Матрицы Паули - Pauli matrices

Вольфганг Паули (1900–1958), ок. 1924 г. Паули получил Нобелевская премия по физике в 1945 г. выдвинут Альберт Эйнштейн, для Принцип исключения Паули.

В математическая физика и математика, то Матрицы Паули набор из трех 2 × 2 сложный матрицы которые Эрмитский и унитарный.^[1] Обычно обозначается Греческий письмо сигма (σ), иногда их обозначают тау (τ) при использовании в сочетании с изоспин симметрии. Они есть

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{1}=sigma _{x}&={egin{pmatrix}0&11&0end{pmatrix}}sigma _{2}=sigma _{y}&={egin{pmatrix}0&-ii&0end{pmatrix}}sigma _{3}=sigma _{z}&={egin{pmatrix}1&0�&-1end{pmatrix}},.end{aligned}}}$

Эти матрицы названы в честь физика Вольфганг Паули. В квантовая механика, они встречаются в Уравнение Паули который учитывает взаимодействие вращение частицы с внешним электромагнитное поле.

Каждая матрица Паули Эрмитский, и вместе с единичной матрицей я (иногда рассматривается как нулевая матрица Паули σ₀) матрицы Паули образуют основа на самом деле векторное пространство из 2 × 2 Эрмитовы матрицы. Это означает, что любой 2 × 2 Эрмитова матрица может быть записан уникальным способом как линейная комбинация матриц Паули, где все коэффициенты являются действительными числами.

Эрмитовы операторы представляют наблюдаемые в квантовой механике, поэтому матрицы Паули охватывают пространство наблюдаемых 2-мерный комплекс Гильбертово пространство. В контексте работы Паули σ_k представляет собой наблюдаемую, соответствующую спину вдоль kось координат в трехмерном Евклидово пространство ℝ³.

Матрицы Паули (после умножения на я сделать их антиэрмитский ) также порождают преобразования в смысле Алгебры Ли: матрицы я₁, я₂, я₃ составляют основу действительной алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {su}}(2)}$, который потенцирует в особую унитарную группу SU (2).^{[nb 1]} В алгебра генерируется тремя матрицами σ₁, σ₂, σ₃ является изоморфный к Алгебра Клиффорда из ℝ³ , и (ассоциативная с единицей) алгебра, порожденная я₁, я₂, я₃ изоморфен кватернионы.

Алгебраические свойства

Все три матрицы Паули можно сжать в одно выражение:

${displaystyle sigma _{a}={egin{pmatrix}delta _{a3}&delta _{a1}-idelta _{a2}delta _{a1}+idelta _{a2}&-delta _{a3}end{pmatrix}}}$

куда я = √−1 это мнимая единица, и δ_ab это Дельта Кронекера, что равно +1, если а = б и 0 в противном случае. Это выражение полезно для "выбора" любой из матриц численно путем подстановки значений а = 1, 2, 3, что, в свою очередь, полезно, когда любая из матриц (но не конкретная) должна использоваться в алгебраических манипуляциях.

Матрицы инволютивный:

${displaystyle sigma _{1}^{2}=sigma _{2}^{2}=sigma _{3}^{2}=-isigma _{1}sigma _{2}sigma _{3}={egin{pmatrix}1&0�&1end{pmatrix}}=I}$

куда я это единичная матрица.

В детерминанты и следы матриц Паули:

${displaystyle {egin{aligned}det sigma _{i}&=-1,operatorname {tr} sigma _{i}&=0.end{aligned}}}$

Из чего мы можем сделать вывод, что собственные значения каждого σ_я находятся ±1.

С учетом единичной матрицы я (иногда обозначается σ₀) матрицы Паули образуют ортогональный базис (в смысле Гильберта-Шмидта ) реальных Гильбертово пространство из 2 × 2 комплексные эрмитовы матрицы, ${displaystyle {mathcal {H}}_{2}(mathbb {C} )}$, а комплексное гильбертово пространство всех 2 × 2 матрицы, ${displaystyle {mathcal {M}}_{2,2}(mathbb {C} )}$.

