Правильный звездный 4-многогранник - десять обычных звезд 4-многогранники, 4-мерные аналоги многогранников Кеплера – Пуансо

Рекомендации

Примечания

1. Кокстер, Звездные многогранники и функция Шлефли f (α, β, γ) п. 121 1. Многогранники Кеплера – Пуансо.
2. Conway et. al. (2008), p.405 Рисунок 26.1 Взаимосвязи между трехмерными звездными многогранниками
3. "расширенный додекаэдр, которому я дал имя Эхинус"(Harmonices Mundi, Книга V, Глава III - стр. 407 в переводе Э. Дж. Айтона)
4. «Эти фигуры настолько тесно связаны одна с додекаэдром, а другая с икосаэдром, что последние две фигуры, особенно додекаэдр, кажутся каким-то образом усеченными или искалеченными по сравнению с фигурами с шипами» (Harmonices Mundi, Книга II, Предложение XXVI - стр. 117 в переводе Э. Дж. Айтона)
5. «Маленький звездчатый додекаэдр может быть построен путем кумуляции додекаэдра, то есть путем построения двенадцати пятиугольных пирамид и прикрепления их к граням исходного додекаэдра».Вайсштейн, Эрик В. «Малый звездчатый додекаэдр». MathWorld. Получено 2018-09-21.
6. «Другой способ построить большой звездчатый додекаэдр путем кумуляции - это сделать 20 треугольных пирамид [...] и прикрепить их к сторонам икосаэдра».Вайсштейн, Эрик В. «Большой звездчатый додекаэдр». MathWorld. Получено 2018-09-21.
7. Кокстер, Х. С. М. (2013). «Правильные и полуправильные многогранники». В Сенешаль, Марджори (ред.). Формирование пространства: изучение многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении (2-е изд.). Springer. С. 41–52. См., В частности, стр. 42.
8. Файл: Perspectiva Corporum Regularium 27e.jpg
9. H.S.M. Кокстер, П. Du Val, H.T. Флэзер и Дж. Ф. Петри; Пятьдесят девять икосаэдров, 3-е издание, Tarquin, 1999. с.11.

Библиография

• Дж. Бертран, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), стр. 79–82, 117.
• Огюстен-Луи Коши, Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68–86, 1813.
• Артур Кэли, О четырех новых правильных телах Пуансо. Фил. Mag. 17, pp. 123–127 и 209, 1859.
• Джон Х. Конвей, Хайди Берджель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрия вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 24, Правильные звездные многогранники, стр. 404–408)
• Калейдоскопы: избранные произведения Х. С. М. Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайса, публикации Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 1) H.S.M. Кокстер, Девять правильных тел [Proc. Может. Математика. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
  • (Документ 10) Х.С.М. Кокстер, Звездные многогранники и функция Шлафли f (α, β, γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Теони Папас, (Тела Кеплера – Пуансо) Радость математики. Сан-Карлос, Калифорния: Wide World Publ./Tetra, p. 113, 1989.
• Луи Пуансо, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, стр. 16–48, 1810.
• Лакатош, Имре; Доказательства и опровержения, Cambridge University Press (1976) - обсуждение доказательства эйлеровой характеристики
• Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-54325-8.С. 39–41.
• Джон Х. Конвей, Хайди Берджель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 26. с. 404: Правильные звездные многогранники размерности 3)
• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход. Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN  0-520-03056-7. Глава 8: Многогранники Кеплера Пуазо

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Твердое тело Кеплера – Пуансо». MathWorld.
• Бумажные модели многогранников Кеплера – Пуансо.
• Свободные бумажные модели (сети) многогранников Кеплера – Пуансо
• Равномерные многогранники
• Тела Кеплера-Пуансо в визуальных многогранниках
• VRML-модели многогранников Кеплера – Пуансо.
• Звездчатость и огранка - краткая история
• Стелла: многогранник-навигатор: Программное обеспечение, используемое для создания многих изображений на этой странице.