Собственные векторы и собственные значения

Каждый из (Эрмитский ) Матрицы Паули имеют две собственные значения, +1 и −1. Используя соглашение, согласно которому перед нормализацией, 1 помещается в верхнюю и нижнюю позиции волновых функций + и - соответственно, соответствующие нормализованный собственные векторы находятся:

${displaystyle {egin{aligned}psi _{x+}&={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}11end{pmatrix}},&psi _{x-}&={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1-1end{pmatrix}},psi _{y+}&={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1iend{pmatrix}},&psi _{y-}&={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1-iend{pmatrix}},psi _{z+}&={egin{pmatrix}1�end{pmatrix}},&psi _{z-}&={egin{pmatrix}01end{pmatrix}}.end{aligned}}}$

Преимущество использования этого соглашения состоит в том, что волновые функции + и - могут быть связаны друг с другом, используя сами матрицы Паули, посредством ${displaystyle {{psi }_{x+}}=i{{sigma }_{y}}{{psi }_{x-}}}$, ${displaystyle {{psi }_{y+}}={{sigma }_{z}}{{psi }_{y-}}}$ и ${displaystyle {{psi }_{z+}}={{sigma }_{x}}{{psi }_{z-}}}$.

Вектор Паули

Вектор Паули определяется как^{[nb 2]}

${displaystyle {vec {sigma }}=sigma _{1}{hat {x}}+sigma _{2}{hat {y}}+sigma _{3}{hat {z}}}$

и обеспечивает механизм отображения от векторного базиса к матричному базису Паули^[2] следующее,

${displaystyle {egin{aligned}{vec {a}}cdot {vec {sigma }}&=left(a_{i}{hat {x}}_{i}ight)cdot left(sigma _{j}{hat {x}}_{j}ight)=a_{i}sigma _{j}{hat {x}}_{i}cdot {hat {x}}_{j}&=a_{i}sigma _{j}delta _{ij}=a_{i}sigma _{i}={egin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}a_{1}+ia_{2}&-a_{3}end{pmatrix}}end{aligned}}}$

с использованием соглашение о суммировании. Дальше,

${displaystyle det {vec {a}}cdot {vec {sigma }}=-{vec {a}}cdot {vec {a}}=-left|{vec {a}}ight|^{2},}$

его собственные значения ${displaystyle pm |{vec {a}}|}$, и более того (см. полноту ниже)

${displaystyle {frac {1}{2}}operatorname {tr} left(left({vec {a}}cdot {vec {sigma }}ight){vec {sigma }}ight)={vec {a}}~.}$

Его нормированные собственные векторы:

${displaystyle psi _{+}={frac {1}{sqrt {2|{vec {a}}|(a_{3}+|{vec {a}}|)}}}{egin{pmatrix}a_{3}+|{vec {a}}|a_{1}+ia_{2}end{pmatrix}};qquad psi _{-}={frac {1}{sqrt {2|{vec {a}}|(a_{3}+|{vec {a}}|)}}}{egin{pmatrix}ia_{2}-a_{1}a_{3}+|{vec {a}}|end{pmatrix}}.}$

Коммутационные отношения

Матрицы Паули подчиняются следующему коммутация связи:

${displaystyle [sigma _{a},sigma _{b}]=2ivarepsilon _{abc},sigma _{c},,}$

и антикоммутация связи:

${displaystyle {sigma _{a},sigma _{b}}=2delta _{ab},I.}$

где структурная постоянная ε_abc это Символ Леви-Чивита, Используются обозначения суммирования Эйнштейна, δ_ab это Дельта Кронекера, и я это 2 × 2 единичная матрица.

Например,

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{commutators}}&&{ ext{anticommutators}}&,left[sigma _{1},sigma _{2}ight]&=2isigma _{3},&left{sigma _{1},sigma _{1}ight}&=2I,left[sigma _{2},sigma _{3}ight]&=2isigma _{1},&left{sigma _{1},sigma _{2}ight}&=0,left[sigma _{3},sigma _{1}ight]&=2isigma _{2},&left{sigma _{1},sigma _{3}ight}&=0,left[sigma _{1},sigma _{1}ight]&=0,&left{sigma _{2},sigma _{2}ight}&=2I,.end{aligned}}}$

Связь с точечным и кросс-произведением

Векторы Паули элегантно отображают эти коммутационные и антикоммутационные отношения в соответствующие векторные произведения. Добавление коммутатора к антикоммутатору дает

${displaystyle {egin{aligned}left[sigma _{a},sigma _{b}ight]+{sigma _{a},sigma _{b}}&=(sigma _{a}sigma _{b}-sigma _{b}sigma _{a})+(sigma _{a}sigma _{b}+sigma _{b}sigma _{a})2ivarepsilon _{abc},sigma _{c}+2delta _{ab}I&=2sigma _{a}sigma _{b}end{aligned}}}$

так что,

${displaystyle sigma _{a}sigma _{b}=delta _{ab}I+ivarepsilon _{abc},sigma _{c}~.}$

Договор каждая часть уравнения с компонентами двух 3-векторы а_п и б_q (которые коммутируют с матрицами Паули, т. е. а_пσ_q = σ_qа_п) для каждой матрицы σ_q и компонент вектора а_п (и аналогично с б_q) и индексы перемаркировки а, б, c → п, q, р, чтобы предотвратить конфликты обозначений, дает

${displaystyle {egin{aligned}a_{p}b_{q}sigma _{p}sigma _{q}&=a_{p}b_{q}left(ivarepsilon _{pqr},sigma _{r}+delta _{pq}Iight)a_{p}sigma _{p}b_{q}sigma _{q}&=ivarepsilon _{pqr},a_{p}b_{q}sigma _{r}+a_{p}b_{q}delta _{pq}I~.end{aligned}}}$

Наконец, перевод обозначения индекса для скалярное произведение и перекрестное произведение приводит к

${displaystyle left({vec {a}}cdot {vec {sigma }}ight)left({vec {b}}cdot {vec {sigma }}ight)=left({vec {a}}cdot {vec {b}}ight),I+ileft({vec {a}} imes {vec {b}}ight)cdot {vec {sigma }}}$

(1)

Если ${displaystyle i}$ отождествляется с псевдоскалярным ${displaystyle sigma _{x}sigma _{y}sigma _{z}}$ тогда правая часть становится ${displaystyle acdot b+awedge b}$ что также является определением произведения двух векторов в геометрической алгебре.

Некоторые следы отношений

Следующие следы могут быть получены с использованием коммутационных и антикоммутационных соотношений.

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {tr} left(sigma _{a}ight)&=0operatorname {tr} left(sigma _{a}sigma _{b}ight)&=2delta _{ab}operatorname {tr} left(sigma _{a}sigma _{b}sigma _{c}ight)&=2ivarepsilon _{abc}operatorname {tr} left(sigma _{a}sigma _{b}sigma _{c}sigma _{d}ight)&=2left(delta _{ab}delta _{cd}-delta _{ac}delta _{bd}+delta _{ad}delta _{bc}ight)end{aligned}}}$

Если матрица ${displaystyle sigma _{0}=I}$ бросается в смесь, эти отношения становятся

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {tr} left(sigma _{alpha }ight)&=2delta _{0alpha }operatorname {tr} left(sigma _{alpha }sigma _{eta }ight)&=2delta _{alpha eta }operatorname {tr} left(sigma _{alpha }sigma _{eta }sigma _{gamma }ight)&=2sum _{(alpha eta gamma )}delta _{alpha eta }delta _{0gamma }-4delta _{0alpha }delta _{0eta }delta _{0gamma }+2ivarepsilon _{0alpha eta gamma }operatorname {tr} left(sigma _{alpha }sigma _{eta }sigma _{gamma }sigma _{mu }ight)&=2left(delta _{alpha eta }delta _{gamma mu }-delta _{alpha gamma }delta _{eta mu }+delta _{alpha mu }delta _{eta gamma }ight)+4left(delta _{alpha gamma }delta _{0eta }delta _{0mu }+delta _{eta mu }delta _{0alpha }delta _{0gamma }ight)-8delta _{0alpha }delta _{0eta }delta _{0gamma }delta _{0mu }+2isum _{(alpha eta gamma mu )}varepsilon _{0alpha eta gamma }delta _{0mu }end{aligned}}}$

где греческие индексы ${displaystyle alpha ,eta ,gamma }$ и ${displaystyle mu }$ принимать значения из ${displaystyle {0,x,y,z}}$ и обозначение ${displaystyle sum _{(alpha ...)}}$ используется для обозначения суммы по циклическая перестановка включенных индексов.

Экспонента вектора Паули

За

${displaystyle {vec {a}}=a{hat {n}},quad |{hat {n}}|=1,}$

у кого-то есть даже силы, ${displaystyle 2p, p=0,1,2,3,ldots }$

${displaystyle ({hat {n}}cdot {vec {sigma }})^{2p}=I}$

который может быть показан первым для ${displaystyle p=1}$ случай с использованием антикоммутационных соотношений. Для удобства корпус ${displaystyle p=0}$ считается ${displaystyle I}$ условно.

Для странных способностей, ${displaystyle 2q+1, q=0,1,2,3,ldots }$

${displaystyle left({hat {n}}cdot {vec {sigma }}ight)^{2q+1}={hat {n}}cdot {vec {sigma }},.}$

Матрица возведение в степень, и используя Ряд Тейлора для синуса и косинуса,

${displaystyle {egin{aligned}e^{ialeft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}ight)}&=sum _{k=0}^{infty }{frac {i^{k}left[aleft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}ight)ight]^{k}}{k!}}&=sum _{p=0}^{infty }{frac {(-1)^{p}(a{hat {n}}cdot {vec {sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+isum _{q=0}^{infty }{frac {(-1)^{q}(a{hat {n}}cdot {vec {sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}&=Isum _{p=0}^{infty }{frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({hat {n}}cdot {vec {sigma }})sum _{q=0}^{infty }{frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}end{aligned}}}$.

В последней строке первая сумма - это косинус, а вторая сумма - синус; Итак, наконец,

${displaystyle e^{ialeft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}ight)}=Icos {a}+i({hat {n}}cdot {vec {sigma }})sin {a}}$

(2)

который аналогичный к Формула Эйлера, распространяется на кватернионы.

Обратите внимание, что

${displaystyle det[ia({hat {n}}cdot {vec {sigma }})]=a^{2}}$,

в то время как определитель самой экспоненты просто 1, что делает его общий групповой элемент SU (2).

Более абстрактная версия формулы (2) для генерала 2 × 2 матрицу можно найти в статье о матричные экспоненты. Общая версия (2) для аналитика (при а и -а) функция обеспечивается применением Формула Сильвестра,^[3]

${displaystyle f(a({hat {n}}cdot {vec {sigma }}))=I{frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{hat {n}}cdot {vec {sigma }}{frac {f(a)-f(-a)}{2}}~.}$

Закон группового состава SU (2)

Простое применение формулы (2) обеспечивает параметризацию закона состава группы SU (2).^{[№ 3]} Можно напрямую решить для c в

${displaystyle {egin{aligned}e^{ialeft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}ight)}e^{ibleft({hat {m}}cdot {vec {sigma }}ight)}&=I(cos acos b-{hat {n}}cdot {hat {m}}sin asin b)+i({hat {n}}sin acos b+{hat {m}}sin bcos a-{hat {n}} imes {hat {m}}~sin asin b)cdot {vec {sigma }}&=Icos {c}+i({hat {k}}cdot {vec {sigma }})sin {c}&=e^{icleft({hat {k}}cdot {vec {sigma }}ight)},end{aligned}}}$

который задает типовое групповое умножение, где, очевидно,

${displaystyle cos c=cos acos b-{hat {n}}cdot {hat {m}}sin asin b~,}$

то сферический закон косинусов. Данный c, тогда,

${displaystyle {hat {k}}={frac {1}{sin c}}left({hat {n}}sin acos b+{hat {m}}sin bcos a-{hat {n}} imes {hat {m}}sin asin bight)~.}$

Следовательно, составные параметры вращения в этом групповом элементе (замкнутая форма соответствующих Расширение BCH в этом случае) просто составляют^[4]

${displaystyle e^{ic{hat {k}}cdot {vec {sigma }}}=exp left(i{frac {c}{sin c}}({hat {n}}sin acos b+{hat {m}}sin bcos a-{hat {n}} imes {hat {m}}~sin asin b)cdot {vec {sigma }}ight)~.}$

(Конечно, когда n параллельно м̂, так это k̂, и c = а + б.)

Смотрите также: Формализмы вращения в трех измерениях § Параметры Родригеса и представление Гиббса, и Спинор § Три измерения

Сопутствующее действие

Также просто вычислить сопряженное действие на вектор Паули, а именно эффективное вращение на удвоенный угол а,

${displaystyle e^{ialeft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}ight)}~{vec {sigma }}~e^{-ialeft({hat {n}}cdot {vec {sigma }}ight)}={vec {sigma }}cos(2a)+{hat {n}} imes {vec {sigma }}~sin(2a)+{hat {n}}~{hat {n}}cdot {vec {sigma }}~(1-cos(2a))~.}$

Смотрите также: Формула вращения Родригеса

Отношение полноты

Альтернативное обозначение, которое обычно используется для матриц Паули, заключается в записи векторного индекса я в верхнем индексе, а индексы матрицы в нижнем индексе, так что элемент в строке α и столбец β из я-я матрица Паули σ ^я_αβ.

В этих обозначениях отношение полноты для матриц Паули можно записать

${displaystyle {vec {sigma }}_{alpha eta }cdot {vec {sigma }}_{gamma delta }equiv sum _{i=1}^{3}sigma _{alpha eta }^{i}sigma _{gamma delta }^{i}=2delta _{alpha delta }delta _{eta gamma }-delta _{alpha eta }delta _{gamma delta }.}$

Доказательство: Тот факт, что матрицы Паули вместе с единичной матрицей я, образуют ортогональный базис для комплексного гильбертова пространства всех матриц 2 × 2 означает, что мы можем выразить любую матрицу M в качестве

${displaystyle M=cI+sum _{i}a_{i}sigma ^{i}}$

куда c комплексное число, и а - 3-компонентный комплексный вектор. Используя перечисленные выше свойства, несложно показать, что

${displaystyle operatorname {tr} ,sigma ^{i}sigma ^{j}=2delta _{ij}}$

где "tr" обозначает след, а значит,

${displaystyle {egin{aligned}c&={frac {1}{2}}operatorname {tr} ,M, a_{i}={frac {1}{2}}operatorname {tr} ,sigma ^{i}M~.[3pt] herefore ~~2M&=Ioperatorname {tr} ,M+sum _{i}sigma ^{i}operatorname {tr} ,sigma ^{i}M~,end{aligned}}}$

который можно переписать в терминах матричных индексов как

${displaystyle 2M_{alpha eta }=delta _{alpha eta }M_{gamma gamma }+sum _{i}sigma _{alpha eta }^{i}sigma _{gamma delta }^{i}M_{delta gamma }~,}$

куда подразумевается суммирование по повторяющимся индексам γ и δ. Поскольку это верно при любом выборе матрицы M, соотношение полноты следует из изложенного выше.

Как отмечалось выше, единичную матрицу 2 × 2 принято обозначать как σ₀, так σ⁰_αβ = δ_αβ. Отношение полноты можно также выразить как

${displaystyle sum _{i=0}^{3}sigma _{alpha eta }^{i}sigma _{gamma delta }^{i}=2delta _{alpha delta }delta _{eta gamma }~.}$

Тот факт, что любые комплексные эрмитовы матрицы 2 × 2 могут быть выражены через единичную матрицу и матрицы Паули, также приводит к Сфера Блоха представление 2 × 2 смешанные государства 'матрица плотности, (положительные полуопределенные матрицы 2 × 2 с единичным следом. Это можно увидеть, сначала выразив произвольную эрмитову матрицу как вещественную линейную комбинацию {σ₀, σ₁, σ₂, σ₃} как указано выше, а затем наложение положительно-полуопределенного и след 1 условия.

Для чистого состояния в полярных координатах ${displaystyle {vec {a}}={egin{pmatrix}sin heta cos phi ,&sin heta sin phi ,&cos heta end{pmatrix}}}$, идемпотентная матрица плотности

${displaystyle {frac {1}{2}}(1!!1+{vec {a}}cdot {vec {sigma }})={egin{pmatrix}cos ^{2}left({frac { heta }{2}}ight)&e^{-iphi }sin left({frac { heta }{2}}ight)cos left({frac { heta }{2}}ight)e^{iphi }sin left({frac { heta }{2}}ight)cos left({frac { heta }{2}}ight)&sin ^{2}left({frac { heta }{2}}ight)end{pmatrix}}}$

действует на собственный вектор состояния ${displaystyle {egin{pmatrix}cos left({frac { heta }{2}}ight),&e^{iphi }sin left({frac { heta }{2}}ight)end{pmatrix}}}$ с собственным значением 1, следовательно, как a оператор проекции для этого.

Связь с оператором перестановки

Позволять п_ij быть транспозиция (также известная как перестановка) между двумя спинами σ_я и σ_j живущий в тензорное произведение Космос ℂ² ⊗ ℂ²,

${displaystyle P_{ij}|sigma _{i}sigma _{j}angle =|sigma _{j}sigma _{i}angle ,.}$

Этот оператор также может быть записан более явно как Оператор спинового обмена Дирака,

${displaystyle P_{ij}={frac {1}{2}}({vec {sigma }}_{i}cdot {vec {sigma }}_{j}+1),.}$

Следовательно, его собственные значения равны^[5] 1 или -1. Таким образом, его можно использовать в качестве члена взаимодействия в гамильтониане, разделяя собственные значения энергии его симметричных и антисимметричных собственных состояний.

SU (2)

Группа SU (2) это Группа Ли из унитарный 2 × 2 матрицы с единичным определителем; это Алгебра Ли это набор всех 2 × 2 антиэрмитовы матрицы со следом 0. Прямое вычисление, как и выше, показывает, что Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {su}}_{2}}$ - трехмерная вещественная алгебра охватывал по набору {я_j}. В компактных обозначениях

${displaystyle {mathfrak {su}}(2)=operatorname {span} {isigma _{1},isigma _{2},isigma _{3}}.}$

В результате каждый я_j можно рассматривать как бесконечно малый генератор из SU (2). Элементы SU (2) являются экспонентами линейных комбинаций этих трех образующих и умножаются, как указано выше при обсуждении вектора Паули. Хотя этого достаточно для генерации SU (2), это не правильный представление вс (2), поскольку собственные значения Паули масштабируются нестандартно. Обычная нормализация λ = 1/2, так что

${displaystyle {mathfrak {su}}(2)=operatorname {span} left{{frac {isigma _{1}}{2}},{frac {isigma _{2}}{2}},{frac {isigma _{3}}{2}}ight}.}$

Поскольку SU (2) компактная группа, ее Картановское разложение тривиально.

ТАК (3)

Алгебра Ли вс(2) является изоморфный к алгебре Ли так(3), что соответствует группе Ли ТАК (3), то группа из вращения в трехмерном пространстве. Другими словами, можно сказать, что я_j являются реализацией (и, по сути, реализацией низшей размерности) бесконечно малый вращения в трехмерном пространстве. Однако, хотя вс(2) и так(3) изоморфны как алгебры Ли, SU (2) и ТАК (3) не изоморфны как группы Ли. SU (2) на самом деле двойная крышка из ТАК (3), что означает, что существует гомоморфизм групп два к одному из SU (2) к ТАК (3), видеть связь между SO (3) и SU (2).

Кватернионы

Основная статья: Спинор § Три измерения

Реальная линейная оболочка {я, я₁, я₂, я₃} изоморфна вещественной алгебре кватернионы ℍ. Изоморфизм из ℍ к этому набору дает следующая карта (обратите внимание на перевернутые знаки для матриц Паули):

${displaystyle 1mapsto I,quad mathbf {i} mapsto -sigma _{2}sigma _{3}=-isigma _{1},quad mathbf {j} mapsto -sigma _{3}sigma _{1}=-isigma _{2},quad mathbf {k} mapsto -sigma _{1}sigma _{2}=-isigma _{3}.}$

В качестве альтернативы изоморфизм может быть достигнут с помощью карты с использованием матриц Паули в обратном порядке,^[6]

${displaystyle 1mapsto I,quad mathbf {i} mapsto isigma _{3},quad mathbf {j} mapsto isigma _{2},quad mathbf {k} mapsto isigma _{1}.}$

Как набор версоры U ⊂ ℍ образует группу, изоморфную SU (2), U дает еще один способ описания SU (2). Гомоморфизм два к одному из SU (2) к ТАК (3) могут быть заданы в терминах матриц Паули в этой формулировке.

Физика

Классическая механика

Основная статья: Кватернионы и пространственное вращение

В классическая механика, Матрицы Паули полезны в контексте параметров Кэли-Клейна.^[7] Матрица п соответствующая должности ${displaystyle {vec {x}}}$ точки в пространстве определяется в терминах указанной выше векторной матрицы Паули,

${displaystyle P={vec {x}}cdot {vec {sigma }}=xsigma _{x}+ysigma _{y}+zsigma _{z}~.}$

Следовательно, матрица преобразования ${displaystyle Q_{ heta }}$ для вращений вокруг Икс-ось под углом θ можно записать в терминах матриц Паули и единичной матрицы как^[7]

${displaystyle Q_{ heta }=1!!1cos {frac { heta }{2}}+isigma _{x}sin {frac { heta }{2}}~.}$

Аналогичные выражения следуют для общих вращений вектора Паули, как описано выше.

Квантовая механика

В квантовая механика, каждая матрица Паули связана с оператор углового момента что соответствует наблюдаемый описывая вращение из отжим ½ частицы в каждом из трех пространственных направлений. Как непосредственное следствие упомянутого выше разложения Картана, я_j являются генераторами проективное представление (представление вращения) из группа вращения SO (3) действующий на нерелятивистский частицы со спином ½. В состояния частиц представлены как двухкомпонентные спиноры. Таким же образом матрицы Паули связаны с оператор изоспина.

Интересное свойство частиц со спином 1/2 заключается в том, что они должны вращаться на угол 4π чтобы вернуться к исходной конфигурации. Это происходит из-за соответствия два к одному между SU (2) и SO (3), упомянутых выше, и того факта, что, хотя каждый визуализирует вращение вверх / вниз как северный / южный полюс на 2-сфера S², они фактически представлены ортогональный векторы в двумерном комплексе Гильбертово пространство.

Для частицы со спином 1/2 оператор спина имеет вид J = час/2σ, то фундаментальное представление из SU (2). Принимая Продукция Kronecker этого представления с самим собой многократно, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть в результате операторы вращения для систем высших спинов в трех пространственных измерениях, для сколь угодно больших j, можно рассчитать с помощью этого оператор вращения и операторы лестницы. Их можно найти в Группа вращений SO (3) # Замечание по алгебре Ли. Формула-аналог вышеприведенного обобщения формулы Эйлера для матриц Паули, группового элемента в терминах спиновых матриц, понятна, но менее проста.^[8]

Также полезно в квантовая механика многочастичных систем, общая Группа Паули грамм_п определяется как состоящий из всех п-складывать тензор произведения матриц Паули.

Релятивистская квантовая механика

В релятивистская квантовая механика, спиноры в четырех измерениях представляют собой матрицы размером 4 × 1 (или 1 × 4). Следовательно, матрицы Паули или сигма-матрицы, работающие на этих спинорах, должны быть матрицами 4 × 4. Они определяются в терминах матриц Паули 2 × 2 как

${displaystyle {mathsf {Sigma }}_{i}={egin{pmatrix}{mathsf {sigma }}_{i}&0�&{mathsf {sigma }}_{i}end{pmatrix}}.}$

Из этого определения следует, что ${displaystyle {mathsf {Sigma }}_{i}}$ матрицы обладают теми же алгебраическими свойствами, что и ${displaystyle {mathsf {sigma }}_{i}}$ матрицы.

Тем не мение, релятивистский угловой момент не трёхвектор, а второй порядок четырехтензорный. Следовательно ${displaystyle {mathsf {Sigma }}_{i}}$ необходимо заменить на ${displaystyle Sigma _{mu u }}$, генератор Преобразования Лоренца на спинорах. Из-за антисимметрии углового момента ${displaystyle Sigma _{mu u }}$ также антисимметричны. Следовательно, есть только шесть независимых матриц.

Первые три - это ${displaystyle Sigma _{jk}equiv epsilon _{ijk}{mathsf {Sigma }}_{i}.}$ Остальные три, ${displaystyle -iSigma _{0i}equiv {mathsf {alpha }}_{i}}$, где Дирак ${displaystyle {mathsf {alpha }}_{i}}$ матрицы определены как

${displaystyle {mathsf {alpha }}_{i}={egin{pmatrix}0&{mathsf {sigma }}_{i}{mathsf {sigma }}_{i}&0end{pmatrix}}.}$

Релятивистские спиновые матрицы ${displaystyle Sigma _{mu u }}$ записаны в компактном виде в терминах коммутатора гамма-матрицы в качестве

${displaystyle Sigma _{mu u }={frac {i}{2}}left[gamma _{mu },gamma _{u }ight]}$.

Квантовая информация

В квантовая информация, Один-кубит квантовые ворота находятся 2 × 2 унитарные матрицы. Матрицы Паули - одни из самых важных операций с одним кубитом. В этом контексте приведенное выше разложение Картана называется Z – Y разложение однокубитового вентиля. Выбор другой пары Картана дает аналогичный X – Y разложение однокубитового вентиля.

Смотрите также

• Спиноры в трех измерениях
• Гамма-матрицы
  • § Базис Дирака
• Угловой момент
• Матрицы Гелл-Манна
• Группа Пуанкаре
• Обобщения матриц Паули
• Сфера Блоха
• Тождество Эйлера с четырьмя квадратами
• Об обобщениях матриц Паули высших спинов см. спин (физика) § Высшие спины
• Матрица обмена (вторая матрица Паули - это матрица обмена второго порядка)

Замечания

1. Это соответствует математика конвенция для матричная экспонента, я ↦ ехр (я). в физика соглашение, σ ↦ ехр (-я), следовательно, в нем нет предварительного умножения на я необходимо приземлиться в SU (2).
2. Вектор Паули - формальный прием. Его можно рассматривать как элемент M₂(ℂ) ⊗ ℝ³, где тензорное пространство произведения наделен отображением ⋅: ℝ³ × M₂(ℂ) ⊗ ℝ³ → M₂(ℂ) вызванный скалярное произведение на ℝ³.
3. N.B. Отношения между а, б, в, п, м, к полученный здесь в 2 × 2 представление справедливо для все представления из SU (2), быть групповая идентичность. Обратите внимание, что в силу стандартной нормализации генераторов этой группы как половина матрицы Паули, параметры а, б, в соответствуют половина углы поворота группы вращения.

Примечания

1. «Матрицы Паули». Сайт Planetmath. 28 марта 2008 г.. Получено 28 мая 2013.
2. Увидеть спинорная карта.
3. Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-63235-5. OCLC  43641333.
4. ср. Дж. В. Гиббс (1884). Элементы векторного анализа, Нью-Хейвен, 1884, стр. 67. На самом деле, однако, формула восходит к Олинде Родригес, 1840, изобилует половинным углом: «Des lois géometriques qui regissent les déplacements d 'un systéme solide dans l' espace, et de la вариации координат происхождения de ces déplacement considérées, независимых от причин qui peuvent les produire», J. Math. Pures Appl. 5 (1840), 380–440;
5. В явном виде, согласно соглашению «матрицы правого пространства в элементы матриц левого пространства», это ${displaystyle quad left({egin{smallmatrix}1&0&0&0�&0&1&0�&1&0&0�&0&0&1end{smallmatrix}}ight)~.}$
6. Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). CRC Press. ISBN  978-0-7503-0606-5., стр. xxii.
7. Гольдштейн, Герберт (1959). Классическая механика. Эддисон-Уэсли. С. 109–118.
8. Кертрайт, Т.; Фэрли, D B; Захос, К. К. (2014). «Компактная формула для вращений как спиновых матричных многочленов». СИГМА. 10: 084. arXiv:1402.3541. Bibcode:2014SIGMA..10..084C. Дои:10.3842 / SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.

Рекомендации

• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-8053-8714-5.
• Шифф, Леонард I. (1968). Квантовая механика. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0070552876.
• Леонхардт, Ульф (2010). Основная квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-14505-3.